ИГРА С ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ

В 2013 году, узнав о существовании этой игры на пикнике математиков с нашего факультета, я написал краткий пост в своем блоге. Он вызвал настоящий ажиотаж в интернете, угодив в топ сайта Hacker News[14] и на главную страницу Reddit[15], а кроме того, породил целый букет приложений для смартфонов[16]. Поскольку взлет моей карьеры в немалой мере связан с этой игрой, я много размышлял о том, что делает ее особенной. Элегантность правил? Легкость измышления стратегических идей? Подсознательная ассоциация с «Суперфрисби»?

Но лишь спустя годы меня осенило – это фракталы. Странно, что я не додумался до этого раньше.

Мы живем среди фракталов, они всюду: от облаков до береговых линий и ветвей деревьев. Возможно, именно поэтому «Супер-крестики-нолики» кажутся такими естественными. Обычные крестики-нолики всегда стремились эволюционировать в этом направлении.

КАК ИГРАТЬ

Сколько игроков? Двое.

Что потребуется? Карандаши и бумага. Нарисуйте крупно поле для крестиков-ноликов, а затем по одному мини-полю внутри каждого квадрата.

В чем цель? Выиграть на трех мини-полях, выстроенных в одну линию.

Какие правила?

1. По очереди ставьте крестик или нолик в маленьких квадратах. Первый ход можно сделать где угодно; после этого мини-поле, на котором вы будете играть, определяется предыдущим ходом противника. В зависимости от клеточки, которую он выбрал, вы должны сделать ход на определенном мини-поле.

2. Поставив три крестика или нолика на одной прямой на мини-поле, вы выигрываете там. Это мини-поле замораживается, а игрок, которому выпадает ход на нем, выбирает любое другое.

3. Побеждает тот, кто выиграет на трех мини-полях на одной линии.

Альтернативные условия победы перечислены в разделе «Вариации и родственные игры».

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА

Однажды майским днем 2018 года я заглянул на сайт политических новостей FiveThirtyEight и с удивлением прочел: «Трамп играет не в трехмерные шахматы, а в "Супер-крестики-нолики"», – гласил заголовок статьи Олли Рейдера.

В те годы многие из нас пытались понять действия президента Трампа. Он ввязывался то в одну, то в другую политическую авантюру, непредсказуемо меняя повестку дня. Что это было: продуманный план или просто импульсивность? «Он не игрок в трехмерные шахматы», – часто язвили критики.

Олли Рейдер тоже так думал. Он полагал, что Трамп играет в совершенно другую игру.

В шахматах всего одно поле битвы, а в «Супер-крестиках-ноликах» – много. «Эти игровые поля взаимосвязаны сложным и странным образом, – писал Олли. – Даже продуманная игра выглядит бессистемной, скороспелой и просто идиотской». Это игра «изменчивых, меняющихся целей», основанная «на отвлекающих маневрах, промедлении, обманных движениях, затягивании и импровизации». Именно такой была медиастратегия Трампа.

Хорошая политика? Наверное, нет. Хорошая игра? Бесспорно. Более того, это отличная концепция пространства: фрактальное ви́дение, когда в решениях тесно связаны малый и большой масштабы.

Так и возникает внутреннее напряжение. Хороший, казалось бы, ход на мини-поле (например, захват центральной клеточки) может оказаться стратегической ошибкой (ибо позволяет вашему противнику разгуляться на центральном мини-поле). Для победы вы должны найти баланс двух уровней, выполнив завет политических активистов: «Думайте глобально, действуйте локально».

ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ

Самая ранняя из известных мне версий – настольная игра 1977 года под названием «Десятикратные крестики-нолики». Более поздняя версия под названием «Тик-так-ку» получила в 2009 году премию в области настольных игр Mensa Select. У нее несколько иные правила: побеждает тот, кто выиграл на пяти мини-полях из девяти[17]. Электронная версия под названием «Тик-так-тен» появилась спустя несколько лет. Новое правило ускоряет процесс игры: выигрывая на одном мини-поле, вы сразу становитесь победителем.

Так или иначе, именно мой пост в блоге вызвал всплеск популярности этой игры.

У нее много названий. В «Википедии» упоминаются «Стратегические крестики-нолики», «Мета-крестики-нолики», «Крестики-тактики-нолики», «Крестики-нолики в квадрате». Я слышал еще два: «фрактальные крестики-нолики» (мое самое любимое) и «инцептуальные крестики-нолики» (самое нелюбимое). Как бы то ни было, вариант «Супер-», похоже, прижился. Я невероятно горд, ибо его придумали мои ученики в Оклендской школе. Вперед, матадоры!

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что мы живем во фрактальном мире.

Фракталы имеют одинаковую структуру на разных уровнях. Неважно, увеличиваете вы масштаб или уменьшаете. Посмотрите на ветви деревьев, где каждый отросток – миниатюрная версия большого. Или взгляните на изгибы береговых линий, внутри которых другие изгибы, но меньшего масштаба. Даже неосязаемая архитектура облаков фрактальна.

Неслучайно все это кажется нам прекрасным. Простая структура, повторяющаяся в разных масштабах, создает очаровательную сложность. Джеймс Глейк, автор книги «Хаос», назвал это «колышущейся, раскачивающейся, ожившей гармонией».

Фракталы появились на математической тусовке в XIX веке как незваные и отчасти нежеланные гости. Эти новые фигуры имели неправильную форму. Изобразить их было непросто. Математики называли их «патологическими», потому что они нарушали геометрический этикет.

Тем не менее на протяжении десятилетий их не рассматривали как единый класс объектов. Это была просто разрозненная совокупность уродливых игрушек. Затем, уже в XX веке, математик Бенуа Мандельброт объединил ее под общим названием «фракталы» и увидел в них не болезнь, а лекарство. Лекарство от чего? Ну, от старой глупой идеи о том, что действительность состоит из треугольников, квадратов, пирамид… По мнению Бенуа, по-настоящему патологическая геометрия – та, которой учат в школах. «Облака – не шары, – писал он, – горы – не конусы, береговые линии – не дуги окружностей, кора деревьев – не гладкая, а молния – не прямая».

Природа – не евклидова. Она фрактальная.

Платон был бы расстроен. Древнегреческий философ твердо верил в безупречную евклидову геометрию и в одном из своих диалогов утверждал, что вселенная состоит из треугольников, точнее говоря, из двух типов прямоугольных треугольников, вызывающих кошмары у изучающих тригонометрию.

Милый Платон, да взгляни же на свой любимый блог с пейзажами в Instagram[18]. Сколько треугольников с углами 30º, 60º и 90º ты видишь?

А теперь поищи фракталы. Их чуть побольше, не правда ли?

Природа – это сад фракталов. Горы – ступенчатые нагромождения камней, увенчанные нагромождениями камней поменьше, над которыми возвышаются еще более мелкие нагромождения камней. Трахея в ваших легких разветвляется и разветвляется, в среднем 23 раза, пока не превращается в крошечные похожие на пузырьки альвеолы, насыщающие кровь кислородом. Короче говоря, вы дышите фрактально. Задолго до того, как возникла фрактальная геометрия, геологи заметили, что крошечные русла рек на фотографиях похожи на каньоны, и поэтому для сопоставления масштабов стали помещать в кадр крышку объектива или молоток.

Любая малая вещь – микрокосм, любая большая вещь – макрокосм, а любой масштаб – отголосок другого масштаба.

Конечно, дерево за окном моего офиса не ветвится до бесконечности. Ну разве что раз восемь. Тем не менее этого достаточно, если верить книге «Фрактальные миры» математика Майкла Фрейма и поэтессы Амелии Урри. «Фракталом» мы называем фигуру, самоподобную по крайней мере на трех уровнях. «Супер-крестики-нолики», где поле представляет собой квадратную сетку квадратных сеток, соответствуют этому критерию. Хотите подняться еще на один уровень и сыграть на поле с 729 клеточками?[19] В добрый путь!

Не буду отрицать, что «Супер-крестикам-ноликам» не хватает драматизма раздвоенной молнии. Это такой же рукотворный фрактал, как и конденсаторы, пьесы Тома Стоппарда и картины Сальвадора Дали. Тем не менее, как и все плоды человеческой изобретательности, «Супер-крестики-нолики» уходят корнями в бездонный кладезь природы, до краев наполненный фракталами.

«Фрактальные структуры наблюдаются всюду, от планковского масштаба до масштаба всей Вселенной, – пишут Майкл и Амелия, – и, возможно, масштаба бурлящей и ветвящейся мультивселенной. Насколько нам известно, превысить этот масштаб уже невозможно».

Не исключено, что мои ученики подразумевали это, когда наделяли фрактальные крестики-нолики приставкой «супер».

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

Ускоренная победа. Выигрывает тот, кто первым одержит победу на одном мини-поле.

Чем больше, тем лучше. Вы должны завоевать больше мини-полей, чем ваш противник. Важно лишь их количество, а не то, как они расположены.

Общая территория. В обычной игре мини-поле на отшибе, которое не укладывается в линию, не учитывается. Но, если хотите, можете засчитать его двум игрокам одновременно (и, таким образом, помочь им выстроить три мини-поля в ряд).

Супердроп три. Эту идею подсказал мне Бен Исеке: приятное сочетание «Супер-крестиков-ноликов» и «Четырех в ряд». Играют так же, как в «Супер-крестики-нолики», но ваш крестик или нолик «опускается» до предела на каждой вертикали мини-поля. Завоевав одно мини-поле, вы одерживаете победу. (Альтернатива – выиграть три мини-поля на одной линии.)

При каждом ходе есть лишь три варианта: слева, по центру, справа. В итоге получается более напряженная, стесненная игра, но все равно достаточно сложная.

Супер-крестики-нолики наизнанку. По правилам ход вашего противника определяет мини-поле, на котором вы играете. В игре, вывернутой наизнанку, всё наоборот. Здесь ход вашего противника определяет клеточку, где вы должны поставить крестик или нолик, а выбор мини-поля за вами.

Вот метафора: в обычных «Супер-крестиках-ноликах» вы попадаете в один из девяти городов, а затем выбираете район; в этой же версии вы вправе выбрать город, а район в нем уже предопределен.

Это тяжелая игра. Мне с трудом удается планировать что-то дальше следующего хода. Следите за самым последним ходом; здесь легко заблудиться!