Мы рассмотрели и дальнее, и ближнее окружение (можно сказать, контекст) лосевской «философии числа», то окружение, в драматическом притяжении-отталкивании с которым она и оформилась. По ходу рассмотрения уже были, конечно, получены некоторые содержательные характеристики самого ядра, центра всех соотнесений. Теперь пришла пора сосредоточить наше внимание специально на этом центре, в его смысловой точке.
Только сделаем одно предваряющее замечание. Приходится констатировать, что Лосеву не удалось реализовать в полном объеме свой замысел диалектического обоснования математики. Причинами тому следует указать как обстоятельства общего плана (вряд ли подобное грандиозное предприятие по силам одному человеку, даже при самых благоприятных внешних условиях), так и частные биографические особенности печального свойства, о которых уже говорилось выше. Добавим еще одно: значительная часть довоенных рукописей периода максимальной активности автора на философско-математическом поприще погибла летом 1941 года в результате прямого попадания фашистской авиабомбы в дом на Воздвиженке, где была квартира Лосева. Что-то не успел сделать или не дали, толкая под руку, что-то было уничтожено, готовое. Потому и нам теперь приходится заниматься реконструкцией общей панорамы математических знаний, как она представлялась автору «Диалектических основ математики» (особо ценны для нашей задачи параграфы 9, 34, 80 данной книги), а также отыскивать следы прежних замыслов в более позднем творчестве философа. По ходу этих операций будут видны и общие контуры всей конструкции, и зияющие места утраченных ее деталей.
Проведя начальное тематическое разделение (33 – 34) по сферам
· философии чистой математики,
· философии математического естествознания,
· культурно-социальной истории числа,
Лосев сосредоточил свой анализ на первой сфере, вынужденно
«оставляя пока в стороне естествознание, психологию, социологию, теорию самой диалектики числа и историю» (5 – 6).
Характерно это «пока». Нам не известны лосевские работы, специально посвященные «временно покинутым» темам, однако интерес к социально-культурным типологиям вообще, к «физиогномике» математических воззрений в частности можно проследить в его творчестве на протяжении всей жизни. Да и в тех же «Диалектических основах математики» нетрудно обнаружить примеры напряженного внимания автора к социально-исторической обусловленности тех или иных математических построений. На них особо обращает внимание читателей первый и самый чуткий рецензент книги – В.М. Лосева (14). Или взять один из таких «бродячих» сюжетов в творчестве Лосева, как логику исчисления бесконечно малых. В роли своеобразного пробного камня она многократно привлекалась философом то для характеристики мировоззренческого стиля Возрождения (с его богоборческим лозунгом quo non ascendam) и вообще пресловутого «прогрессизма» новоевропейской культуры, то для анализа телесных интуиций античности, то для понимания ранней истории представлений о дискретности, пределе и континууме. В своем неизменно типологическом отношении к различным проявлениям духа, к различным культурам Лосев предстает несомненным продолжателем усилий О. Шпенглера, для которого «то, что выражается в мире чисел», всегда «есть стиль души», души выражающейся[111]. Метаматематика обязана быть еще и морфологией культуры.
Область собственно математики, с точки зрения философа, разделяется также на три сферы (39):
· общая теория (логика) числа, исследующая перво-принципы числа, число как таковое, сущность числа,
· философия математических дисциплин, специальная теория числа, теория числа в частности, числа как явления,
· философия теории вероятностей и математической статистики, исследующая число в казусах, в жизни, в действительности.
Дошедшая до нас часть «Диалектических основ математики» вполне представляет всю общую теорию числа (§ 10 – 78) и дает переход к специальным вопросам (§ 81 и далее). Отдельного исследования «числа в жизни», т.е. специального рассмотрения теоретико-вероятностной проблематики автор не оставил, однако о многом мы имеем возможность судить: в «Диалектических основах математики» каждый шаг лосевской аксиоматики получал свое завершение и разъяснение именно на материале данного слоя математической реальности.
Здесь также проводится классическое триадное разделение (417 – 425):
· науки о бытии или сущности числа, об интенсивном числе (это – предмет арифметики, алгебры, анализа),
· науки об инобытии или явлении числа, об экстенсивном числе (геометрия),
· теория множеств как наука о синтезе арифметической и геометрической ипостасей числа, об эйдетическом числе.
Второй и третий разделы, строго говоря, нужно отнести к утратам. Исчез, например, целый том по геометрии, о котором Лосев несколько раз упоминает (213, 222) и куда отсылает за подробностями. Однако примем в расчет, что логико-диалектической проработкой геометрических идей автор занимался уже на страницах книги «Античный космос и современная наука». С тем же упреждением осваивалась и теоретико-множественная проблематика, если иметь в виду раннюю «Музыку как предмет логики». Словом, уже дошедшего – много. Даже одно только напоминание о глубинном единстве наглядно-геометрических и счетно-арифметических подходов, убедительно демонстрируемое лосевской метаматематикой, будет весьма кстати сегодня, когда философы и математики все еще бьются над во многом уже решенными, оказывается, вопросами. Для примера укажем тему оппозиции «арифметического» (Rechnen) и «геометрического» (Zeichnen), о которой всерьез заговорил за рубежом Д. Фанг, а у нас – К.И. Вальков[112]. Пора на самом деле
«обратиться к беспристрастному и ко всему одинаково равнодушному суду диалектики» (377),
а не замирать, по Фангу, в безмолвном ужасе перед сфинксом
«единой и неделимой и, в конечном итоге, непостижимой тотальности»
математики или же вместо одной крайности – излишней «арифметизации» впадать в другую – в крайность «геометризма»[113].
Науки о бытии или сущности числа можно представить, согласно Лосеву, в виде диалектической триады:
· арифметика и алгебра как учения о неизменной сущности числа, о постоянных величинах и их функциях,
· дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления как учения об инобытийной изменчивости числа, о переменных величинах и их функциях в скалярной форме,
· векторное и тензорное исчисления как учения о действительности числа, о числе синтетическом, ориентированном, направленном.
Здесь второй и третий разделы, если опираться только на «Диалектические основы математики», также следует считать утраченными. Однако достаточно определенный анализ, касающийся диалектической сущности, например, дифференциала и интеграла также отыскивается в книге «Музыка как предмет логики». Утрату содержательной части второго раздела отчасти восполняет сохранившаяся работа Лосева «Некоторые элементарные размышления о логических основах исчисления бесконечно-малых», ныне опубликованная.
Внутри первой сферы интенсивного числа Лосев выделяет очередную триадическую структуру:
· арифметика как учение о непосредственной сущности числа в ее бытии, о числе в себе,
· алгебра как учение о непосредственной сущности числа в ее инобытии, о числе функционально выраженном,
· алгебраический анализ (теории форм, инвариантов и др.) как учение о непосредственной сущности числа в ее становлении.
Как следует из публикуемого «Содержания» первой книги «Диалектических основ математики», степень детализации построений лосевской метаматематики была столь велика, что к темам алгебры переход планировался лишь в самом конце обширного тома. Все дальнейшее кануло в Лету. А нам осталось предпринять еще одно посещение мира числовых триад, нам остается назвать и последние структуры в лосевском описании.
Внутри арифметики, согласно общей диалектической схеме Лосева, следует различать:
· натуральный ряд как бытие сущности числа, как акт ее полагания;
· типы чисел (отрицательные, рациональные, мнимые и др.) как инобытие чисел натурального ряда;
· действия с числами как становление сущности числа, типы числовых комплексов в разнообразных направлениях и комбинациях счета.
Сохранившийся текст «Диалектических основ математики» заканчивается как раз на материалах третьего из названных разделов. По части арифметики, можно считать, автор вполне реализовал свой план.
На полученную последовательность – анфиладную последовательность одна в другую врастающих триад – еще нужно наложить объединяющий все шаги и этапы процесс, чтобы картина получилась полной: ведь вся математика, показывает и доказывает Лосев, есть не что иное, как развитое и детализированное понятие числа. Число как первая категория, первая «осмысленная, оформленная положенность, категориально оформленная положенность» (105), как «слепительное», напомним, «Да» составляет саму основу математических объектов. Всё есть число. Остается только оговорить: ту перво-категорию, тот «акт полагания подвижного покоя самотождественного различия», что пронизывает, по Лосеву, любые закоулки математики, не обязательно называть именно «числом». Действительно, в угоду пуританской строгости можно окрестить названную фундаментальную логико-диалектическую конструкцию каким-либо специальным образом, к примеру назвать ее по случаю и в честь Лосева «L-выражением» (впрочем, «выражение» – это еще слишком лосевский термин) или «L-кортежем»[114]. Далее придется поступить так, как уже приходилось действовать в области математической логики, т.е. в области формальной, нелосевской метаматематики, причем именно в 30-х годах. А именно, там вместо интуитивно ясного, но строго не определенного понятия «вычислимой функции» принялись тщательно изучать свойства так называемых общерекурсивных функций, определяемых уже алгоритмически точно. Следующим шагом было показано, что у вновь введенного формализма достаточно изобразительной мощи, чтобы заместить собой исконно расплывчатое понятие «вычислимости». Наконец, между классами содержательных и формальных функций была провозглашена эквивалентность (в форме «тезиса Черча»), – именно провозглашена, а не доказана, поскольку именно доказательство эквивалентности невозможно ввиду принципиальной несводимости, принципиально различной природы сравниваемого. Желающим увековечить свое имя в новом «тезисе» можно предложить аналогичную проверку для числа и L-кортежа. Впрочем, изучая «Диалектические основы математики», нетрудно убедиться, что Лосев сам положил много усилий для демонстрации справедливости подобного «тезиса» и повсеместно обнаруживал, как математический материал «с огромной точностью воспроизводит» логико-диалектические прообразы (286).
Оценивая теперь лосевский проект метаматематики и оценивая предложенный философом неблизкий путь от максимально общих принципов «философии числа» до мельчайших фактов самой частной (и самой первой) из математических наук, арифметики, мы можем, наконец, судить и о замысле – он масштабен, и о степени его воплощения – при многих потерях и необходимых оговорках, всё самое трудное свершено, всё самое главное было сформулировано и предано бумаге. Обозревая труды, в невольном одиночестве исполненные Лосевым, можно с оптимизмом предположить, что «задача философского обоснования математики» если и не разрешена единолично им, то вполне может быть разрешима коллективными усилиями на путях, проложенных лосевской метаматематикой, а саму диалектику как основное орудие этой метаматематики уже теперь
«можно считать… настолько зрелой и конкретизированной дисциплиной, что она вполне может (и даже обязана) войти»
– и, как мы теперь знаем, успешно вошла –
«в детали числовых конструкций, не ограничиваясь общими рассуждениями только о самом понятии числа» (414).