Относительно предложенной диалектической системы необходимо сделать ряд замечаний, долженствующих оправдать некоторое расхождение с обычным явлением соответствующего математического материала. С таким расхождением мы будем встречаться нередко; и необходимо по возможности указывать на его наличие.
Относительно существующих руководств и пособий по математике необходимо сделать общее замечание. Все они появились в результате определенных исторических, психологических и педагогических мотивов и часто почти не преследуют целей логической последовательности системы. Так, материал, известный теперь под названиями «арифметика» и «алгебра», настолько разношерстен, что объединить его в какую-нибудь единую систему совсем невозможно. То, что полегче и что можно дать детям младшего возраста, отнесено к «арифметике», а то, что потруднее, – к «алгебре». С такой педагогической точкой зрения должны считаться педагоги, но не философы, преследующие цель логически последовательной систематики. Приходится или выбросить совсем такие термины, как «арифметика», «алгебра», «анализ», или придать им условный смысл и в дальнейшем уже не выходить за рамки принятого словоупотребления. Выбросить такие старые и популярные термины, конечно, невозможно. Но тогда надо вкладывать в них какое-то определенное и вполне точное логическое содержание, хотя оно и было только условным.
Прежде всего в «арифметике» мы находим такие, напр., главы, как учение о мерах и весах, имеющие к арифметике такое же отношение, как и к любой естественнонаучной дисциплине, даже, пожалуй, меньшее. С другой стороны, в «алгебре» много таких вопросов, как, напр., извлечение квадратного или кубического корня из чисел или техника логарифмирования, что по смыслу своему должно бы иметь место в «арифметике». Кроме того, логарифм есть трансцендентная функция, и неизвестно, как связать его с прочим материалом «алгебры». «Анализ» наполнен разными геометрическими построениями и приложениями, которым настоящее место, конечно, не в анализе, а в специальной науке. Да и самое название «анализ» мало того, что не очень точно, оно употребляется в совершенно спутанном виде. Под «анализом» обычно понимается дифференциальное и интегральное исчисление, т.е. изучение функций в условиях бесконечного процесса. Тем не менее «аналитическая геометрия» – вовсе не та геометрия, в которой применены методы исчисления бесконечно-малых. Это, вообще говоря, изучение геометрических элементов с точки зрения алгебры, так что правильнее всего было бы назвать ее алгебраической геометрией. Там же, где применены методы исчисления бесконечно-малых (т.е. методы «анализа»), [учение] называется не аналитической геометрией (как это требовала бы логика), но почему-то дифференциальной геометрией, а частью этот материал излагается прямо в курсах самого же анализа. Неизвестно также, почему эта геометрия называется дифференциальной, а не дифференциально-интегральной (раз там применены не только дифференциалы, но и интегралы). А то, что составляет содержание т.н. теории чисел (напр., все рассуждения о делимости), ничем принципиально не отличается от содержания обычной «арифметики», равно как и «высшая алгебра» содержит в себе теорию всех тех же уравнений, что и «элементарная алгебра», только что эта теория и эти уравнения здесь посложнее и потруднее. Такая педагогическая и историко-психологическая точка зрения в классификации математического материала, конечно, должна быть нами отброшена.
Что же составляет подлинный и логически выдержанный предмет арифметики и алгебры?
Арифметика есть учение о «числе в себе», т.е. о непосредственном бытии числа. Этим она резко отличается от алгебры, оперирующей не с числами, но с функциями. Но тогда к арифметике надо отнести все типы числа, если только они имеют непосредственное значение. Прежде всего к арифметике должно быть отнесено употребление отрицательных чисел. На каком основании это понятие отнесено к алгебре и что алгебраического в отрицательной величине? Раз арифметика действует с положительными числами и, кроме того, еще действует с нулем, то очень странно, если тут же не будет еще и категории отрицательного числа. Фактически арифметика и употребляет отрицательные числа (напр., в рассуждениях о купле и продаже, в учении о векселях и пр.), но в угоду логическому принципу маскирует это употребление, относя соответствующую терминологию в другую науку.
Далее, вполне арифметичны рассуждения и о бесконечности. Бесконечное число есть особого рода число. Оно оценивается в своей самостоятельной и непосредственной данности; и нет нужды выбрасывать его из арифметики. Точно так же необходимо внести в арифметику теорию мнимых величин, рассматриваемую почему-то частью в алгебре (обычно – мелким шрифтом, так что сами авторы, по-видимому, не знают, здесь ли подлинное место для нее), частью в анализе (хотя к последнему относится только теория функций комплексного переменного, а не арифметика мнимостей). Решительно нужно выбросить из алгебры также действия над степенями и корнями. Это вполне непосредственные операции над непосредственно и самостоятельно данными величинами. Сюда же надо отнести и логарифмирование, хотя его почти всегда отрывают от статьи о степенях и корнях, с которой оно существенно связано.
И вообще алгебра отличается от арифметики не тем, что она пользуется какими-то особенными действиями, которых нет в арифметике, или какими-то новыми типами чисел, которых нет в арифметике. Вовсе не в этом принципиальное отличие. Единственное принципиальное отличие алгебры от арифметики заключается в том, что тут – инобытие всех арифметических чисел и действий, инобытийный их коррелят. В них не вносится ровно ничего нового, и их система ровно ни в чем не меняется.
Но все эти числа и действия, все вместе, как некая целостная сфера, целиком переносятся в новую область; и в этой области они подвергаются, опять-таки все вместе, единообразной модификации.
Область же эта есть область функциональных отношений. Следовательно, в алгебре не будет ничего нового в смысле категории числа или категории действий, ибо все эти категории относятся к сущности чисел и действий, а вся сущность обрисована в арифметике. В алгебре – те же категории, но только иное их употребление, а именно употребление функциональное, употребление в составе функций и их преобразований. Это и есть сущность алгебры.
Другое дело – отличие алгебры от анализа. И то и другое есть учение о функциях. Но к алгебре относятся функции с подлинными величинами, к анализу же – функции при бесконечно-малых процессах изменения аргумента. Возникающие здесь сложные переплетения алгебраических и аналитических методов будут у нас предметом рассмотрения в своем месте.