В тонком слое между порядком и хаосом, в окрестности критической точки, происходит каскад бифуркаций и формируется фрактальное множество точек бифуркаций — пыль с интересными и нетривиальными свойствами (в литературе используются также термины «критический аттрактор» или «аттрактор Фейгенбаума»). Эта пыль имеет фрактальную размерность. Для критического аттрактора Фейгенбаума она вычислена с высокой точностью и составляет
Так как фрактальная размерность критического аттрактора меньше единицы, можно заключить, что он имеет нулевую меру, если ее понимать как предел суммарной длины интервалов, оставляемых на последовательных уровнях построения. В то же время, как и канторово множество, он обладает мощностью континуума. Последнее вытекает из того, что можно построить правило кодирования принадлежащих аттрактору точек в виде мультифрактала с двумя масштабами r и d. Довольно хорошей аппроксимацией критического аттрактора служит двухмасштабное канторово множество.
Тот факт, что результат асимметричен, объясняется присутствием двух характерных масштабов — α и δ. При этом с высокой степенью точности структура фрактала описывается одним параметром — коэффициентом Фейгенбаума:
Эта универсальность является следствием того обстоятельства, что толщина аттрактора Фейгенбаума исчезающе мала (Δr→0), и, следовательно, масштаб фиксации величины α несоизмерим (много больше) с масштабом фиксации величины δ, так что влияние последней можно в первом приближении игнорировать.
1. Бифуркация Фейгенбаума.
2. График сигма-функции Фейгенбаума.
3. «Дьявольская лестница» Кантора.
4. Двухмасштабное канторово множество, построенное с использованием факторов 1/α и 1/α2
Для критического аттрактора факторы масштабного подобия оказываются разными в разных областях пространства состояний. В частности, вблизи точки экстремума — это константа Фейгенбаума α, а в наиболее удаленной точке — константа α2. Чтобы полностью охарактеризовать весь набор масштабных соотношений, Фейгенбаум предложил ввести сигма-функцию σ(t), которая определяет свойства в разных точках траектории. На рисунке показан график этой функции, полученный в результате численного эксперимента. Из рисунка видно, что сигма-функция имеет фрактальную структуру и содержит разрывы во всех точках, представляемых в двоичной системе конечными дробями. Структурно она напоминает фрактал «дьявольская лестница» Кантора. Справедливы предельные соотношения
Эти две величины задают максимальное и минимальное значения из всего набора масштабных факторов и отвечают окрестности, соответственно, экстремума и крайней точки критического аттрактора.
Таким образом, граница между порядком и хаосом представляет собой слой, в котором монофрактальные структуры со стороны порядка трансформируются в мультифрактальные структуры на стороне хаоса.