Как многое в науке, корни этого поразительного открытия уходят в глубь астрономии прошлого века. Астрономы, рассчитывая движение планет и их спутников на основе законов Ньютона, вскоре убедились в том, что, хотя здесь все ясно, кое-что отнюдь не просто. Более того, лобовой атакой здесь не добьешься многого.

Вскоре выяснилась причина. Трудности возникали из-за того, что в закон тяготения входит не само расстояние между притягивающимися телами, а квадрат этого расстояния. Пока речь шла о движении одной планеты вокруг Солнца, эти трудности можно было преодолеть. Правда, результаты вычислений не совпадали с наблюдениями. Ведь вокруг Солнца вращается не одна планета. Задача об одиночной планете — это слишком далеко идущая идеализация. Ясно, что следует ставить задачу точнее. Учесть влияние хотя бы одной ближайшей планеты.

Здесь астрономов ждало разочарование. Эта, казалось, лишь слегка усложненная задача не поддавалась решению. Лучшие математики пришли к заключению о том, что эта задача вообще не имеет точного решения. Так ученые впервые познакомились со знаменитой задачей о движении трех тел, подчиняющихся законам Ньютона. С неразрешимой задачей трех тел. Со временем математики разработали методы приближенного решения этой задачи в важном для практики случае, когда масса одного из тел (Солнца) много больше масс двух других (планет) Наиболее употребительный из этих методов называют методом возмущений. Его суть состоит в том, что сперва решают задачу о движении двух тел — одной из планет и Солнца, а потом используют то обстоятельство, что вторая планета действует на первую гораздо слабее, чем Солнце. Вторая планета лишь слегка возмущает (искажает) простое движение первой, полученное на начальной стадии решения.

При изучении движения Луны первая ступень — вычисление того, как она двигалась бы вокруг Земли без учета действия Солнца. Конечно, Солнце много больше чем Земля, но оно и много дальше от Луны, а закон тяготения гласит, что сила тяготения убывает при увеличении расстояния так, как растет квадрат расстояния. Поэтому в задаче о Луне влияние Солнца играет лишь роль возмущающего воздействия.

Со временем математики значительно усовершенствовали метод возмущения и теперь могут учитывать одно за другим возмущающее действие все более далеких планет или, изучая движение спутников Юпитера, учитывать не только их взаимодействие, но и влияние Солнца, Сатурна, а если требуется, то и влияние других планет.

Известно, что именно таким путем была открыта планета Нептун. Самые точные расчеты с учетом влияния всех известных ранее планет не совпадали с наблюдаемым движением наиболее удаленной от Солнца планеты Уран. Тогда У. Леверье и независимо от него Дж. Адаме предположили, что расхождение вызвано влиянием неизвестной планеты, движущейся за орбитой Урана. Потребовалось произвести сложнейшие вычисления, чтобы, исходя из отличия видимого движения планеты Уран от расчета, проведенного с учетом возмущающего действия остальных известных планет, предсказать, где на небосводе следует искать неизвестную планету. Леверье, работавший в Париже сообщил свои результаты берлинскому астроному Галле, и тот уже в четвертую ночь нашел вблизи указанного места слабую звездочку, не числящуюся в звездных каталогах. Наблюдая ее в течение некоторого времени, он обнаружил, что звездочка движется по траектории, предсказанной Леверье. Адаме, который годом раньше сообщил свои расчеты королевскому астроному Эри, работавшему по соседству, потерял приоритет открытия, потому что Эри не удосужился провести соответствующие наблюдения.

Мы остановились на этой истории для того, чтобы продемонстрировать мощь метода возмущения, ибо он сыграл важную роль в решении многих задач, не поддающихся точному решению, в частности задач, родственных задаче трех тел. Эти задачи принадлежат к классу нелинейных задач, для их изучения необходимо решать нелинейные дифференциальные уравнения. Название «нелинейные» связано с тем, что график изменения по крайней мере одной из величин, входивших в эти уравнения, изображается не прямой линией, а более сложной кривой.

Задачи такого типа в течение долгого времени возникали только в астрономии и в некоторых областях механики.

Все изменилось после изобретения радио А. С. Поповым, точнее — после того, как на смену искровым радиопередатчикам пришли дуговые, а затем ламповые.

Инженеры должны были научиться рассчитывать ламповые радиопередатчики. Они сразу обнаружили, что характеристики радиоламп, отображающие зависимость электрического тока, протекающего через лампу, от напряжения, приложенного к ее управляющему электроду, не могут быть изображены прямыми линиями, а имеют вид сложных кривых. Первым преодолел эту трудность и добился успеха Бальтазар ван дер Поль. Он применил метод возмущения.

Быстрое развитие радиотехники потребовало от физиков изучения множества проблем, возникавших перед радиоинженерами, нуждавшимися в надежных методах расчета все более сложных схем радиопередатчиков и радио приемников. По-прежнему камнем преткновения были характеристики радиоламп, даже отдаленно не похожие на прямую линию. Вариант метода возмущений, примененный ван дер Полем, позволял решать многие радиотехнические задачи. Однако он обладал одним недостатком, хорошо известным астрономам. Этот метод не давал уверенности в том, что полученное решение действительно является близким к точному решению реальной неупрощенной задачи.

В это время в Московском университете набирала силу школа физиков, созданная Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси. В центре интересов этих ученых и их учеников находилась разработанная ими Общая теория колебаний. Главная мысль, положенная в основу этой теории, заключалась в слове «общая». Дело в том, что Мандельштам еще в молодости установил глубокое единство, общность колебательных процессов, реализующихся в самых различных явлениях, приборах и машинах. Независимо от конкретной природы колебательных процессов, не имеющих с первого взгляда ничего общего между собой, они обладают глубокой внутренней общностью. Она выражается ярче всего и яснее всего тем, что они могут быть описаны одними и теми же математическими уравнениями, подчиняются этим уравнениям и их решениям. В качестве примера можно указать на качающийся маятник, на мячик, подпрыгивающий над твердым полом, на магнитную стрелку, колеблющуюся вокруг направления север — юг, на детскую игрушку, состоящую из тяжелого шарика, подвешенного на резинке, на птицу, только что опустившуюся на ветку и качающуюся вместе с ней. Каждый может придумать другие примеры. Если рассматриваемые в них колебания не слишком велики, то они обладают общими свойствами: скорость колеблющегося тела достигает наибольшего значения, когда его отклонение от положения равновесия равно нулю. В этот момент возрастание скорости прекращается и начинается ее уменьшение. Скорость достигает нуля, когда отклонение от положения равновесия максимально, безразлично в какую сторону — вправо или влево, вверх или вниз, но максимально.

Мандельштам подчеркивал, что сила Общей теории колебаний основана на глубоком единстве сущности колебательных процессов, выражающейся в том, что все родственные колебательные процессы могут быть описаны одним и тем же уравнением. Поэтому, говорил он, достаточно изучить один из колебательных процессов, решить это уравнение всего один раз. Полученные решения могут быть затем в готовом виде применены ко всем остальным колебательным явлениям и процессам, подчиняющимся этому же уравнению.

Конечно, общность не есть всеобщность. Существует много различных классов колебательных процессов, которые невозможно охватить одним уравнением. Например, стоит привязать к шарику, подвешенному на резинке, вторую резинку, удерживающую второй шарик, и их совместные колебания будут существенно отличаться от того, как они колеблются по отдельности. Соответственно будет отличаться и уравнение, описывающее колебания двух шариков, связанных между собой. Но и это новое уравнение применимо не только к описанию поведения сдвоенных шариков, но и к изучению многих аналогичных колебательных систем.

Подобных различных классов колебательных систем много. Но каждому из них принадлежит свое большое семейство процессов, обладающих между собой глубокой внутренней общностью. Конечно, каждый класс надо изучать отдельно, заново решая уравнение, описывают этот класс. Однако и при этом экономится много сил, времени и средств.

Главное преимущество состоит в том, что человек, овладевший Общей теорией колебаний, приобретает то, что Мандельштам называл колебательной интуицией, позволяющей судить о новом явлении на основании опыта, полученного при изучении многих других явлений.

Теперь нужно возвратиться к оговорке, сделанной в начале одного из предыдущих абзацев. Перечислив примеры родственных колебательных систем, мы начали следующий абзац фразой, содержащей условие: «…если рассматриваемые в них колебания не слишком велики, обладают общими свойствами».

Весьма неопределенное утверждение! Что значит «не слишком велики»? По сравнению с чем? Как определить «слишком» или «не слишком»?

Может быть, читатель уже сам задумался над тем, почему и зачем написана эта фраза. Ведь все содержание последующих фраз в этом абзаце не зависит от того, «слишком» или «не слишком».

Верно, читатель. Свойства, перечисленные в том абзаце, неизменны. Теперь пора поговорить о свойствах колебательных систем, сохраняющих общность, если их колебания не слишком велики, и теряющих эту общность при интенсивных колебаниях.

Прежде всего нужно условиться, чем различаются «слишком» и «не слишком».

Колебания можно считать «не слишком» интенсивными, если графики, изображающие любую характеристику этих колебаний, можно изобразить одной прямой линией. Например, зависимость отклонения положения маятника от величины внешней силы или зависимость силы тока приложенного напряжения. «Слишком» — если графики этих зависимостей сильно отличаются от прямой линии.

Это определение тоже не является точным или строим, но теперь ясно, что имеется в виду. Чем сильнее график отличается от прямой линии, тем менее общими оказываются свойства колебательных систем. Конечно, некоторая общность сохраняется, но различия увеличиваются. Ведь не отличаться от прямой линии можно только одним способом — отличаться так мало, что различие оказывается не существенным. Но отличаться можно на бесчисленное количество ладов. Кривая может пересекать прямую один раз, или несколько раз, или множество раз, пересекать круто или полого, и т. д. и т. п. (ведь нужно где-нибудь остановиться). И каждый раз свойства колебательной системы оказываются различными.

Так на основе линейной теории колебаний возникает нелинейная теория колебаний. Этим названием физики привыкли обозначать теорию, изучающую колебания систем, графики свойств которых (их характеристики) не могут быть изображены при помощи одной прямой линии. Здесь важно подчеркнуть слово «одной», потому что ломаная линия, состоящая из нескольких прямых, является непрямой, а кривой (а не прямой) линией.

Ламповый генератор, изученный ван дер Полем, обладал непрямой характеристикой. Поэтому его нельзя было изучить при помощи хорошо разработанных методов линейной теории колебаний. Отличия характеристики от прямой линии были существенными, именно эти отличия определяли замечательные особенности лампового генератора. Но характеристики были не настолько непрямы, чтобы воспрепятствовать применению метода возмущений. Это позволило ван дер Полю добиться успеха.

Зная о недостатке варианта метода возмущений, примененного ван дер Полем (этот недостаток не был профессиональной тайной астрономов или математиков), Мандельштам поручил своему аспиранту А. А. Андронову хорошо владевшему математикой, поискать в трудах математиков, занимавшихся проблемами астрономии, более подходящие варианты метода возмущений.

И Андронов нашел.