Обычные фракталы, которые мы строим по строго определенным правилам, не способны описать природное разнообразие. В книге «Суперфракталы» Майкл Барнсли пишет:
«Никогда два облака не будут одинаковыми, не так ли? Вы различаете листья на березе и листья на дубе благодаря тому, что вы можете различить некую идентифицирующую их структуру, несмотря на случайность формы каждого листа. Нам нужна модель, которая отражает одновременно оба аспекта реальности — определенность и случайность».
Такая модель появилась в 2002 году в процессе интенсивного сотрудничества Майкла Барнсли, Джона Хатчинсона и Оржана Стенфло в Австралийском Национальном университете (Камберра).
Традиционно математические пространства и множества содержат в себе точки. Сжимающие отображения уменьшают расстояния между точками. Если взять любую точку и начать последовательно применять к ней одно и то же сжимающее отображение ƒ(x), то результатом будет всегда одна и та же точка на множестве X — точечный аттрактор данного отображения.
Аттрактор системы итерированных функций представляет собой не точку, но фигуру, форма которой часто представляет собой фрактал — некое предельное множество точек Н (х). Если мы станем применять ту же систему итерируемых функций для точек множества Н (X), то аттрактором таких преобразований будет то же самое множество Н (X).
Если бы реальные динамические системы можно было описать системой итерируемых функций на фрактале, то разнообразие организованных форм давно бы себя исчерпало. Однако этого не происходит. Происходит то, что еще Чарльз Дарвин заметил и описал в последнем параграфе «Происхождения видов»:
«Любопытно созерцать густо заросший берег, покрытый многочисленными, разнообразными растениями с поющими в кустах птицами, порхающими вокруг насекомыми, ползающими в сырой земле червями, и думать, что все эти прекрасно построенные формы, столь отличающиеся одна от другой и так сложно одна от другой зависящие, были созданы благодаря законам, еще и теперь действующим вокруг нас... Есть величие в этом воззрении, по которому жизнь с ее различными проявлениями Творец первоначально вдохнул в одну или ограниченное число форм; и между тем как наша планета продолжает вращаться согласно неизменным законам тяготения, из такого простого начала развилось и продолжает развиваться бесконечное число самых прекрасных и самых изумительных форм».
«Цветущая сложность бытия» есть манифест того, что реальность обладает потенциалом креативности новых форм. Опыт показывает, что природа расточительна на производство материальных форм и экономна на создание операций для их производства. Идея суперфракталов позволяет смоделировать экономную расточительность природы.
Суперфракталы имеют неограниченное разнообразие форм при ограниченном наборе операций.
Для иллюстрации этих идей представим себе дерево, которое растет таким образом, что в каждом поколении его ветви расщепляются на V ветвей. Этот алгоритм роста назовем «V-изменчивым» (V-variability). Комбинаторика типовых ветвей может изменяться от поколения к поколению, но число типовых ветвей не изменяется и равно V (своего рода «ген»).
Обыкновенный детерминированный фрактал генерируется одной системой итерируемых функций. Более сложный фрактал генерирует еще более сложный составной фрактал — семейство систем итерируемых функций. Он состоит из отдельных фракталов, как бы сложенных вместе. Каждый из этих составных фракталов генерируется одной из систем семейства систем итерируемых функций.
Естественным логическим шагом является случайное перемешивание действия систем итерируемых функций. В результате получается некоторый стохастический гомогенный фрактал с двумя уровнями выбора операций. Сначала мы выбираем с определенной вероятностью систему итерируемых функций, а затем выбираем с определенной вероятностью саму функцию. Далее эту процедуру усложнения можно продолжать, добавляя уровни сложности, соединяя один гомогенный фрактал с другим гомогенным фракталом.
Получается своего рода операциональная матрешка, в которой системы операций внутреннего уровня встроены в семейства операций внешнего уровня благодаря вероятностному выбору. Операторы вероятностного выбора выполняют функцию клея. Они слаженно связывают действие функций одной системы между собой и между семействами систем итерируемых функций и далее между семействами семейств систем итерируемых функций.
В окружающем нас мире вероятность выполняет, быть может, самую конструктивную функцию. Вероятность «склеивает» любые логически не связанные между собой процессы и операции. Вероятностная случайность соединяет несоединимое.
Идея V-изменчивого фрактала радикально отличается от описанного выше сложного гомогенного фрактала тем, что применяет склеивающее свойство вероятностного выбора не только к итерируемым функциям, но и к состояниям, в которых фиксируется результат. И если раньше операциональным элементом являлась функция в семействах систем итерируемых функций, то теперь вводится квант состояния — ячейка, в которую попадает результат после расчета на каждом шаге итерационного процесса.
V-изменчивый фрактал, как и гомогенный фрактал, генерируется семейством систем итерируемых функций с наложенной на них вероятностью выбора одной из систем на каждом шаге итерации. Однако при записи результата в одно из V состояний выбор этого состояния для записи также реализуется по случаю с определенной вероятностью. В общем случае мы можем иметь N систем и V состояний записи результата.
Между тем из условия суперсимметрии число систем итерированных функций должно совпадать с числом состояний N=V. Вероятность выбора на каждом шаге итераций семейства систем итерированных функций и состояния записи результата определяется V x V матрицей вероятности.
Представим себе, что правила преобразования V типовых «генов» описывают V систем итерируемых функций. В первом поколении возникнет V типов ветвей — аттракторов. На втором шаге мы будем применять те же V систем итерируемых функций к точкам сформировавшихся аттракторов. Если каждую из V систем итерируемых функций применить к точкам аттракторов, образованных этой системой на предыдущем шаге, то второе поколение будет повторять первое поколение. Однако, если мы случайным образом перетасуем системы итерируемых функций и применим их к «чужим» аттракторам, то получим новое разнообразие из V типов аттракторов. Однако самое замечательное то, что после многочисленных итераций вне зависимости от набора типовых «генов» мы получим своего рода аттрактор аттракторов — суперфрактал.
Графическое представление четырех уровней «2-изменчивого» дерева
Для иллюстрации рассмотрим простой случай, когда V = 2. Поставим следующий компьютерный эксперимент. Зарезервируем два буфера памяти — левый L и правый — R, в которых разместим аттракторы первого поколения, полученные вследствие многократного повторения расчета систем итерируемых функций F и G.
Далее случайным образом выберем одну из систем итерированных функций F или G. Затем выберем случайным образом буфер (L или R) и запишем результат применения выбранной системы итерированных функций. Снова выберем буфер случайным образом (это может оказаться буфер, выбранный шагом ранее) и поместим в него аттрактор после второй трансформации. Объединим результаты двух трансформаций в новый буфер L′. Снова выберем случайным образом систему итерируемых функций. Снова выберем буфер L или R и поместим туда трансформированный аттрактор. Возьмем вторую систему итерированных функций и выберем случайным образом буфер L или R. Поместим в него очередной трансформированный аттрактор. Объединим результаты и поместим их в новый буфер R′. Далее содержимое буфера L′ поместим в буфер L, а содержимое буфера R′ поместим в буфер R.
Продолжим все сначала. Вероятность выбора того или иного буфера и вероятность выбора той или иной системы итерируемых функций установим равными 1/2. После нескольких повторений этого цикла аттракторы в обоих буферах станут совершенно независимыми от начальных условий. Суперпозиция полученных аттракторов представляет собой совершенно новую фрактальную форму, называемую суперфракталом.
Для определенности возьмем две системы итерируемых функций F={ƒ1,ƒ2} и G={g1,g2}, где:
Аттракторы этих функций показаны на рисунке.
Аттракторы функций F = {ƒ1, ƒ2} (верхняя часть узора) u G = (g1, g2) (нижняя часть узора)
Далее реализуем процедуру построения 2-изменчивой системы. Эта реализация показана на следующей странице. После многочисленных итераций каждый следующий образ приближается к некоторому аттрактору, который и называется суперфракталом.
Барнсли заменил исходное изображение — линию — на образ «прыгающей рыбы». Он показал, что форма суперфрактала не зависит от формы исходного образа.
Фактически суперфрактал есть отображение системы итерируемых функций на систему итерируемых функций. Суперфракталы представляют своего рода математический мост между детерминистскими и стохастическими фракталами. При V = 1 суперфрактал совпадает с детерминистским фракталом, а при V → ∞ суперфрактал совпадает со стохастическим фракталом.
Напомним алгоритм построения «салфетки Серпинского» с помощью системы итерируемых функций в его графической форме.
Представленная на рисунке система итерированных функций основана на отношении 1/2. Назовем ее системой F.
Добавим вторую систему итерированных функций, точно такую, как и первая, но основанную на отношении 1/3. Обозначим эту систему как G. Пусть обе системы имеют одни и те же фиксированные точки исходного треугольника. Их аттракторы SF:F (1/2) и Sg: G (1/3) показаны на рисунке.
На следующем рисунке показаны первые три поколения формирования суперфракталов с V = 1, V = 2 и V = 3. Там же приведены соответствующие им символические «деревья»...
Фракталы, построенные на базе систем итерируемых функций F и G c V=1, V=2 u V→∞ соответственно. (Источник: Robert Scealy. V-variable fractals and interpolation. A thesis submitted for the degree of Doctor of Philosophy of the Australian National University. April 20,2009, 93 p.)
Теперь рассмотрим аттрактор подобных форм при многократной трансформации «салфетки Серпинского» двумя системами итерируемых функций F и G при степени изменчивости V = 2. Результат таких трансформаций показан на рисунке.
Суперфрактал «салфетка Серпинского». (Источник: Notices of the AMS Volume 57, Number I)
Фрагмент суперфрактала, построенного на основе систем итерируемых функций «салфетки Серпинского» с V = 2, показан слева. Присмотревшись к этому фрагменту, вы замечаете, что он состоит из двух симметричных субфрагментов. Если присмотреться еще более внимательно, то обнаружится, что субфрагменты состоят из симметричных подфрагментов и так далее.
Из рисунка мы видим, что суперфракталы обладают локальной симметрией и масштабным подобием. Они не зависят от структуры исходных объектов. Их форма есть сложный аттрактор систем итерируемых функций, «склеенный» посредством вероятностного распределения случайного выбора операций.
В методе Барнсли вероятность управляет последовательностью применения того или иного оператора. При таком подходе случайные величины, проходя через организованную матрицу операций, производят предопределенную форму, точки которой, вновь пропущенные через ту же матрицу, произведут то же множество. Совсем иной алгоритм использован при построении алеаторных фракталов.