Первая базовая математическая область (которую Дэвид называет «скромной») – арифметика (четыре операции и дроби); это та часть математики, которую я называю чувством числа. Вторая область – анализ данных и решение задач, включая такие понятия, как отношения и пропорции, позволяющие людям видеть, как величины соотносятся друг с другом; я называю это грамотностью данных. Третья область – линейные уравнения, часть математики, которая описывает, как вещи в жизни соотносятся друг с другом; она используется во многих дисциплинах. Эти три области математического мышления не только необходимы для учебы в колледже, но и больше всего востребованы в жизни и работе. С каждой из них можно знакомиться узким способом – как с набором правил, методов и процедур, а можно разнообразными ish-путями, подчеркивающими их потенциал, красоту и применимость в нашей жизни. В этой главе мы начнем рассматривать эти три области. Что в них интересного? И как мы можем работать с ними разнообразными ish-способами?

Чувство числа

Числа очень важны, но в обществе в целом они имеют негативную репутацию. Многие даже не подозревают, что числа обладают врожденной красотой; и это неудивительно, ведь подавляющее большинство никогда не пытались увидеть эту красоту. Как правило, люди относятся к числам и арифметике как к холодным, отчужденным объектам, не имеющим отношения к их жизни. Такое представление формируют учебные программы, разработанные в большинстве стран и штатов. Профессор Королевского колледжа Лондона Стивен Болл называет «программой мертвых» те учебные стандарты, которые не признают роли людей в производстве знаний, транслируя вместо этого «неоспоримое суждение поколений», и не предусматривают место для собственных экспериментов или представлений учащихся¹³⁹. Перечни математических методов, включенные в национальные стандарты и программы, безусловно, подходят под это описание. Когда книгоиздательские компании трансформируют эти стандарты в вопросы узких учебников, учащиеся начинают воспринимать числа как черствые жесткие факты, лишенные какого-либо культурного разнообразия или разнообразия вообще.

История чисел

Я оспариваю ту безжизненную и безличную версию чисел, с которой сталкиваются ученики, и один из способов для этого – рассказ о богатой культурной истории их развития.

Немногие школьники знакомятся с историей чисел, а зря.

Многие ученые сходятся во мнении, что первые количественные записи в мире появились в бразильской Амазонии¹⁴⁰. На рисунках, созданных местными индейцами более десяти тысяч лет назад, имеются крестики, обозначающие дни, месяцы и другие циклы. Археологи обнаружили множество свидетельств того, что древние жители Бразилии уделяли внимание количеству, и теперь эти находки считаются первыми древними числовыми величинами.

В центральной Африке найдена кость, которая на протяжении многих поколений является предметом восхищения историков. Так называемая кость Ишанго имеет глубокое математическое значение; считается, что ее возраст – двадцать тысяч лет, а отметины на ней свидетельствуют о знании простых чисел и десятичной системы. Эти первые указания на важные элементы нашей системы счисления обнаружены на территории современной Демократической Республики Конго¹⁴¹.

Я предлагаю учащимся посмотреть на изображение кости, которое взято из замечательной книги Клаудии Заславски (рис. 4.1), и задаю такие вопросы: «Почему вы думаете, что на кости изображены цифры? Как вы думаете, для чего использовалась эта кость?» Это позволяет им глубже оценить разнообразие нашей математической истории и расширяет представление об ish-числах в мире[30].

Шумерская цивилизация – самая ранняя из цивилизаций Месопотамии (Междуречья), располагающаяся на территории современного Ирака. Позже там же жили вавилоняне; считается, что именно шумеры и вавилоняне впервые начали использовать алгебру¹⁴². Большинство найденных глиняных табличек с алгебраическими знаками датируются 1800–1600 годами до нашей эры. Слово «алгебра» происходит от арабского «аль-джабр», что означает «восстановление, восполнение». Если проследить развитие во времени, то окажется, что наша западная система счисления происходит от арабской, которая, в свою очередь, произошла от индийской. Именно ученые Индии придумали ноль. Одно из первых применений чисел – фиксация времени. Людей интересует, почему наша система определения времени использует 12 или 24 часа; ответ на этот вопрос отсылает нас к египтянам, которые более трех тысяч лет назад разработали солнечные часы. Решение разделить день на 12 единиц было обусловлено тенью, которую они видели на солнечных часах. Они выделили 10 единиц от восхода до заката, а затем добавили одну единицу для рассвета и еще одну для сумерек. Греческие астрономы официально кодифицировали такую систему в эллинистический период – около 323 года до нашей эры. Такое деление со временем сохранилось; вот почему у нас в сутках 24 часа.

Рис. 4.1. Две стороны кости Ишанго. К. Заславски. «Математические игры и занятия со всего мира» (Math Games and Activities from Around the World).

Перед нами лишь несколько примеров из истории чисел, с которой школьников зачастую не знакомят. Я же считаю, что они демонстрируют богатую культурную историю математики, которая удивительно разнообразна, охватывает весь мир и является частью каждой культуры.

Я думаю о математике как о линзе, через которую можно смотреть на мир; когда мы вооружаемся таким инструментом, мы видим гораздо больше, замечая закономерности и интересные взаимосвязи.

Притягательность закономерностей

Числа очаровывали меня всегда, и я уверена, что причина тому – мое раннее знакомство с числами как с визуальной и физической игровой площадкой. Я часами возилась с набором палочек Кюизенера, которые принесла мне мама: несмотря на внешнюю простоту, они обладают невероятной мощью (рис. 4.2). Десять цветных палочек обозначают числа от 1 до 10. Их изобретатель, бельгийский педагог Жорж Кюизенер, обратил внимание, что дети изучают музыку, используя клавиши инструментов. Он решил, что аналогичный сенсорный опыт позволит им понять отношения между числами¹⁴³.

Если у вас есть маленькие дети, я советую вам купить набор палочек Кюизенера и просто выложить их на стол. Дети интуитивно начнут играть с ними, выстраивать и исследовать закономерности.

Рис. 4.2. Палочки Кюизенера.

В детстве я обожала эти цветные палочки и долгие часы раскладывала их разными способами, исследуя числовые закономерности. Когда я стала старше, у меня появился калькулятор, и я тратила много времени в школе (когда положено слушать учителей), вводя разные числа и применяя к ним различные операции, чтобы посмотреть, что с ними происходит. Я вела записи, и эта привычка сохранилась на всю жизнь. Мои детские блокноты часто содержали числовые закономерности, которые я продолжала исследовать целыми днями. Надеюсь, читатели не подумают, что я какой-то математический гений, которого с ранних лет тянуло к цифрам. Если что-нибудь и можно извлечь из этой истории, так это то, что я с раннего возраста научилась играть с числами; я умела воспринимать их визуально, физически и гибко; и благодаря этому у меня развился интерес к числам и восхищение ими.

Сейчас, будучи профессором в Стэнфорде, я восстановила связь со своей первой любовью: я предлагаю студентам изучать закономерности с помощью палочек Кюизенера.

Это занятие (как и многие другие, которые я высоко оцениваю и которыми мы делимся на нашем сайте youcubed) кажется простым – им может заниматься любой, включая маленьких детей, – однако оно выходит на весьма высокий уровень, который бросает вызов учащимся. В одном из моих любимых видеороликов моя студентка Ясмина Хан с помощью палочек Кюизенера дает наглядное доказательство одной сложной математической закономерности. В процессе доказательства она перемещает палочки, выделяя скрытое правило. Не будет преувеличением сказать, что, когда люди смотрят это видео, их изумляет и трогает замысловатость и красота той закономерности, которая появляется перед ними.

Людям действительно нравится смотреть этот ролик, и они спрашивают меня, можно ли посмотреть его еще раз и показать ученикам. Я люблю наблюдать за реакцией на наглядное доказательство Ясмины, ведь в эти моменты люди проявляют свою признательность, причем они признательны за нечто очень чистое – красивую, наглядную числовую закономерность, которая обеспечивает более глубокий смысл, нежели числа по отдельности.

Многие спрашивают, чем Ясмина занимается сейчас, предполагая, что она, возможно, трудится в сфере хайтека[31]. Ясмина работает в компании, занимающейся решением глобальных проблем[32]. Она говорит, что по-прежнему благодарна моим занятиям, поскольку они изменили ее ментальность и подход к математике; это помогло ей закончить «несколько курсов высшей математики (линейная алгебра, анализ функций нескольких переменных, теория вероятностей и статистика)» в Стэнфорде, что позволило добиться дальнейших успехов.

Очень важно обсуждать с людьми математику, которая имеет отношение к окружающему миру, однако я также знаю, что людей всех возрастов завораживают закономерности, связывающие числа. Дэвид Коулмен, руководитель Совета колледжей, подчеркивает важность чувства числа для учащихся, поступающих в колледж, и я твердо убеждена, что оптимальная база для чувства числа, которую мы можем дать любому человеку, начинается с приглашения поиграть с числами, понаблюдать за закономерностями и подойти к ним ish-способами. Этот опыт становится еще более значимым, когда числа обретают наглядность.

Брент Йорги – преподаватель математики и информатики в колледже Хендрикса. Когда я впервые увидела его визуализацию чисел, я была совершенно очарована¹⁴⁴.

Мы с командой часто предлагаем учащимся и преподавателям рисунок 4.3 и просим их сначала написать соответствующее число рядом с каждым изображением, чтобы они могли увидеть это число и получить наглядное представление о его составе – о его делителях и связях с другими числами. Затем мы просим поискать интересные закономерности. Когда мы занимаемся этим в школе, ученики с восторгом рассказывают о различных замеченных ими схемах. Некоторые из них представлены на рисунках 4.4–4.7:

• Все числа, кратные 3, имеют схожую структуру, которая указывает на их «тройственность» – все они включают треугольники.

• Все числа, кратные 7, имеют форму семиугольника.

• Все числа, кратные 6, обладают схожей формой.

• Простые числа (кроме 2) изображены в виде кругов.

Рис. 4.3. Визуальные представления чисел Брента Йорги.

Рис. 4.4. Числа, кратные 3.

Рис. 4.5. Числа, кратные 7.

Рис. 4.6. Числа, кратные 6.

Рис. 4.7. Простые числа.

Рис. 4.8. Число 2.

Большое впечатление произвел на меня учитель из Аризоны по имени Рэнди, который обратил внимание, что простые числа изображаются в виде кругов. Он страстно доказывал, что число 2 тоже можно считать кругом, и объяснял это, рисуя два круга на орбите (рис. 4.8).

Здесь Рэнди проявил математическую гибкость – важный творческий акт, который мы рассмотрим в главе 5.

Однажды я рассказала о такой визуализации чисел в одном из классов средней школы и попросила учеников поискать закономерности. Через несколько дней, когда я снова заглянула в эту школу, ко мне подошла одна из мам. Она взволнованно и воодушевленно спросила меня, что я сотворила с учениками, если ее дочь, ненавидевшая математику и не верившая, что эта наука ей может понравиться, изменила свое мнение. Я уже не раз наблюдала подобную реакцию; она происходит, когда люди осознают, что они могут «видеть» числа и играть с ними и что математика – творческая сфера. Когда учащиеся понимают, что числа – это не просто далекие жесткие факты, а классные милые персонажи, в их учебе все меняется.

Возможность просто поразвлечься с числами и числовыми закономерностями выходит за рамки стандартов, предусмотренных учебной программой. Поиграв с интересными числовыми закономерностями, люди начинают по-другому воспринимать числа и математику.

Числа всегда можно воспринимать визуально, и такая наглядность добавляет смысл. Помню, как я работала с группой учителей начальных классов, и одна из них радостно воскликнула, что не знала, что квадратные числа носят такое название, потому что их можно нарисовать в виде квадрата:

Рис. 4.9. Квадратные числа.

Визуально представлять квадратные числа гораздо выразительнее, чем использовать показатель степени и писать, например, 4². Людей зачастую шокирует и восхищает, когда мы рассказываем, что 4 – это квадратное число, потому что его можно нарисовать в виде квадрата 2 × 2, а 9 – следующее квадратное число, которое можно нарисовать в виде квадрата 3 × 3. На занятии я также сообщила той учительнице, что квадратные числа получаются в результате последовательного прибавления нечетных чисел, что можно увидеть на рисунке 4.10. В числовом виде это выглядит следующим образом:

1 + 3 = 4

4 + 5 = 9

9 + 7 = 16 и так далее.

Рис. 4.10. Сложение последовательных нечетных чисел.

В тот день я также рассказала ей о треугольных числах – тех, которые можно изобразить точками, расположенными в виде треугольников (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Треугольные числа.

Я преподаю студентам в Стэнфорде уже много лет, и, несмотря на их многочисленные достижения в математике, большинство из них никогда не слышало о треугольных числах. Возможно, вы не сочтете это великой потерей для них: многие из этих студентов изменят мир благодаря своей работе в сфере образования, в благотворительных организациях, в компаниях, которые создадут и возглавят, в своих изобретениях; однако треугольные числа необходимы во многих областях математики, включая теорию вероятностей, алгебраические функции и т. д. Студенты изучали эти области, не прибегая к такому интересному представлению чисел. Конечно, это лишь симптом более серьезной проблемы – преподавание математики как предмета, жонглирующего символами и числами, лишенного математического разнообразия и радости. Когда мы предлагаем учащимся познакомиться с треугольными числами, узнать о визуальных представлениях и месте чисел в нашей истории и культуре, мы приглашаем их в важный мир числовых закономерностей и гибкости.

Ish-математика

Числа повсюду, и все мы используем их в той или иной степени каждый день. Однако в нашем повседневном употреблении чисел есть кое-что примечательное – то, что отличается от работы с ними в школе. Когда мы обращаемся к числам в жизни и на работе, они почти всегда являются приблизительными, и я называю их ish-числами. Для некоторых людей идея ish-чисел – ересь, поскольку они полагают, что числа всегда должны быть точными и правильными. Однако в жизни нам нужнее как раз ish-числа, и я считаю, что они могут изменить подход людей к математике, если мы включим их в учебный процесс. Вот несколько вопросов, на которые обычно отвечают с помощью ish-чисел:

• Сколько вам лет?

• Какую фазу луны можно увидеть сегодня ночью?

• Можно мне половинку этого печенья?

• Сколько времени ехать до аэропорта?

• Какая температура на улице?

• Какова площадь Соединенных Штатов?

• Длина Лондонского моста?

• Сколько муки используется в этом рецепте?

• Сколько краски купить, чтобы покрасить эту стену?

Это лишь несколько примеров задействования ish-чисел в повседневной жизни. Формы всегда идут с приставкой ish–, поскольку не существует идеальных кругов, треугольников или прямоугольников. Примеры ish-форм – кубики сахара, воздушные змеи, концентрические круги и пирамиды – показывают нам, насколько ish-подобны многие обычные формы.

Такие числа и фигуры встречаются повсеместно; мы видим их каждый день. Я рассказываю о них здесь не только потому, что они любопытны и интересны сами по себе, но и из-за их важности. Когда педагоги Великобритании захотели улучшить преподавание математики, они организовали комитет под руководством уважаемого педагога-математика сэра Уилфреда Кокрофта. Комитет особенно выделил важность оценивания, описав его следующим образом:

Промышленность и торговля в значительной степени зависят от умения оценивать. Здесь важны два аспекта. Первый – это способность судить, насколько разумен результат проведенного расчета или выполненного измерения. Это позволяет обнаруживать ошибки или избегать их; в качестве примера здесь можно привести ежемесячный счет, который заметно отличается от предыдущих, или отмеренную дозу лекарства, которая выглядит неправдоподобно большой или маленькой. Второе – это способность выносить субъективные суждения о различных показателях¹⁴⁵.

Возможно, самая ценная математическая способность, которую может развить любой школьник или взрослый, – способность оценить, правдоподобен ли данный результат вычислений, однако большинство учащихся упускают это. Меня это не удивляет, поскольку во всем мире при обучении математике основной акцент делают на точность и аккуратность, а приблизительной оценке и ish-ности не уделяется должного внимания. Британский комитет отметил, что на работе люди «активно опираются» на способность давать оценку. Я сама много раз в жизни использовала свою способность оценить ответ при числовых вычислениях и решении других математических задач.

Сюзанна Даунс, преподаватель математики в международных школах, говорит:

Меня огорчает, что младшеклассники и старшеклассники, когда их просят разделить в уме 272 на 8, пытаются выполнить длинное деление, не чувствуя, имеет ответ смысл или нет. То же самое касается сложения и вычитания смешанных дробей. Когда их просят сложить 19¾ и 27⅓, многие ученики превращают оба числа в неправильные дроби с общим знаменателем. При этом они теряют бо́льшую часть смысла этих чисел. Может быть, мы недостаточно уделяем времени осознанному подходу к выполнению задач? Неужели не хватает времени, чтобы привить радость от чувства числа и логического мышления?

Не только Сюзанна озабочена тем, что ученики дают бессмысленные ответы, поскольку не обладают важной способностью, отмеченной британской комиссией, – умением прикинуть, каким должен быть ответ, то есть подобрать ish-число, помогающее оценить, является ли их ответ правдоподобным. Эта проблема затрагивает учеников всех классов и всех уровней. Сюзанна задается вопросом, не связано ли это с недостатком времени. Возможно, это играет свою роль, однако у меня есть решение, которое поможет справиться даже с этой насущной проблемой и которое все учителя или родители смогут использовать в любое время. Эта идея невероятно эффективна и годится для всех учащихся.

Вводите ish-числа и ish-фигуры в преподавание математики и цените их!

Я предлагаю, чтобы перед тем, как заняться вычислениями или решать любую другую математическую задачу, мы прикидывали, каким будет результат, и давали ish-ответ.

Вернемся к примеру Сюзанны с числом 272, деленным на 8. Если бы мне в жизни понадобился ответ на этот вопрос, я бы прикинула, что 8 × 30 = 240, поэтому ответ должен быть несколько больше 30. Поэтому я могла бы дать ish-ответ 32.

Я могу получить такое ish-число только потому, что у меня развито чувство числа – тот самый подход к числам, на отсутствие которого у учащихся сетуют многие педагоги. Если вы попросите учеников дать примерный ответ перед вычислениями, то, скорее всего, обнаружите, что они сначала вычислят точный, а затем округлят его, чтобы он выглядел оценкой. Они не жалеют сил на все это, потому что их не научили оценивать и подбирать ish-числа. Если бы люди перед вычислениями делали паузу и задумывались о приближенном ответе, это помогало бы им развивать чувство числа, они не давали бы бессмысленные ответы и научились бы ценить ish-ность – важнейший инструмент для жизни.

Просить людей предварительно прикинуть ish-ответ можно при решении самых разных задач. Например, вы можете спросить школьника, получившего задание построить график функции f(x+3): «Как, по-твоему, он будет выглядеть?» Когда мы просим учеников предварительно подумать о том, что они ожидают получить, мы делаем нечто чрезвычайно ценное для них. Когда я работала над этой книгой, я совершила изящную ошибку. Я хотела отправить электронное письмо своему другу-специалисту по когнитивной психологии, чтобы узнать его мнение о когнитивных процессах, связанных с ish-числами. Однако письмо случайно ушло человеку с очень похожим именем – нейробиологу из Стэнфорда. Он любезно ответил, что письмо, вероятно, предназначалось не ему, но при этом сообщил, что был восхищен моим вопросом; он отметил, что эти два процесса – работы с приблизительными и точными величинами – вероятно, задействуют разные области мозга: лобно-теменную сеть контроля (FPCN) и сеть пассивного режима работы (DMN). Нейробиологов интересует вопрос связности и коммуникации мозга, поскольку они понимают, что улучшение функционирования происходит благодаря синхронизации в работе различных областей¹⁴⁶.

Такой акт прогнозирования кажется мелким действием, однако при этом происходит очень важная вещь: мозг переходит из состояния сосредоточения в другой режим. Происходит сдвиг от мышления, сконцентрированного на точности, к режиму «общей картины» или от микро– к макромышлению¹⁴⁷. Обучение математики пойдет куда проще, если люди научатся использовать разные режимы мышления. Когда учащиеся оценивают, работают с ish-числами, они находятся в режиме «общей картины». Они также могут давать и выверенные ответы, но ценностью обладает именно взаимодействие между этими двумя режимами – точными и ish-числами (или сосредоточенным режимом и «общей картиной»).

Точность немаловажна, но не менее важны и ish-числа (и формы); несмотря на это, при обучении школьников математике им почти не уделяется внимания. Эти неброские числа могли бы оказать огромную помощь ученикам, открыв путь к развитию чувства числа и формы. Они также помогут смягчить острые углы математики – а ведь именно это требуется многим школьникам, чтобы втянуться в процесс. Учителя могут использовать ish для работы с учащимися, которые уже почти у цели, но еще не достигли ее. Когда мы привносим ish в нашу жизнь, мы становимся более защищенными от опасностей перфекционизма (пагубной установки), а также от бинарного мышления[33]. Меня спрашивали, чем использование ish-чисел отличается от приблизительной оценки. Казалось бы, разные формулировки, но все же между ними есть небольшая разница. Когда мы просим учеников оценить что-то, они считают, что их просят прибегнуть к очередному математическому приему. Но когда мы просим их воспользоваться ish-числами, они чувствуют себя свободнее и охотнее делятся своими идеями, одновременно развивая чувство числа. Зайдите на сайт Mathish.org, и вы увидите, как ish-точка зрения улучшает вовлеченность и понимание учеников. Возможно, всем нам нужно больше ish в жизни.

Потребность учеников в оценивании величин также вытекает из увлекательной области нейронауки, занимающейся частью мозга под названием «система приблизительной оценки количества» (ANS). Психолог Дарко Одич и нейробиолог Ариэль Старр утверждают, что еще до начала учебы в школе у детей формируется «интуитивное, абстрактное и гибкое» чувство числа, которое опирается на эту область¹⁴⁸. Это базовая система, позволяющая людям начать понимать числа, и исследователи отмечают, что ANS существует в разных культурах, возрастах и даже у некоторых животных. Как следует из названия, эта часть мозга фокусируется конкретно на аппроксимации чисел[34] и – что примечательно – прогнозирует успехи учеников в математике на много лет вперед¹⁴⁹. Однако мы прикладываем мало усилий для развития ANS. В следующей главе я расскажу о прекрасном упражнении, которое подойдет абсолютно всем и которое способствует развить систему приблизительной оценки.

Наше совместное размышление о разнообразии чисел и необходимости играть с ними и приветствовать их ish-ность начинается с природы самих чисел. Если бы люди уделяли время изучению чисел, исследованию числовых закономерностей и ish-чисел, гибким играм с числами, они бы набирали бо́льшую математическую силу, а маленькие дети обеспечивали себе оптимальный старт в математике. Но это касается не только молодых: взрослые также могут поменять свое отношение к математике, если начнут воспринимать числа в игровой форме.

Далее мы увидим еще больше ish-форм. Если мы хотим, чтобы математика стала полезной линзой, через которую ученики смотрят на мир, очень важно, чтобы мы ценили ish-природу чисел и фигур, приветствовали их и в большей степени опирались на них на занятиях. Когда я впервые поделилась идеей ish на одной математической конференции, один из слушателей порекомендовал мне прочитать детскую книгу Питера Рейнольдса Ish. В этой прекрасной книге, вдохновившей многих учителей и учеников, автор рассказывает историю Рамона, мальчика, который обретает веру в себя и мотивацию продолжать рисовать, когда думает «ish-но». В своей книге Рейнольдс отразил суть того, что я надеюсь выразить с помощью ish-математики. Когда мы позволяем ученикам думать о математике «ish-но», это раскрепощает их мышление и зовет в новые края математического творчества и разнообразия.

Большинство учащихся не знакомятся с математикой в ish-ной, игровой, визуальной или любых других формах, что идет им во вред. Это уже достаточно плохо, но все действительно начинает идти наперекосяк, когда дети начинают изучать математические операции – сложение, вычитание, умножение и деление, а затем и дроби. Эти важные и весомые темы нужны людям в течение всей жизни, и скоро мы начнем изучать их творческим образом. Но до этого мы рассмотрим область математики, которая зародилась совсем недавно, но уже играет важную роль в подготовке нашей молодежи к будущему, предлагая еще одну возможность увидеть красоту математического разнообразия и ish-ность.

Информационная грамотность

Около десяти лет назад в мире произошли значительные перемены: мы стали собирать и хранить все бо́льшие и бо́льшие объемы данных. В 2020 году количество битов информации на планете в 10 раз превосходило число звезд во Вселенной. Сегодня данные используются во всех видах бизнеса, больших и малых, в спортивной аналитике, здравоохранении, образовании, развлечениях и практически во всех областях, какие только можно вообразить. Федеральное бюро статистики труда США считает науку о данных одной из двадцати самых быстро развивающихся профессий, и, по его оценкам, в ближайшие десять лет спрос на таких специалистов возрастет более чем на 30 %¹⁵⁰. Нет сомнений, что современные дети, выйдя из школы, попадут в мир, наполненный данными, и почти все работники будут трудиться более эффективно, если научатся читать и интерпретировать информацию¹⁵¹.

Однако такое умение принесет пользу не только на рабочем месте. Как только молодые люди начинают пользоваться социальными сетями и интернетом, они становятся уязвимыми к дезинформации. Мы должны помочь им научиться отделять факты от вымысла, разбираться в получаемых визуальных источниках, включая и те, которые призваны ввести их в заблуждение. Я считаю это необходимым для обеспечения справедливости. Если мы не научим нашу молодежь разбираться в бесчисленных пластах информации и отбирать только нужные сведения, мы оставим их беззащитными перед ожидающим их миром, где эмоции превалируют над фактами. Даже самых маленьких можно и нужно знакомить с информацией, и в оставшейся части этой главы я изложу несколько серьезных идей, касающихся грамотности в сфере данных, которые важны для всех, а также соображения о развитии информационной грамотности в семьях и классах.

Когда Стив Левитт приглашал меня выступить в одном из выпусков «Фрикономики», он рассказал о группе лиц, которые продвигают идею внедрять уроки по информационной грамотности в программу двенадцатилетнего образования К–12. В эту группу входили сам Левитт, Арне Дункан – бывший министр образования, Нейт Сильвер – статистик и создатель сайта FiveThirtyEight, фокусирующегося на анализе опросов общественного мнения, а также Эрик Шмидт – бывший исполнительный директор Google. Я согласилась поучаствовать, и наша команда в Стэнфорде приступила к созданию информационного ресурса для помощи преподавателям. Я понимала, что учащимся необходимо разбираться в данных, но одновременно сознавала, что у учителей просто не найдется места в расписании для нового материала; поэтому мы разработали нечто более полезное, нежели контент, – методику понимания данных, которая позволит учителям внедрять идеи работы с данными в те курсы, которые они уже ведут¹⁵². Уже в детском саду дети смогут развивать информационную грамотность, которая поможет в восприятии мира. В школе они познакомятся с данными и вероятностью на уроках математики, а в старших классах смогут пойти на вводные курсы по данным и выбрать программу с акцентом на науку о данных, а не на алгебру, тригонометрию или анализ¹⁵³. К счастью, университеты начинают ценить такие схемы так же высоко, как и стандартную программу анализа.

Системное неравенство: математическая реальность

Гарвардский университет, который, как и многие другие учебные заведения, поддерживает расширение математических курсов, утверждает, что занятия математикой в средней школе должны быть направлены на развитие концептуального мышления: необходимо поощрять школьников рассуждать и анализировать для критического изучения мира¹⁵⁴. Курс науки о данных – идеальная возможность для учащихся приобрести эти важные навыки.

Может показаться, что подобные изменения, позволяющие школьникам старших классов заняться наукой о данных и статистикой, – это небольшой шаг; однако это первый случай изменения математической программы старшей школы с XIX века. В 1892 году Комитет десяти (рабочая группа педагогов из США) разработал учебную программу по математике для школьников¹⁵⁵. Удивительно, что мы до сих пор преподаем по ней, хотя математические потребности мира с тех пор резко изменились. Естественно, перемены встречают серьезный отпор со стороны традиционалистов, которые считают, что школьникам нужно преподавать только алгебру и анализ.

Я люблю и ценю анализ. В нем множество идей, и без него, как отмечает Стив Строгац, у нас не было бы ни сотовых телефонов, ни компьютеров, ни микроволновых печей, ни радио, ни телевидения¹⁵⁶. В моей старшей школе его вела замечательная учительница математики, которая втягивала своих учеников в обсуждение. Она стала первой преподавательницей математики, которая предоставила мне такую возможность, и это полностью изменило мое представление об учебе. Однако в США существует серьезная проблема, связанная с траекторией изучения анализа: число курсов в старшей школе, которые проходят перед изучением анализа, превышает количество лет обучения. Поэтому, чтобы двигаться по программе анализа, ученики должны пройти курс алгебры еще в средней школе. В результате школьные округа создали две учебные траектории в средней школе: одна включает алгебру в 8-м классе, а другая – нет. Зачастую разделение начинается в 6-м классе средней школы, опираясь на данные тестов, проведенных еще у четвероклашек. Это означает, что какой-то узкий тест, который дети проходили в возрасте десяти лет (а то и младше), определяет, какую программу они будут изучать в 12-м классе, и их дальнейшее будущее – колледж или что-то иное. Такая сортировка учеников привела к неоправданному расовому и социальному неравенству. Анализ изучают 46 % учащихся азиатского происхождения, в то время как среди латиноамериканских школьников этот показатель составляет 9 %, а среди черных – 6 %; в целом в США анализ проходят только 16 % школьников¹⁵⁷. Причина в том, что большую часть учеников, особенно цветных, с раннего возраста сталкивают с пути, ведущего к высокому уровню знаний. Программы углубленного анализа предлагает лишь половина старших школ в США (как правило, в более богатых районах), что создает проблемы, если такой курс требуется при поступлении в колледжи¹⁵⁸. Даже у тех 16 % учащихся, которые изучают анализ в старшей школе, преподавание ведется не на должном уровне. Дэвид Брессуд, профессор математики в колледже Макалестер и бывший президент Математической ассоциации Америки, проанализировал данные более 800 тысяч учащихся и обнаружил, что свыше двух третей студентов, изучавших ранее анализ в школе, в колледже либо пересдавали его, либо брали курс более низкого уровня¹⁵⁹.

Решение этих проблем системного расизма и низких результатов, конечно, заключается не в отмене анализа; требуется пересмотреть последовательность и материал занятий. Если бы старшая школа не требовала четырех курсов, предшествующих анализу (алгебра – геометрия – алгебра 2 – начала анализа[35]), то средним школам не пришлось бы выстраивать различные траектории, опирающиеся на результаты начальной школы. Я была одним из пяти авторов программы California Mathematics Framework 2023 – комплекса базовых принципов, единогласно принятых Советом по образованию штата Калифорния. Одна из рекомендаций этой программы – переосмыслить и упорядочить содержание курсов в старшей школе¹⁶⁰. Если из занятий убрать материал, который уже не актуален для современного мира, а оставшуюся программу преподавать в соответствии с рекомендациями Гарварда, чтобы школьники могли «использовать рассуждения для критического изучения мира», у нас будет гораздо больше выпускников, владеющих математикой. Математическая ассоциация Америки рекомендует школам прекратить то, что она назвала «гонкой к анализу», и оставить этот предмет для колледжа¹⁶¹.

Еще один способ преодолеть это системное неравенство – ввести науку о данных в качестве одного из курсов старшей школы. Ученики могли бы изучать ее в десятых-одиннадцатых классах, при этом им не требовалась бы какая-то углубленная подготовка в средней школе. Если раньше большинство учеников, переведенных на низкий уровень, двигались по пути в математическое никуда, то теперь они могли бы остаться на траектории, ведущей в прекрасное математическое нечто. В идеале за курсом науки о данных должна идти статистика. Через год после того, как Стив Левитт попросил меня помочь внедрить науку о данных в программу K–12, моя команда в Стэнфорде разработала курс по этой дисциплине для старшей школы, консультируясь со специалистами и преподавателями статистики. Наша программа опирается исключительно на бесплатные инструменты¹⁶². На момент написания этих строк американским школьникам доступны пять курсов по науке о данных. На второй год существования нашей программы ее уже прошли более 160 тысяч школьников. Их учителя рассказали, что среди учеников:

• 46 % девушек,

• 57 % цветных людей,

• 68 % людей, не имевших особой математической подготовки.

Этот бесплатный курс предоставляет возможность изучать математику каждому – вне зависимости от его математического прошлого. Исследования студентов, изучающих науку о данных, показывают, что к концу курса они активнее занимаются математикой и с бо́льшим энтузиазмом относятся к дисциплинам STEM (естественные науки, технологии, инженерия и математика) и к высшему образованию¹⁶³.

К сожалению, традиционалисты выступают против открытости и расширения возможностей для людей, которые обычно не имеют шансов учиться и работать в сфере STEM. Борьба за то, чтобы математика была доступна большему числу людей, ведется на протяжении всей истории человечества¹⁶⁴. Что интересно, противодействие исходит от тех, кто добился больших успехов в этой дисциплине. Циник мог бы сказать: идея, что каждый может продвинуться в изучении математики до высокого уровня, угрожает личности тех «особенных» людей, которые продемонстрировали свое превосходство. Другой мог бы заявить, что ему нравится система математического образования, которая сегрегирует детей по расе, гендеру и социальному классу. Конечно, не все выдающиеся математики поддерживают подобные тревожные идеи; я предполагаю, что те, кто выступает против широкого доступа к математике на базе расизма и предвзятости, – небольшая, хотя и громкая группа. К этому вопросу я вернусь в главе 8.

Наука о данных в классах системы К–12 – это не только новая возможность для старшеклассников, но и новый инструмент для взгляда на математику, предлагающий всем преподавателям возможность разнообразить материал для учеников всех возрастов. Когда учителя используют данные, они, возможно, говорят о тех же числах, что и раньше, но теперь эти числа обретают смысл – они отражают реальность мира. Конечно, нужно признать, что все числа, с которыми учащиеся сталкиваются в повседневности, – это ish-числа. Например, вы можете рассказать аудитории о десятичных числах. Вместо того чтобы раздавать ученикам готовые бланки с числами, можно попросить их измерить предметы в комнате или около школы и внести собранные данные в таблицу. Или, скажем, они могут измерить рост растений. Мир полон естественных десятичных и ish-чисел!

Проявляйте любопытство к данным

Существуют не только числовые данные: некоторые являются «категориальными» или «качественными». Например, если вы решите выяснить любимый цвет разных людей, то вы будете собирать категориальные данные.

Числовые данные различаются по важному параметру – они могут быть непрерывными и дискретными. Непрерывность возникает, когда возможные величины занимают целый интервал. Например, если вы собираете данные о росте людей, формально вы можете получить любое число. Пример дискретных данных – количество ног в вашей семье, включая домашних животных, или количество братьев и сестер в какой-нибудь группе людей. У вас не может быть двух с половиной братьев или ног.

Подобные виды данных окружают нас повсюду, и школьники могут получить массу удовольствия, исследуя данные в собственных мирах. Это придает смысл не только ish-числам, с которыми они сталкиваются, но и математике в целом. Когда ученики освоятся с данными, они могут заняться их изучением, начав с какого-нибудь вопроса, как показано на рисунке 4.12. В исследованиях данных мне особенно нравится то, что они приглашают людей искать закономерности – этот подход помогает во всех областях математики. Когда учащиеся находят закономерности, им предлагается выделить суть и рассказать о своих результатах. Этот процесс прекрасно годится для всех дисциплин и соответствует стандартам в математике, естественных науках (или по любой другой теме исследования), английском языке и во многих других предметах.

Рис. 4.12. Исследовательский процесс для науки о данных.

Идеально начинать урок или семейный разговор с того, что мы называем «беседой о данных». Ученикам предлагается «обратить внимание и поразмышлять» над представлением данных. Очень важно демонстрировать детям наглядные примеры и помогать им улавливать смысл, чтобы развивать ту грамотность, которая будет защищать их в мире, что только и ждет, чтобы ввести их в заблуждение¹⁶⁵. Представления данных можно найти везде: в журналах, газетах, социальных сетях и на сайтах. Когда я провожу такие беседы в классе, я призываю школьников обращать пристальное внимание на данные и их источник.

Такие беседы не только иллюстрируют мощь размышления над информацией, но и демонстрируют учащимся всех возрастов творческие подходы в современной визуализации данных. Примером отставания традиционных учебных программ от потребностей общества является тот факт, что школы предлагают ученикам каждый год в течение пяти лет изучать линейные графики. Однако в современном мире визуализация данных чрезвычайно креативна, и она может продемонстрировать те свойства, на которые неспособны в сезоне 2015–2016. линейные графики. Одна из моих любимых тем – данные о точках на площадке, откуда совершает броски легендарный баскетболист Стефен Карри; они приведены на рисунке 4.13. Ту же самую информацию можно изобразить, используя линейный график, но представление с помощью баскетбольной площадки намного информативнее¹⁶⁶.

Рис. 4.13. Представление данных о бросках с игры Стефена Карри

Когда мы впервые выложили такое наглядное представление на сайте youcubed.org, я поняла, что мы можем также обрабатывать данные из моего любимого вида спорта – футбола. В наши дни подобные данные представляют огромную ценность, поскольку используются для подбора игроков и улучшения результатов футболистов и команд.

Когда я занималась поисками визуальных представлений футбольных данных, я познакомилась с Майклом Помой, который работал аналитиком данных в женской футбольной программе в Университете Джеймса Мэдисона, а сейчас занимается тем же в женской профессиональной футбольной команде «Хьюстон Даш». Его должность, на мой взгляд, демонстрирует тот диапазон работ, что доступен для людей, разбирающихся в данных. Он показал нам схему, приведенную на рисунке 4.14, где изображены футбольные ворота и зоны, в которые летел мяч при пенальти для тех, кто не следит за футболом: пенальти (одиннадцатиметровые удары) назначают за нарушения игроков в пределах штрафной площади, и во время такого удара между бьющим и воротами находится только вратарь). Показатель PSxG, или ожидаемые голы после удара, – это вероятность гола при том или ином направлении удара. Плотность цветов на диаграмме соответствует успешности ударов.

Рис. 4.14. Представление данных по пенальти в матчах женских футбольных команд в Дивизионе I NCAA (Национальной ассоциации студенческого спорта) между 2017 и 2019 годами (примерно 6500 игр).

Я привела две диаграммы, посвященные спорту – области, которая изобилует данными и их анализом и может по-настоящему увлечь учеников, – однако в беседах о данных вы можете выбирать любые темы, например: сведение лесов, стоимость жилья, популярность собак, защита от вирусов и так далее¹⁶⁷. Такие разговоры преподносят данные в наглядной и творческой форме, что способствует продуктивному разговору и, что важно, развитию грамотности в этой области, поскольку люди учатся их читать.

Я родилась в Великобритании, и после переезда в США мне пришлось изрядно полетать через Атлантику. В свете этого мне было особенно интересно узнать о дизайнерах Джорджии Лупи и Стефани Посавек, которые живут по разные стороны океана: Стефани – в Лондоне, а Джорджия – в Нью-Йорке. Чтобы поддерживать связь друг с другом, дизайнеры в течение года каждую неделю отправляли друг другу открытки, в которых делились различными аспектами своей жизни с помощью данных. Они выбирали разные темы – улыбки, смех или нерешительность, а весь проект получил название «дорогие данные»[36] ¹⁶⁸. Для каждой из подобных тем они собирали различные сведения, которые называются переменными. Если переменных несколько, данные именуются многомерными – это центральная идея в науке о данных и в грамотности в этой области. Например, на одной из недель они сосредоточились на прощаниях (рис. 4.15), и собираемыми переменными стали тип прощания, с кем дизайнеры прощались и где оно происходило. Их прекрасные материалы теперь размещены на веб-сайтах и в книгах¹⁶⁹.

Рис. 4.15. Неделя прощаний: открытка, отправленная Стефани Посавек Джорджии Лупи.

dear-data.com.

Вдохновившись работой Стефани и Джорджии, я включила подобные вещи в свой курс в Стэнфорде, в уроки на нашем сайте и в наш курс науки о данных для старшей школы. Я предложила учащимся собрать произвольные данные о своей жизни, используя три или более переменных, и выделила им время для презентации данных в классе. Такое задание в значительной степени изменило взгляды студентов на данные и математику.

Кира Конте – студентка, посещавшая мой курс в Стэнфорде; ее мама работала в центре Youcubed и делилась с дочерью важностью установки на рост. Благодаря этому Кира поступила в Стэнфорд, а затем начала сама исследовать тему ментальности. Когда я предложила студентам задание сделать подборку данных о своей жизни, причем использовать не менее трех переменных, Кира решила сосредоточиться на взаимодействии со своей собакой Дейзи.

Ее данные включали тип взаимодействия, реакцию Дейзи и время суток. Получившийся у нее наглядный материал иллюстрирует креативность, которую можно применять к работе с данными.

Кира Конте

Задание: Как изучать математику – и что-то еще

Профессор Джо Боулер и Таня ЛаМар

Дорогие данные: В течение дня (с 6 утра до 22 вечера, пока я бодрствовала, я фиксировала взаимодействия с моей собакой – голдендудлем[37] Дейзи – и ее (иногда непочтительным) поведением. Обычно мы с ней вместе учимся.

Эти данные – за среду, 4 ноября 2020 года. Ниже вы найдете объяснения. Следует сказать, что порядок действий – от внешнего края лепестка внутрь.

Рис. 4.16. Наглядное представление данных о взаимодействии Киры с ее собакой Дейзи.

В первом разделе нашего бесплатного курса науки о данных учащимся предлагается собрать данные о собственной жизни и создать совместные наглядные материалы¹⁷⁰. Ученики, участвовавшие в этом занятии, сказали, что впервые рассказывают о себе на уроке математики. Один из них решил проследить за своим питанием, в результате чего заметил, что ему необходимо есть больше здоровой пищи! Другой в течение двадцати четырех часов фиксировал действия своего хомяка с помощью диктофона на телефоне. Подростки кодировали музыку, которую слушали, языки, на которых разговаривали дома, и произнесенные ругательства, которые забавно иллюстрировали! Они отмечали, что благодаря личному отношению впервые ощутили связь с изучаемой математикой. Любой учитель может включить такой модуль в свою программу, чтобы ученики получили возможность обрабатывать данные и осмысленно изучать математику.

Учащиеся курса центра Youcubed знакомятся с данными, собирая сведения из своей повседневности. Далее они учатся работать с большими массивами данных, строить и использовать математические модели и овладевать навыками эффективного анализа. Студенты, проходившие курс, утверждают, что данная программа разительно отличается от их предыдущего взаимодействия с математикой – не по уровню строгости или сложности концепций, а по способам доступа и разнообразию идей, с которыми они сталкивались¹⁷¹. Ранее при изучении математики они сталкивались с правильными/неправильными ответами и точностью, что контрастирует с изучением науки о данных, которая, как правило, сильнее связана с использованием и интерпретацией широкого набора идей и интерпретацией ish-чисел. Все это – важные составляющие математического разнообразия. Математическое разнообразие позволяет учащимся добиться более глубокого понимания математики – даже таких традиционных областей, как алгебра. Это продемонстрировал эксперимент с учениками, проходившими курс алгебры 2 и/или курс науки о данных в нескольких школах. Мы просили участников рассмотреть взаимосвязь между различными переменными – суточным потреблением калорий, продолжительностью жизни и младенческой смертностью – и построить линейную модель для этих взаимосвязей. Такой материал мы выбрали потому, что он является центральным как для курсов алгебры, так и для курсов науки о данных. Школьники, занимавшиеся наукой о данных, показали значительно более высокие результаты, нежели те, кто изучал алгебру 2 (уровень значимости p составил менее 0,001). Последнее означает: вероятность, что такая большая разница между уровнями наблюдается случайно, не превосходит одной тысячной. Хотя ученики, изучавшие алгебру 2, должны уметь исследовать переменные и создавать линейные модели, они, похоже, продемонстрировали неспособность работать с реальными данными.

В начале главы я упоминала, как мы просили преподавателей колледжей выделить те области математики, которые важны для учащихся, поступающих в колледж. В тройку упомянутых ими областей вошла та, что была выбрана для приведенного выше эксперимента: работа с линейными зависимостями. Эта важная математическая концепция, показывающая, как переменные связаны друг с другом, преподается в рамках курсов науки о данных и алгебры и находит применение в жизни людей за пределами школ и университетов.

Линейная зависимость

Во время пандемии COVID–19 наши экраны заполонили линейные модели, которые демонстрировали, как распространяется вирус, какую опасность он представляет и как можно минимизировать его распространение с помощью вакцин.

Одни люди, знакомые с наукой о данных, хорошо понимали представленную информацию; многие другие испытывали проблемы и в результате неправильного понимания плохо подготовились к защите себя и своих близких. С помощью линейной зависимости выражается значительная часть информации: вероятно, она попадалась вам в данных о ставках по ипотечным кредитам, о здоровье и фитнесе, спорте, погоде и многом другом.

Говоря о линейной зависимости, нельзя не упомянуть об одной важной концепции, которую изучают на курсах науки о данных: разнице между корреляцией и причинно-следственной связью. На графике на рисунке 4.17 на одной оси показан объем продаж мороженого, а на другой – количество нападений акул.

Многие люди, взглянув на этот график, заметят корреляцию двух переменных и подумают, что изменение одной из них вызывает изменение другой, что означает причинно-следственную связь. Но на самом деле это кажущаяся связь, и она обусловлена третьей переменной – так называемой спутывающей (или спутывающим фактором). Возможно, вы уже сообразили, что это за переменная.

Рис. 4.17. Продажи мороженого и нападения акул.

Спутывающая переменная в данном случае – количество часов жаркой погоды. Чем ярче светит солнце, тем больше людей проводит время на пляже и купается в море; следовательно, растет и количество нападений акул. Одновременно в жаркую погоду растут и продажи мороженого. В результате две переменные – количество нападений акул и продажи мороженого – коррелируют, однако причиной для обеих является третий фактор – количество знойных часов.

Существует множество данных, которые с виду демонстрируют причинно-следственную связь, однако на самом деле их сходство обусловлено одной или несколькими спутывающими переменными. Тайлер Виген даже создал забавный сайт, где выкладывает такие «ложные корреляции»¹⁷². Одна из его корреляций – между потреблением сыра моцарелла и количеством ученых степеней в области гражданского строительства.

Рис. 4.18. Потребление сыра моцарелла и ученые степени инженеров. Министерство сельского хозяйства США и Национальный научный фонд; tylervigen.com.

Когда я показываю аудитории график на рисунке 4.18 и прошу объяснить его, слушатели предполагают, что инженеры, вероятно, ели много пиццы, когда писали диссертацию! На сайте не сообщается, что является спутывающей переменной; вероятно, хотят, чтобы мы продолжали гадать![38]

За годы бесед с различными преподавателями я обнаружила, что, когда люди привносят данные в свою жизнь и в свое преподавание, они начинают воспринимать их и математику более ish-ным образом, то есть эти вещи становятся доступнее и всеохватнее.