Когда дело касается виртуального человека, последствия хаоса и цифровой патологии вызывают беспокойство. Повышения точности чисел с плавающей запятой не всегда достаточно для борьбы с хаосом, который наблюдается в сердечных клетках, аксонах, нейронах водителя ритма и молекулярной динамике. Некоторые предполагают, что биология изобилует хаосом, потому что он обеспечивает «здоровую гибкость сердца, мозга и других частей тела»[123]. Эта проблема усугубляется цифровой патологией, обнаруженной при изучении схемы Бернулли.
Питер говорил об этом на многочисленных встречах. Реакция была неоднозначной. Некоторые полагаются на результаты цифрового компьютера, а не на точные математические рассуждения. Иногда они добавляют, махнув рукой, что фундаментальная ткань реальности дискретна, поскольку состоит из атомов и молекул. В приложении мы исследуем удивительные последствия этого для фундаментальной физики (если это подтвердится), хотя до сих пор нет никаких доказательств того, что пространство-время действительно является «зернистым».
В то время как те, кто машет руками, отрицают это, многие другие предпочли бы не знать: для них незнание – благо. Для сложных примеров из реальной жизни не существует известных «истинных», точных непрерывных математических описаний, которые можно использовать в качестве эталона. Многие, столкнувшись с этой дилеммой, предпочитают прибегать к компьютерному моделированию, даже если оно может быть ошибочным.
Существуют способы свести проблему точности и корректности к минимуму. Одним из них является использование «стохастического округления» – средства использования чисел с плавающей запятой высокой точности для случайной интерполяции того, какие числа вставлять в последнюю часть двоичного числового представления, чтобы предотвратить отклонение чисел с плавающей запятой одинарной точности из-за ошибок округления. Этот подход еще не доступен на современных компьютерах, но может стать таковым через несколько лет.
Другие поверили в «эргодическую теорему» (обсуждаемую в нашей книге The Arrow of Time), которая возникла сто лет назад при изучении физических проблем, таких как небесная механика и движение бильярдных шаров или молекул в газе. Эргодичность выражает идею о том, что, например, молекулы газа в резервуаре в конечном итоге посетят все части резервуара равномерно и случайно; эргодическая теория изучает глобальные свойства таких систем, развивающихся во времени. По прошествии достаточного времени все траектории равномерно распределяются, создавая независимое от времени вероятностное состояние равновесия – свойство, в эргодической теории известное как смешивание, аналогично тому, как капля черных чернил растекается, делая воду равномерно мутной, когда достигает равновесия.
Многие приверженцы эргодичности полагают, что, если прогнать одно моделирование «достаточно долго», оно исследует все возможности, которые можно извлечь из ансамбля. Они представляют поведение изолированных динамических систем, подчиняющихся уравнениям движения Ньютона (представьте себе бильярдные шары, подпрыгивающие на столе без отверстий и без трения), которые, как показал сам Пуанкаре, возвращаются в исходное состояние почти точно через конечный, но чрезвычайно длительный период времени, поэтому цикличны всегда.
Но когда дело доходит до хаотических систем, которые смешиваются, таких как диспергирующаяся капля чернил, распределение вероятностей достигает состояния равновесия, которое больше не меняется, поэтому временная эволюция необратима (именно поэтому мы и обсуждали ее в The Arrow of Time). Более того, чем дольше мы интегрируем хаотическую систему на компьютере, тем менее точными становятся расчеты из-за эффекта бабочки: ошибки округления могут сбить орбиту системы. Хаотическая динамика еще раз означает, что использование чисел с плавающей запятой для расчета длинных траекторий приводит к нерепрезентативному поведению.
Хотя мы очень мало знаем о том, как точность схем с числами с плавающей запятой (или другими дискретными числами) влияет на способность компьютеров сходиться к правильным ответам, можно занять прагматическую позицию, которая может оказаться приемлемой в некоторых инженерных и других «реальных» областях применения. В таком случае у нас есть существенная неопределенность как в численных решениях интересующих нас уравнений, так и в том, правильно ли сами уравнения описывают физическую систему, которую мы пытаемся смоделировать. У нас также есть большие неопределенности в параметрах, которые мы вводим в эти уравнения, из-за использования конечных – а в некоторых случаях, например, при моделировании погоды и климата, очень грубых – методов дискретизации, а также флуктуаций, которые возникают при экспериментальных измерениях. В свете всех этих неопределенностей некоторые считают, что нет смысла даже пытаться выполнить расчеты более высокой точности с использованием чисел с плавающей запятой. Но эта якобы прагматичная позиция просто противопоставляет множество источников неопределенности и далеко не соответствует стандарту точности, которого требует профессиональный математик.
На данный момент ансамбли – по-прежнему лучший способ справиться с хаосом. Они дают возможность понять проблемы, создаваемые числами с плавающей запятой, и степень, до которой они могут подорвать симуляцию, поскольку патология выдерживает все усреднения по ансамблю (и времени), которые можно применить, вне зависимости от точности чисел с плавающей запятой.
Однако есть еще один способ убедиться в точности моделирования, основанный на аппаратном обеспечении: аналоговые вычисления предлагают полностью надежный путь. Как мы увидим в девятой главе, ответ может прийти, если вернуться в будущее вычислений и разработать современные формы первых аналоговых компьютеров, которые манипулируют светом, а не циферблатами, спицами и шестернями. Моделирование, выполняемое на аналоговых компьютерах, не покажет патологий, вызванных дискретными системами счисления.