Все учителя хорошо знают, что одним из самых трудных типов задач, которые включены в программу начального обучения математике, являются задачи на движение. Эта трудность вызвана прежде всего тем, что дети не представляют себе реальных взаимоотношений дальности расстояния, которое должен пройти пешеход или проехать поезд, необходимого для этого времени и быстроты движения. Эти взаимоотношения не раскрывались обычно в опыте ребенка до школы. Он плохо представляет себе пространство (удаленность), еще хуже — единицы времени, и уже совсем не умеет он связать эти два условия с третьим — со скоростью движения. Например, ученикам дана задача: на листке клетчатой бумаги нарисован дом; это школа. «Ученик Коля живет в точке А (прямая линия проведена от «ворот школы» через 17 клеточек). Саша живет в точке В (ломаная линия тоже через 17 клеток проведена с другой стороны школы). Если занятия в школе начинаются в 9 часов, Коля должен выйти из дому в половине 9-го. Когда должен выйти из дому Саша, чтобы прийти в школу в то же время, если он идет так же быстро, как Коля?» Эта задача оказалась едва посильной лишь некоторой части учащихся III классов. Несмотря на то что детям уже знакома метровая линейка и сантиметр как единицы измерения длины и ученики уже не раз пользовались этими знаниями, занимаясь измерениями, никто из учеников I и большая часть учеников II классов не попытались измерить оба расстояния. А ведь это было очень просто сделать, посчитав число клеток до дома Коли и Саши. Но ребята вообще совершенно не представляли себе условия задачи и особенно взаимосвязи между ними. Они говорят: «Коле идти надо дальше (визуально его дом дальше от школы). Значит, если он должен выйти в половине девятого, то Саша — в 8 часов, ему ближе». Некоторые считают, что Саше труднее идти, так как ему надо все время поворачивать, поэтому он должен выйти без 15 минут девять и т. п. Только в III классе ученики обнаруживают попытки учесть все условия, но решение также оказывается не всегда удачным. Значительно повышается уровень работы детей тогда, когда учитель «материализует» все условия и задачу в целом. Так, М. А. Бантова, подготавливая учеников к решению задач на движение во II классе, вводит соответствующие словесные обозначения каждого условия, которое таким образом получает свою внешнюю условную запись: v — скорость, s — расстояние, t — время. Упражняя детей на определении сначала простых зависимостей (лишь между двумя параметрами) и представляя все условия задачи наглядно, учитель «оголяет» связи: чем больше расстояние, тем больше нужно времени для его преодоления; затем идут упражнения на раскрытие зависимости двух других условий. Чем больше расстояние, тем скорее надо его пройти, чтобы уложиться в то же время… Так последовательно дети осваивают важнейшие зависимости пространства, времени и скорости движения.