Алексей Савватеев: Здравствуйте!
Аудитория: Здравствуйте!
А.С.: Для начала я расскажу кое-что о себе.
В 1990 году я закончил 57-ю школу г. Москвы. Может быть, кто-то из вас ее знает. Тогда это была математическая школа. Но в 1989 году по инициативе нашей учительницы литературы Зои Александровны Блюминой было принято решение набрать гуманитарный класс, чтобы уравновесить огромный перекос учащихся в мужскую сторону в нашей школе. Я был в 11-м классе, а набрали 9-й.
Зачем я об этом говорю? У меня в гуманитарном классе была подруга, которой я объяснял математику. Однажды надо было решить уравнение типа sin x = 1/2. Я объяснял, объяснял, объяснял, а потом перешел к решению уравнения sin y = 1/2. Она говорит: «Стой… Там же был sin x».
Я начинаю объяснять: «Это закрытый терм, замкнутая переменная, она уничтожится». Ничего не понимает, в глазах ужас. Я продолжаю: «Мы должны решить уравнение относительно у, да?»
— Нужно же было относительно х решать, ну зачем ты «у» написал?
У меня случился затык, не могу объяснить и всё. И тогда я понял, что из меня получается очень плохой учитель. Я привык говорить со школьниками, которые приходили на маткружок. А они не задавали таких вопросов.
Спустя годы я закончил мехмат МГУ и Российскую Экономическую Школу (РЭШ), после чего ездил по регионам России, вел курсы повышения квалификации для преподавателей экономики. В Москве считалось, что экономика — наука совершенно математизированная и точная. По крайней мере, и в РЭШ, и в Высшей Школе Экономики до сих пор всячески насаждается, что математика — это главное в экономике. В регионах мы столкнулись, однако, с преподавателями, которым было трудно перешагнуть через вещи, для математиков очевидные. Но через пять дней курса многие слушатели оказывались очень способными к математике. Просто в некотором месте у них стоял заслон. Его полезно преодолеть всем, ибо это — часть интеллектуальной культуры. Даже если вы никогда не занимались математикой, некоторые вещи знать надо… Так же как я должен знать что-то про историю или химию.
Давайте теперь поговорим о словосочетании «абсолютное доказательство». Если вы в общем и целом поймете, что это такое, то значит, мы не зря сегодня позанимались с вами.
Что такое абсолютное доказательство, я объясню на примерах. Начнем с игры в «пятнадцать».
Слушатель: Пятнашки?
Слушатель: Шестнашки?
А.С.: Чтобы мы говорили об одном и том же, я объясню правила этой игры.
В квадрате 4 x 4 имеется пятнадцать одинаковых квадратных фишек, пронумерованных от 1 до 15. Их нельзя вынимать, можно только передвигать на свободное место. Стандартная исходная позиция: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 и пустое место, которое используется для передвижения фишек. (См. рис. 1; может быть задана и нестандартная исходная позиция.)
Рис. 1. Стандартная исходная позиция игры в «пятнадцать».
Пустое место можно гнать по всей игровой зоне, т. е. разрешенное действие при игре — передвижение на пустое место одной из соседних с ним фишек.
Игру придумал где-то 130 лет назад американский математик-популяризатор Сэм Лойд. А чуть позже он пообещал большой приз ($1000) тому, кто переведет комбинацию с картинки рис. 2 в исходную позицию на рис. 1.
Рис. 2. Исходная позиция, которую получили, поменяв местами фишки 14 и 15.
Такая вот детская игра. Делайте, что хотите (в рамках указанного правила). Передвигайте фишки как вам угодно. Только приведите игру в исходную позицию. Начался настоящий пятнашечный бум. Примечательно, что на этот момент наука алгебра в другой части света находилась в очень продвинутом состоянии. Математики сказали свое веское слово, предоставив абсолютное доказательство того, что выиграть в такую игру невозможно. Тем не менее ажиотаж с игрой в пятнашки продолжался еще много лет — так много было желающих посрамить математику и «срубить» тысячу долларов.
Что же означает в этой игре «абсолютное доказательство»? Это значит: какие бы действия вы не совершили, сколько бы времени и каким количеством способов бы не передвигали фишки, вы никогда, ни при каких условиях не вернетесь из позиции на рис. 2 в исходную позицию на рис. 1. В частности, если кто-то предъявил такое решение, значит он — лгун. Он, видимо, взял, выдрал фишки из коробки и расставил их в правильном порядке. Абсолютное доказательство — это точное, настолько точное утверждение, насколько вообще что-то может быть точным. Математика — наука точных утверждений. Не «примерно», не «может быть», не «скорее всего, не приведете», а никогда, ни при каких условиях не приведете, какие бы способности к этой игре у вас ни были.
Я постараюсь доказать эту теорему. Но что значит «постараюсь доказать»? Что вообще означает «доказать»? Что значит «я ее докажу»? Как вы это понимаете?
Слушатель: Мы будем убеждены.
А.С.: Вот именно. Я найду способ вас убедить. Но с другой стороны, это не совсем то, что нам нужно.
Расскажу такую историю. Один рыцарь объяснял другому рыцарю математику. Первый рыцарь был очень умный, а второй — очень глупый. Второй рыцарь никак не мог понять доказательство. И тогда умный рыцарь говорит: «Честное благородное слово, это так». И второй сразу поверил: «Ну, тогда о чем разговор. Мы же с Вами люди безупречной чести, и я, конечно, Вам верю. Я полностью убежден».
У нас разговор пойдет не о таком способе убеждения. Идея математического, абсолютного доказательства не в том, что я дам честное слово, а в том, что я, апеллируя к вашему разумению, передам вам какое-то знание, которое вы потом столь же спокойно передадите дальше. Вы придёте и скажете: «Мы знаем, почему в “пятнашки” бессмысленно играть. Мы это знаем совершенно точно, нам это доказал Алексей. И не просто доказал при помощи какого-то там шаманства, пошаманил-пошаманил и сказал, что нет решения у этой задачи. Мы получили такое знание, которое сможем воспроизвести и доказать, что выиграть в игру “пятнашки” невозможно».
Насчет пошаманить есть очень поучительный эпизод из жизни математиков. В начале XX века жил в Индии математик Сринива́са Рамануджан. На момент начала нашей истории ему было 26 лет. Он заваливал письмами лондонское математическое общество, в которых были формулы, содержащие числа «π» и «е» (мы с ними позже познакомимся) и страшные бесконечные суммы, которым эти выражения равны. В Лондоне проверяют — всё верно. А Рамануджан присылает всё новые и новые письма. Профессор математики Г. Харди приглашает его приехать в Англию и рассказать, как он выводит эти формулы. Рамануджан отвечает, что формулы сообщает ему во сне богиня Маха-Лакшми[3]. Харди, конечно, посмеялся, решив, что индус не хочет делиться секретом.
Английский математик пишет новое письмо, в котором пытается заверить Рамануджана, что никто не будет претендовать на его открытие. Такое предположение оскорбляет индуса. Он отвечает, что совершенно не дорожит такими вещами, как авторство.
В конце концов Рамануджан все-таки приехал в Лондон, где стал профессором университета. Многие присланные им формулы оказались верны. Но далеко не все из предложенных им формул на сегодняшний день доказаны. Некоторые из них остаются откровениями, которые были сообщены богиней Рамануджану. «Абсолютное» их доказательство пока неизвестно.
А теперь отдохнем, посмотрим на этот футбольный мяч (рис. 3).
Рис. 3. Неужто и здесь прячется доказательство?
Из чего состоит мяч? Он сшит из лоскутков. Вы когда-нибудь задумывались над том, как именно сделан футбольный мяч и почему именно так? Это чисто математический вопрос. Вы пока подумайте, где же тут математика. А я приступаю к математическому доказательству невозможности выиграть в игру «15».
Начнем с гораздо более простой ситуации. Возьмем доску 8 x 8 (рис. 4) и достаточно большой запас (заведомо больший, чем нам может понадобиться) костей домино (одна доминошка покрывает две клеточки на доске).
Рис. 4. Доска 8 x 8.
Рис. 5. «Урезанная» доска 8 x 8.
Теперь я аккуратненько отрезаю у квадрата 8 x 8 два противоположных угла (рис. 5). Получилась фигура, которая состоит из 62 квадратиков. Число, делящееся на 2. Поэтому почему бы не попробовать замостить ее доминошками. Но если вы начнете пытаться сделать это один, два, три, четыре раза, у вас ничего не будет получаться. 30 доминошек влезет, а 31-я — нет. Физик, когда увидит эту ситуацию, поэкспериментирует 1000 раз и скажет: «Экспериментально установлен закон — нарисованная фигура не замощается доминошками 1 х 2». Физик[4] также может наблюдать за игрой в футбол много-много раз и сказать: «Экспериментально установлено, что мяч падает вниз, а также, знаете, все остальные тела, похоже, тоже падают вниз». Все знают, что все тела падают вниз. Это экспериментальный факт. Но доказать этот факт, в принципе, невозможно. Никто на свете не гарантирует, что завтра этот закон не прекратит действовать. Придумают какую-нибудь гравицапу, и всё полетит не вниз, а вверх. Это — физический закон, он не может быть доказан. Он может быть только проверен очень много раз. Еще хуже с социальными и экономическими законами, например, с законом «спрос рождает предложение». У экономистов много таких заклинаний. И они очень часто не работают. Наступает кризис, наступает новая фаза развития социума — и всё. Перестают быть верными старые законы. Социальная реальность постоянно ломает стереотипы, которые связаны с ее поведением, развитием, эволюцией. Физическая реальность так не делает, но тем не менее доказательств в ней тоже нет.
В нашем случае с доской мы, в принципе, можем попробовать перебрать все варианты и сделать вывод — не получилось. Но сколько времени нам нужно будет потратить? Давайте примерно оценим. Сколькими способами можно положить первую доминошку?
Слушатель: Тремя.
А.С. (показывая на доске 8 x 8 различные положения кости домино): Раз, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять…
Слушатель: Двумя.
Слушатель: Тридцатью.
А.С.: Ну, тридцатью — хорошо. А почему двумя?
Слушатель: Вертикально и горизонтально.
А.С.: Это два способа ее расположения. А сколько положений на самой доске она может занять?
Слушатель: Кучу.
А.С.: Очень-очень много. 30 — это довольно хороший ответ. На самом деле около 50. Давайте исходить из 50. На самом деле не важно, что 30, что 50, даже 10. Потому что после того как мы положили первую такую фишечку, сколько способов остается для второй?
Слушатель: (n − 1).
А.С.: Грубо говоря, 49. Еще, на самом деле, надо учесть порядок, в котором мы положили доминошки. Нужно поделить на два. То есть 50 умножим на 49 и поделим на два.
Дальше кладем третью, четвертую и так далее. И каждый раз домножаем и домножаем — количество вариантов очень быстро растет. (Показывает на доске всё новые варианты.)
Есть миф, будто математика состоит из формул. В 1993 году, когда я учился на 3-м курсе мехмата, я ехал на Урал к тете. Со мной в купе ехала мама с маленькой 4-летней дочкой. И дочка говорит: «Мама, а можно почитать дядину книгу?» Книга моя называлась «Алгебра». Мама сказала: «Ты в ней ничего не поймешь, там одни формулы». Я передаю книгу и говорю: «Найдите первую формулу. На какой она странице?» Формул в книге по алгебре не очень много, и самое страшное не в их количестве, а в том, что они ужасающие, в них одни буквы, даже цифр почти нет. Это, скорее, похоже на какой-то древний язык. Совершенно не то в книге, что должно быть с точки зрения людей. Идея, что математика состоит из формул, столь же чудовищна, как мысль, что в храм люди заходят, чтобы просто совершить обряд, поставить свечку. Моя дочь говорит, например: «Пойдем, поставим огоньки». Для нее это нормально, она маленькая. Математика — это вселенная, в которой есть язык формул. Но суть не в нём, а в том, какие глубинные законы есть в математике. И вот эти законы, эту внутреннюю красоту я постараюсь вскрыть.
После такого философского отступления вернемся к нашей доске.
Произведение, которое получится уже через 20 умножений, имеет порядок количества атомов во вселенной (как любят говорить в научно-популярных книгах). Вот с чем сравнимо количество способов, которые нужно перебрать, чтобы заявить: «Мы перебрали все варианты, задачу решить нельзя». Надо придумать что-то другое. И то, что мы сейчас придумаем это абсолютное доказательство.
Может быть, у кого-то есть идеи?
Слушатель: Взять площадь каждой фишки и разделить на нее общую площадь поля.
А.С.: Ничего не выйдет. Общая площадь 62, у каждой фишки 2, значит нужна 31 доминошка, это мы понимаем. Но 30 умещается, а 31 — нет (рис. 6).
Рис. 6. Внимание! На доске уже не квадратики, а «кирпичи»!
Последняя доминошка распадается на два квадратика в разных местах. И что бы вы ни делали, последняя будет, как заколдованная, распадаться на два квадратика.
Теперь я доказываю, что замостить доску доминошками невозможно.
Ведь перед нами, по сути, шахматная доска. Давайте вернем ей ее шахматный вид. Клетки на ней будут то черные, то белые (рис. 7).
После вырезания двух угловых квадратиков, сколько черных и сколько белых клеточек останется?
Слушатель: Одних будет больше, других меньше.
Слушатель: Одна доминошка должна покрывать и белую, и черную, да?
Рис. 7. Теперь все «кирпичи» сделаем двуцветными.
Рис. 8. Сеанс черной магии заканчивается полным разоблачением!
А.С.: Кто-то уже всё понимает (см. рис. 8). Любая доминошка, уложенная на эту доску, покрывает и белую, и черную клетку. Поэтому, если бы фигуру, которую я сейчас нарисовал, можно было бы заложить доминошками, черных и белых клеток было бы одинаковое количество. Но мы вырезали две белых. Осталось 30 белых и 32 черные клетки. Противоречие. Количества черных и белых клеток не равны друг другу. Значит, нашу фигуру нельзя замостить доминошками. Абсолютное доказательство закончено. Не надо ничего перебирать.
Повторю еще раз.
Я взял урезанную с двух сторон шахматную доску. Исходная шахматная доска имела 32 черные и 32 белые клетки. А в урезанной шахматной доске пропали две белые угловые клетки. Поэтому стало 30 белых и 32 черных. Теперь предположим на секундочку, что мы решили задачу, и все клетки заполнены доминошками. Следует заметить, что каждая доминошка обязана лежать одной своей половиной на черной, а другой своей половиной на белой клеточке, как ты ее ни клади. Следовательно, если бы мы смогли замостить эту фигуру доминошками в количестве 31 штуки, то была бы 31 черная и 31 белая клетка. У нас же 32 черные и 30 белых клеток. А значит, замостить обрезанную доску нельзя. В этом и состоит препятствие, как говорят математики, препятствие к решению задачи. Заметьте, что мы проводили доказательство от противного. Это очень важный прием. Я предположил, что мы задачу решили, и привел ситуацию к явному противоречию.
Переходим к более сложному сюжету — «разоблачению игры в пятнадцать».
Сейчас вы узнаете тайну, которую почти никто не знает: почему в пятнашки нельзя «выиграть», то есть перевести игру из позиции на рис. 2 в исходную позицию на рис. 1. Посмотрим на измененную позицию:
1, 2, 3, 4, 8, 7, 6, 5, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 13.
Рис. 9. На доске вписываем «извивающуюся змею».
Глядя на рис. 9, выпишу числа от 1 до 15 в линеечку, но не подряд, а хитрым способом. Зачем я это сделаю, будет ясно потом. Вот они:
1, 2, 3, 4, 8, 7, 6, 5, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 13.
Такой порядок движения древние греки называли «бустрофедон», что в переводе значит «так, как пашет бык» (рис. 10).
Рис. 10
С помощью такого движения я закодировал информацию об игровом поле в виде одной строки. Обратно раскодировать так же просто, как и закодировать (с точностью до нахождения пустого места).
Если, например, сдвинуть 14 в угол, то при кодировании я получу такую же строчку (см. рис. 11). Вообще, легко понять, что правила игры «15» позволяют быстро и уверенно перегнать пустое место на игровом поле на любую клетку из шестнадцати, двигаясь бустрофедоном.
Примечание. Кодированием называется процедура изображения элементов одного множества с помощью элементов другого (обычно более простого) множества, желательно таким образом, чтобы не потерялась никакая существенная часть информации о первом множестве.
1, 2, 3, 4, 8, 7, 6, 5, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 13.
Рис. 11. Пустое место может перемещаться вдоль «змеи».
При этом если пустое место находилось где-то в другом месте, в середине, например, то всегда можно передвинуть фишки так, чтобы оно оказалось в конце.
Теперь мы, начиная с положения рис. 9, должны каким-то образом менять это положение, гонять пустое место, чтобы прийти к последовательности, соответствующей рис. 1:
1, 2, 3, 4, 8, 7, 6, 5, 9, 10, 11, 12, 15, 14, 13.
Каждый раз, когда я переставляю пустое место, наша строка меняется. Я хочу показать, что как бы она ни менялась, кое-что сохраняется. В математике это называется словом инвариант.
Инвариант — что-то, что не меняется.
Понятие инварианта — одно из ключевых математических понятий.
Итак, есть что-то, что связано с нашей последовательностью, что при выполнении разрешенных действий не будет меняться. Что это, угадать так просто нельзя, иначе миллионы людей в Америке и в Европе не занимались бы ерундой.
В процессе перестановок строка будет сильно меняться, вплоть до очень серьезного перемешивания. Но что-то меняться не будет никогда. Давайте напряжемся и поймем, что это такое.
Рассмотрим все пары чисел (чисел всего 15). Сколько всего можно составить пар?
Слушатель: 7.
А.С.: Нет. Всех различных пар. Пусть у нас есть 15 кружочков разного цвета. Сколько существует способов вынуть два кружка?
Пока будем считать, что порядок, в котором мы вынимаем кружочки, нам важен. Сколькими способами я могу взять первый кружок?
Слушатель: Пятнадцатью.
А.С.: Пятнадцатью. Правильно.
Слушатель: 15 факториал?
А.С.: Нет. 15 факториал — это множество всех возможных строк.
Рис. 12. Нарисуем 15 разных кружочков с номерами.
Но ведь гуманитарии не обязаны знать слово «факториал», о котором мы с вами говорим. Термин «факториал» нам понадобится в других темах, поэтому я его определю.
Есть некоторое число n. Простите, я употреблю буковку. Умножим n на n−1, потом на n−2 и так далее, и, наконец, умножим на 2 и на 1. То, что получилось, обозначается n! (это и есть факториал числа n):
n! = n · (n − 1) · (n − 2) ·… · 2 · 1.
Например, «15 факториал»:
15! = 15 · 14 · 13 · 12 · 11 · … · 2 · 1.
Слушатель: Мы сейчас что-то прояснили?
А.С.: Нет. Было произнесено слово «факториал». И теперь я его объясняю.
Факториал это произведение подряд идущих, убывающих до единицы натуральных чисел. В нашей задаче он не понадобится (понадобится в другой лекции).
Первый кружок вы можете выбрать 15 разными способами. Сколько остается способов для выбора второго кружка?
Слушатели: 14.
А.С.: 14. Итого? Есть такое знаменитое правило произведения. Число способов выбрать пару — это произведение количества способов выбрать первый ее элемент на количество способов выбрать второй. Почему? Мы выбрали первый. Посмотрим, сколько пар мы с ним можем получить. Второй выбирается 14 способами, значит пар 14. А теперь мы выбрали другой первый, с ним тоже можно составить 14 пар. И так далее. Получается 14 + 14 + 14… и так 15 раз.
Отсюда и берется правило произведения: 15 · 14 способов.
Но есть одна хитрость. Я хочу посчитать пары независимо от порядка кружочков. Чтобы вот такие пары (см. рис. 13) не различались. Что надо сделать с количеством способов?
Рис. 13. Эти пары для нас не разные, а одинаковые.
Слушатель: Разделить на два.
А.С.: Да. Мы любую такую пару посчитали два раза. Один раз, когда мы сначала взяли синий круг, а потом белый. В другой раз мы первым взяли белый круг, а вторым синий. То есть мы каждую пару посчитали два раза. Поэтому ответ (15 · 14): 2 = 105.
Мы посчитали число имеющихся пар из 15 элементов «Цэ из 15 по 2», как говорят математики. «Цэ» означает первую букву слова combination (комбинация). См. формулу (1).
Математики любят символы. Но зачем они? Затем, что иначе придется очень много писать. Символы и язык математики нужны, чтобы сокращать запись. Почему древние греки и римляне не дошли до современных высот математики? Потому, что они тратили очень много времени на лингвистическую работу перевода математики в слова (и обратно: слов в математику). А вот когда математика перешла на символы, начался прорыв, о котором я еще расскажу.
Вернемся к нашим змейкам (формула (2))[5]. Первая из них соответствует измененной позиции, а вторая — исходной:
Для каждой пары чисел в каждой строке (а пар всего 105) мы спрашиваем, в правильном ли порядке написаны числа.
Слушатель: Частично да, частично нет.
А.С.: Верно. Например, 1 и 2 — в правильном порядке.
Слушатель: И последующая пара (2, 3) — тоже.
А.С.: Да, и следующая, и следующая за ней. То есть (4, 8).
Слушатель: В смысле «в правильном порядке»?
А.С.: «В правильном» не значит, что числа в паре соседние: и в (2, 3), и в (2, 7) — числа в паре расположены в правильном порядке.
Слушатель: По возрастанию.
А.С.: Да, по возрастанию. Большее следует за меньшим. Но, например, пара (15, 13) «нарушает порядок», потому что вначале идет большее число, потом меньшее.
Посчитаем количество пар, которые стоят в неправильном порядке. То есть по убыванию.
Слушатель: Простите, но ведь мы сами выбрали такую запись в виде извивающейся змеи. Мы разве не могли записать как-то иначе?
А.С.: Могли. Могли записать иначе, но тогда мы бы не преуспели в доказательстве того факта, который нам нужен.
Математика дает полную свободу исследователю. Когда он провел рассуждение и сказал: «Теперь всё доказано», — он оправдывает всё, что построил. Математик скажет: «Рассмотрим то-то и то-то». Зачем? Ужас, зачем, это рассматривать? А потом раз — и всё получилось (невзирая на «ужас»). Математика — самый свободный род занятий. Никакой моды, нет, ничего. Если вы, доказали недоказанную гипотезу, то чем бы вы ни пользовались, всё прощается. Победителей не судят (но иногда их слегка журят за сложноватое доказательство).
Итак, зачем я считаю пары, и почему так выписал змейку, пока не будет, понятно. Мы, договорились о некотором правиле. Мы, именно так выписываем числа. Вам придется принять это как есть. А дальше я считаю количество пар, которые стоят в неправильном порядке. Раз, два, три, четыре, пять, шесть… (см. рис. 14).
Рис. 14. Вылавливание неправильных пар в самом разгаре!
Условно разобьем наш ряд из 15 чисел на 4 группы в соответствии с номером строки. Рассмотрим для начала пару, элементы которой принадлежат разным группам. Ясно, что такая пара обязательно будет «правильной», так как любой элемент из группы слева меньше любого элемента из группы, стоящей правее: у нас группы от 1 до 4, от 5 до 8, от 9 до 12 и от 13 до 15. Значит, «неправильные» пары следует искать внутри групп. В первой и третьей группе всё хорошо, поэтому считать надо только оставшиеся две группы. Во второй группе 6 неправильных пар (8, 7; 8, 6; 8, 5; 7, 6; 7, 5; 6, 5). В четвертой группе чисел (для змейки, соответствующей измененной позиции) неправильных пар 2. Итого 8. А сколько неправильных пар в исходной позиции? (См. нижнюю строку на рис. 15 или в формуле (2) выше.)
Рис. 15. В верхней строке — восемь «беспорядков», а в нижней — девять.
Слушатель: 9.
А.С.: Да. 9. Мы находимся на подступах к пониманию. Сейчас я покажу, что никакие изменения пустого места не меняют четности, количества неправильных пар. Само количество, конечно, меняется. У нас оно пока равно 8, однако, если перемешать все фишки, согласно правилам игры «15», то количество неправильно стоящих пар изменится. Но удивительный факт состоит в том, что вы никогда не измените четности, этого количества. Само количество будет прыгать в сторону увеличения или уменьшения, но только на 2, на 4, на 6, словом, на ЧЕТНОЕ число единиц.
Начнем доказывать это утверждение. Где-то есть пустое место в коробке 4 x 4 (пусть конфигурация чисел, окружающих его, такая, как на рис. 16).
Рис. 16. И вот нашли пустое поле. Есть разгуляться где на воле!
Пустое место может сдвинуться в 4 направлениях (рис. 17).
Давайте рассмотрим все 4 варианта и посмотрим, что произойдет со змейкой.
Что происходит с выписанной змейкой чисел, если я передвигаю клетку с числом 11 налево?
Слушатели: Ничего.
А.С.: Правда. А что происходит со змейкой, если я передвигаю клеточку с числом 9 направо?
Рис. 17. Витязь на распутье. По какой же дороге мне пойти?..
Слушатели: Ничего.
А.С.: Ответ верный. Два других варианта немного более сложные, но совершенно однотипные.
Что происходит, когда клетка движется сверху вниз или снизу вверх?
Слушатель: У нас появляются неправильные пары.
А.С.: Да, у нас либо появляются, либо пропадают неправильные пары. Вопрос, сколько таких пар появляется и сколько пропадает? Ответ на этот вопрос зависит от того, где стояло пустое место. И вот здесь придется рассмотреть уже 4 варианта, но не для исходной стандартной змейки, а для любой. От самых простых в сторону самых сложных. Например, пусть в третьей строке получилось «9, 10, 11, пусто» (а номер 12 оказался в четвертой строке за счет каких-то предыдущих перемещений) (см. рис. 18).
Рис. 18. Следите только за третьей строкой.
Записываю фрагмент змейки:
… 8, 7, 6, 5, 9, 10, 11, пусто…
Нас интересует только этот фрагмент, потому что при движении, которое будет совершено, слева и справа в змейке ничего не изменится. Будет меняться только этот набор цифр. Расположение остальных пар не меняется. Внимание: «8» пошло вниз, пустышка — наверх (рис. 19).
Рис. 19. «Восмерка» и «пустышка» поменялись местами.
Как теперь будет выглядеть середина змейки? Вот так:
… пусто, 7, 6, 5, 9, 10, 11, 8…
Что произошло? Восьмерка из начала группы скакнула в конец. Какие пары свое значение поменяли? Группа из шести чисел (7, 6, 5, 9, 10, 11) целиком сохранилась. Она просто поменялась местами с восьмеркой. Значит, какие пары поменяли, как говорят математики, «свой тип монотонности», то есть возрастание сменилось убыванием (или, наоборот, убывание — возрастанием)?
Слушатель: (8, 7).
А.С.: (8, 7). Здесь теперь (7, 8); а еще?
Слушатель: (8, 6), (8, 5)…
А.С.: При том движении, которое я произвел, поменяют взаимное расположение чисел только те пары, в которых участвовало число 8. Поэтому 6 пар изменили тип монотонности. Если были возрастающими — стали убывающими, и наоборот.
Рассмотрим каждую пару в отдельности.
Было (8, 5) (числа в порядке убывания), стало (5, 8) — возрастание. Количество неправильных пар изменилось на единицу вниз. Было (8, 10), стало (10, 8), количество неправильных пар изменилось на единицу вверх. С остальными парами — то же самое. Каждый раз мы добавляем или вычитаем единицу. Не может быть, чтобы где-то (вместо плюс/минус единицы) получился нуль, так как среди указанных шести чисел нет восьмерок (ведь каждое число, написанное на фишке, единственно).
Вне зависимости от знаков, количество изменивших тип монотонности пар всегда четно. Имеется 64 способа расставить знаки, но в результате всегда в качестве суммы получится четное число. Соседние плюс/минус единички либо добавят к сумме 2, либо добавят (−2), либо взаимно уничтожатся, давая ноль:
±1 ± 1 ± 1 ± 1 ± 1 ± 1
В каждой паре соседних плюс/минус единичек получится или 0, или 2 или −2. То есть общее изменение количества «неправильных пар» может произойти на 6, 4, 0, −2, −4, −6.
Изменения происходят на четную величину, поэтому исходное количество «беспорядков» (оно было равно 8) могло стать числом 14, если все единички оказались бы с плюсом, могло остаться 8 (если бы было +1, +1, +1, −1, −1, −1). Могло стать 6, могло 4 или 2. Но никак не могло стать ни 5, ни 7.
В принципе, на этом месте я мог бы сказать «остальное проверьте сами», потому что в других случаях передвижения пустой фишки происходит ровно тот же самый эффект. Но давайте для аккуратности проверим что-нибудь еще. Например, вверх могло пойти число 14 (вместо того, чтобы опустить вниз число 8) (см. рис. 20).
Рис. 20. Еще один способ «освоения» пустого поля.
Что произойдет, где начались изменения? Только в нижних двух строках. Было 1, 2, 3, 4, 8, 7, 6, 5, а потом вместо 9, 10, 11, 14, 12, 15, 13 мы увидели 9, 10, 11, 14, 12, 15, 13. Ничего вообще не изменилось.
Давайте теперь представим себе внутреннюю пустую фишку. Скажем, если в позиции на рис. 18 клеточку 11 сдвинули к краю, а 7 сдвинули вниз (рис. 21):
Рис. 21. Семерка «переселилась» с 3-го этажа на 2-й.
Выпишем змейку до того, как подвинули 7:
1, 2, 3, 4, (8, 7, 6, 5, 9, 10, 11), 14, 12, 15, 13.
Теперь я двигаю 7 вниз и получаю вот такой фрагмент змейки:
1, 2, 3, 4, 8, 6, 5, 9, 10, 7, 11…
Выделяю в змейке группу, которая менялась.
Было: 1, 2, 3, 4, 8, (7, 6, 5, 9, 10), 11, 14, 12, 15, 13.
Стало: 1, 2, 3, 4, 8, (6, 5, 9, 10, 7), 11, 14, 12, 15, 13.
6, 5, 9, 10 переехали на шаг левее, а 7 через них перепрыгнула. Сколько будет изменений? Ровно 4. Пары опять поменялись. Правильные стали неправильными, и наоборот. Опять каждый раз мы прибавляем или отнимаем единицу. И так 4 раза. А 4 ведь — четное число, вот незадача. Опять результат меняется на четное число.
Что мы можем еще сделать? Мы могли вместо 7 подвинуть 12 (рис. 22). Тогда 12 прыгнет за пару (11, 14). Изменятся ровно две пары.
Слушатель: То есть нечетное число поменяться не может.
Рис. 22
А.С.: Ни при каких условиях. Мы уже знаем, что движение по горизонтали — бессмысленно. Получится та же самая змейка. Если мы движемся сверху вниз, то количество неправильных пар меняется либо на 2, либо на 4, либо на 6, либо ничего не меняется. Можно честно перебрать все возможные переходы снизу вверх. Можно просто понять, что никаких других вариантов, кроме четных, нет. То есть в пятнашку выиграть нельзя, потому что в стандартной исходной позиции количество неправильных пар 8, и изменить его можно только на четное число. А в требуемой позиции имеется 9 неправильных пар.
Слушатель: Из любой ли позиции выиграть невозможно?
А.С.: Почему? На самом деле из половины всех исходных позиций. Из половины невозможно, из половины возможно. Потому что в «высокой» математике учат, что половина последовательностей имеет четное число неправильных пар, а половина — нечетное[6]. Поэтому половина вариантов будет собираться в стандартную исходную позицию. Если пятнашки как угодно перемешать, вывалив из коробки и затем вставив обратно как придется, то перестановкой фишек всегда можно прийти либо к случаю «13, 14, 15», либо к случаю «13, 15, 14».
Чтобы понять, можно ли привести фишки в исходную позицию, нужно посчитать количество неправильных пар в змейке, соответствующей изучаемой исходной позиции. Если оно нечетное — привести к исходной позиции можно. Если четное — то нельзя.
Слушатель: Какие числа можно поменять местами?
Другой слушатель: Например, 1 и 3 можно поменять?
А.С.: Если я меняю 1 и 3 местами (было 1, 2, 3, — стало 3, 2, 1), то как изменилась четность? Было отсутствие беспорядков (то есть 0), стало три беспорядка. Четность, стало быть, изменилась. Так что поменять в игре «пятнадцать» 1 и 3 местами, сохраняя остальные фишки на своих местах, тоже невозможно. Ваши вопросы относятся к теории групп, основе современной алгебры. Что и как можно поменять, чтобы четность менялась — этот вопрос напрямую к теории групп[7]. Почему ровно половина позиций имеет четное количество беспорядков? Это тоже связано с некоторым фактом из теории групп. Сейчас я продолжу развивать эту тему. Рассмотрим «кубик Рубика». Венгерский инженер Рубик достойно продолжил дело, начатое Сэмом Лойдом.
Давайте разберем этот кубик и соберем его обратно.
Слушатель: По-моему, есть даже какие-то соревнования на этот счет.
А.С.: На соревнованиях надо собрать тот, который теоретически возможно собрать. Под словом «разобрать» я понимаю более радикальную операцию: «разодрать».
Как только мне купили кубик Рубика, я сразу его разодрал. Потому что мне было интересно, любую ли позицию можно привести к исходной. Мне было это настолько долго интересно, что на мехмате МГУ я решил соответствующую задачку в качестве зачета. Возможно (если мне не изменяет память) 12 разных расположений, не переводящихся друг в друга. В пятнашках — 2, а для кубика Рубика — 12 ситуаций. Это тоже следует из теории групп (по которой я и сдавал зачет).
Если перевернуть угловой кубик в кубике Рубика путем принудительного «раздирания» и восстановления его формы — его нельзя будет собрать. Если перевернуть центральный кубичек в ребре — тоже нельзя. Если поменять местами два кубика малой «диагонали» любой грани — опять не получится. Эти изменения и все их сочетания задают набор различных позиций кубика Рубика, которые нельзя собрать. Однако это — трудная задача.
А теперь поговорим про мяч (рис. 3). То есть, как ни странно, снова про математику.
Математика состоит из двух важных составляющих: что такое число, и что такое доказательство. Моя старшая дочка не могла в свое время решить задачу: есть 3 апельсина и 2 яблока, сколько всего фруктов? Она совершенно не понимала, как можно сложить яблоки с апельсинами. Это же совершенно про разное. Мне кажется, что это типичное гуманитарное мышление. Человек фокусируется на содержании объекта и не может от него уйти. А вот старший сын решал эту задачу, когда ему было два с половиной года. Я ему говорил: «У тебя было 3 грузовика и 2 легковушки…» — «Ой, пап, давай просто 3 + 2, — зачем, всё это… ерунда… Говори три и два, и будем складывать». Ведь что такое число? Число — это умение абстрагироваться от объекта. Говорят, в каких-то таежных культурах, где-то далеко на востоке Сибири, имеются до сих пор разные числительные для обозначения, например, количества белых медведей и количества деревьев. У них формализация числа 5 как выражающего общность пяти медведей и пяти сосен еще не произошла. На осознание того, что у 5 медведей и 5 сосен есть общее, человечество потратило много тысячелетий. И в тот момент, когда это осознание настало, началась математика. А на память об этом процессе в русском языке до сих пор говорят «сорок» вместо «четырьдесят», хотя раньше можно было сказать «сорок собольих шкурок», но не «сорок деревьев».
А теперь рассмотрим поближе футбольный мяч. Он состоит из шестиугольников и пятиугольников: двадцати шестиугольников и двенадцати пятиугольников.
Зачем? Почему так сложно? Вот вы, допустим, шьете футбольные мячи, чем вам не угодили просто шестиугольники? Взяли, сшили их по краям. Плоскость, например, отлично замощается шестиугольниками.
Слушатель: Но они, может быть, в мяч не сложатся.
А.С.: Давайте попробуем сложить огромный мяч. Возьмите 200, 300 шестиугольников. Плоскость-то элементарно замощается? Вот так, как я нарисовал. Пчелиные соты (рис. 23).
Рис. 23. Пчелы — они тоже математики (сами того не зная…).
Слушатель: Они на стыках не будут совпадать.
А.С.: Ну тут-то, на плоскости, вроде всё совпадает. А потом взял, свернул очень большой кусок плоскости и получил мяч.
Слушатель: Не остается места для того, чтобы правильно согнуть.
А.С.: Я даже не знаю, как выразить простым языком Ваше правильное интуитивное замечание. Но математическая теория этого вопроса неумолима. Из шестиугольников нельзя собрать поверхность шара. Вообще, никак, никаким способом даже если их нарисовать на поверхности шара в слегка искривленном виде[8]
Слушатель: А из пятиугольников?
А.С.: Сейчас мы проясним ситуацию, связанную с пятиугольниками. Во-первых, давайте договоримся о том, что сшивать надо так, чтобы в каждой вершине сходилось три образующих поверхность мяча многоугольника. Будем называть такую сшивку регулярной. Сразу скажу, что никакой, регулярной ли, не регулярной, никакой сшивкой из шестиугольников нельзя сшить футбольный мяч. Но давайте сейчас рассмотрим подробно регулярные сшивки. Возьмем всевозможные футбольные мячи, любого размера, которые составлены из пятиугольников и шестиугольников.
Неожиданная теорема:
Если поверхность шара «сшита» регулярным образом из некоторого количества х шестиугольников и некоторого количества у пятиугольников, то у обязательно равно 12.
Слушатель: В любом случае?
А.С.: В любом. Как ни экспериментируй, что ни делай, чему бы х ни равнялось, х = 200, х = 300… Но у = 12. Ровно 12, не 12000, не 120. От размера мяча не зависит, от размера лоскутков не зависит, от того, как сшивать, не зависит. Это — математическая теорема.
Слушатель: Невероятно…
А.С.: Есть абсолютное доказательство этой теоремы. Если вы хотите сшить футбольный мяч из пятиугольников и шестиугольников, пятиугольников обязательно будет ровно 12.
Слушатель: Какой диаметр?
А.С.: Не важно: ни диаметр, ни размер лоскутков, ни то, как сшивать. Вы никогда не сошьете ничего другого. Какие бы приказы не издавала… ну, скажем, фабрика «Спортинвентарь». Скажем, придет к власти новая футбольная партия и скажет: «Отныне сшивать мячи так, чтобы в них было поровну шестиугольников и пятиугольников». Тогда их обязательно будет 12 к 12.
Слушатель: То есть такое тоже может быть? Прямо 12 к 12?
А.С.: Да. А знаете, как еще может быть? Ноль шестиугольников и 12 пятиугольников. Ни одного шестиугольника, одни пятиугольники.
Слушатель: А зачем тогда шестиугольники?
А.С.: Видимо, для того, чтобы мяч был гладкий. Ноль шестиугольников — 12 пятиугольников. 200 шестиугольников — всё равно 12 пятиугольников.
Слушатель: Скажите, а вот эта теорема появилась уже после футбольного мяча? Или футбольный мяч появился раньше?
А.С.: Футбольный мяч появился «чуть-чуть» раньше. Если честно, теорему эту полностью осознали примерно 150 лет назад. Но этот результат, как и очень многие другие, должен быть отнесен к Эйлеру. Леонард Эйлер жил больше половины жизни в Петербурге и похоронен там же на Смоленском лютеранском кладбище. Он ввел в математику понятие инварианта. Эйлер показал, что есть в математике такие вещи, которые не меняются, что бы ты ни делал. И настоящая математика — это поиск таких вещей. Эйлер доказал потрясающую по красоте формулу, сейчас я ее нарисую, а может быть, даже докажу. Кстати, есть такой архитектурный объект «Монреальская Биосфера» или геодезический купол, созданный Ричардом Фуллером Бакминстером. Гигантский сегмент шара, чуть больше, чем полушар, составленный из маленьких шестиугольников. Я, когда его увидел, сказал: «Нет. Нет. Нет… Вы не правы, там не могут быть все шестиугольники, либо он сильно искривлен, либо там где-то живут пятиугольники. Ищите».
Мне говорят: «Алексей, как вы это угадали? Мы нашли 5-угольники». Эта конструкция не полный шар, поэтому в ней не 12, а примерно 7 пятиугольников. Как же я узнал? Теорема, математика. Она же универсальная для всего. Что абсолютно одинаково в России, в Канаде и в Америке? Только математика.
Слушатель: Положение этих пятиугольников, оно тоже определено?
А.С.: Нет. Можно их все сцепить в одном месте. Только получится сильно искривленная форма. Лучше пятиугольники разнести. Пятиугольники отвечают за искривление. А что такое искривление? Беру Земной шар и рисую на нём треугольник (рис. 24).
На Земном шаре есть где развернуться. Одну из вершин возьмем на Северном полюсе, две другие — на экваторе. А сторонами треугольника, как и положено в геометрии, будем считать отрезки двух меридианов и отрезок экватора (ведь по ним измеряется кратчайшее расстояние между точками на земной поверхности!).
Рис. 24. Сейчас мы заколдуем этот треугольник на сфере, и у него все три угла будут прямыми.
Вот и получился у нас равнобедренный треугольник, у которого оба угла при основании прямые. А угол при Северном полюсе — любой. Так давайте возьмем его тоже прямым!!!
У нарисованного нами треугольника все углы прямые. Такого не бывает на плоскости. Это геометрия шара, поверхности шара, и вот с этой геометрией связан рассматриваемый нами факт. Он открывает очень глубокую теорию — дифференциальную геометрию, а также теорию римановых многообразий. Вернемся к футбольному мячу, состоящему из х шестиугольников и у пятиугольников, и к нашей «неожиданной теореме».
Слушатель: Кратен ли х чему-нибудь?
А.С «x» может быть равен чему угодно. А вот «у» обязательно равен 12.
Слушатель: То есть четное, нечетное — не важно.
А.С.: Абсолютно.
Слушатель: То есть мы можем сделать шар из 130 шестиугольников и 12 пятиугольников, или из 131 и 12?
А.С.: Да, надо подумать и аккуратненько вклеить эти наши 12 пятиугольников.
Слушатель: А связано ли это с количеством сторон в пятиугольнике и в шестиугольнике?
А.С.: Безусловно. Терпение, доказывать этот факт мы будем позже. Пока что нам нужна подготовительная работа, проделанная математиком Эйлером. Леонард Эйлер обнаружил следующий факт. Что такое многогранник каждый понимает. Любой многогранник это как бы изломанная поверхность шара. Эйлер нарисовал многогранник на шаре: спроецировал ребра и вершины многогранника, лежащего внутри шара, на поверхность шара. (Слово «спроецировал» означает следующую процедуру: расположил внутри стеклянного шара макет многогранника, сделанный из проволочек, и зажег в центре шара маленькую лампочку. На поверхности шара будут видны тени от ребер это и есть проекции ребер.)
Рис. 25. Повторяя путь Эйлера, нарисуем на шаре многогранник.
И с помощью этого приема доказал замечательную теорему с совершенно удивительной формулировкой. Называется теорема «Формула Эйлера для многогранника».
Пусть у многогранника будет: В — количество вершин, Р — количество ребер, Г — количество граней. Эти количества можно непосредственно подсчитать, глядя на модель многогранника. Тогда обязательно будет
В − Р + Г = 2.
Независимо от того, какой мы взяли многогранник. Теорема верна и для куба, и для тетраэдра (рис. 26), и для любого другого многогранника, имеющего границей «изломанную поверхность шара». Всегда это выражение будет равно 2.
Рис. 26. Слева куб (невидимые линии не изображены), справа — тетраэдр из проволоки.
Тетраэдр это любая треугольная пирамида. Раньше в такой форме делали молочные пакеты. Давайте посчитаем у молочного пакета количество вершин, ребер и граней. Сколько вершин у молочного пакета?
Слушатель: 4.
А.С.: В = 4. Сколько ребер у нашего тетраэдра?
Слушатели: 6.
А.С.: Без сомнения. А граней?
Слушатели: 4.
А.С.: Верна формула? 4–6 + 4 = 2. Верна.
А теперь рассмотрю другую пирамиду — четырехугольную (рис. 27).
Рис. 27. Схема 4-угольной пирамиды.
У нее 5 вершин, 8 ребер и 5 граней. Формула верна: 5–8 + 5 = 2.
Слушатель: А количество вершин и граней всегда совпадает?
А.С.: Нет, ни в коем случае не всегда. Давайте посмотрим на куб (рис. 26, слева).
У обычного куба — 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. (Бывают еще и необычные кубы… например, 4-мерные.)
Снова получаем два: 8 − 12 + 6 = 2.
Никуда от этой формулы не денешься. Думаю, что до Эйлера эту закономерность тоже кто-то замечал, но важно не первым заметить, а громко об этом заявить. Так сказать, довести до сведения широких масс.
Не буду сегодня ничего больше доказывать. Вместо этого я расскажу о некоторых великих математических загадках прошлого.
Давайте вспомним формулу для решения квадратного уравнения с коэффициентами а, b, c:
На самом деле не очень важно, как конкретно она выглядит. Важно то, что это — универсальный метод решения квадратного уравнения. Какие бы они ни были, эти а, b и с, если действие произвести, вы получите какое-то число.
Тут есть две точки зрения на эту ситуацию. Если написана некоторая формула, то она может случайно оказаться верной для каких-то чисел а, b, c, то есть для какого-то квадратного трехчлена. Для одного случайно оказалась верной, для другого оказалась верной. Сколько раз нужно проверять, чтобы точно сказать, что она всегда верна? Бесконечное количество раз. Но можно сделать иначе. Можно взять эту формулу, подставить в исходное уравнение
ах2 + bх + c = 0
и убедиться в том, что всё сократится, и вместо символов а, b, с слева возникнет ноль. Это и будет означать, если мы верим в язык символов, что формула верна. У нас всё сократилось, в любом случае, какие бы а, b, c мы ни взяли.
Слушатель: Простите, а для чего нужна эта формула?
А.С.: Для чего она нужна? Ну, я бы сказал так. Лично для меня ответ такой: для красоты. Для того, чтобы быть уверенным, что математика может дать какие-то универсальные рецепты вычислений. Сейчас, конечно, компьютеры решают задачи посложнее этого уравнения, но раньше она была нужна для быстрого вычисления.
Вы распределяете земельные участки, измеряете какие-то прямоугольные куски, у вас получается квадратное уравнение. Можно медленно прикидывать, как это сделать, а можно быстро получить ответ.
Слушатель: То есть практическое применение какое-то было?
А.С.: Ну, раньше — да. Дальше эта идея развивалась так. А что, если я напишу уравнение:
ax3 + bх2 + сх + d = 0?
Могу я написать универсальную формулу, с помощью которой можно вычислить x? При этом разрешается складывать, вычитать, умножать, делить и даже извлекать корни, причем любой степени. Но больше ничего не разрешается.
Слушатель: От куба и дальше такого сделать нельзя.
А.С.: Можно; но эту формулу не изучают в школе. Формула для кубического случая была придумана в первой половине XVI века. Несколько математиков работали над этой проблемой одновременно. Сейчас формула носит имя Джироламо Кардано, но он не придумал ее, а опубликовал метод другого математика (т. е. «громко об этом заявил»).
Чтобы выписать эту формулу, мне понадобится целая доска, поэтому я не буду этого делать. Как только поняли механизм решения кубического уравнения, сразу придумали формулу для решения уравнения четвертой степени. Она была еще страшнее. Вывел ее ученик Кардано, по фамилии Феррари. Всё это происходило в XVI веке, когда математики уже свободно обращались с буквами, поэтому был сформулирован самый общий вопрос. Можно ли написать формулу для решения уравнения произвольной степени:
anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0
(an, an-1…. — известные числа. Так обозначают для удобства. А то вдруг не хватит букв алфавита для их обозначения?)
Пусть она займет 10 досок, пусть она займет 100 досок. Погоня за этой формулой продолжалась до конца XVIII века. А в самом начале XIX века прозрение спустилось на несколько человек сразу, из которых самым главным я считаю французского математика Эвариста Галуа (хотя первым ситуацию в общих чертах осознал Жозеф Луи Лагранж). Было доказано, что никакая конечная формула не может быть решением уравнения произвольной степени. Такой формулы не существует. Не потому, что люди еще глупые или не все формулы перебрали или, может быть, они не так ставили корни. Никакое выражение, содержащее плюс, минус, умножить, разделить и извлечь корень любой степени не может при подстановке в уравнение anxn + an-1xn-1 +… + а0 = 0 полностью сократиться. Это — математически строгий результат начала XIX века[9].
Еще очень известна теорема Ферма. Доказательство теоремы Ферма — это примерно 120 страниц трудного текста для очень посвященного человека.
Про нее мы поговорим потом, а сейчас просто запишем ее формулировку. Она очень простая.
Ни для каких целых чисел x, y, x, отличных от нуля, и никакого натурального n, большего 2, не может выполняться равенство:
хn + уn = zn.
Эту теорему доказывали с 1637 по 1994 год. Впоследствии были решены еще две или три величайшие математические проблемы прошлых веков. Сейчас математика пожинает плоды всего своего существования.
Слушатель: Это сделано с помощью компьютеров?
А.С.: Нет. Единственное, что сделали с помощью компьютера — это так называемая «проблема четырех красок». XX век — прорыв в авиации, в космосе. Но самый большой прорыв в это время был в математике. В ней перевернули всё вверх дном: сняли кучу гипотез, превратили их в теоремы. На моей памяти сняли несколько проблем, которые стояли веками, если не тысячелетиями.
Слушатель: А это правда, что у теоремы Ферма нет практического применения?
А.С.: А кто его знает? Она (точнее, метод ее доказательства) может иметь некоторое отношение к физической модели мира. На самом деле, последнее, что интересно математику, это то, какое у теоремы практическое применение. Математика в каком-то смысле сродни настоящей религии. Это вещь в себе. Если она кому-то помогает, математиков это особо не интересует. Люди, которые занимаются прикладной математикой, имеют совершенно другое настроение. Это — другие люди. Как, например, разнятся между собой учителя и чиновники. То же самое с математиками. Человек, который формулу ищет, и человек, который хочет с помощью нее что-то сделать, — это два разных человека.
На этом мы закончим первую лекцию. На следующем занятии мы будем доказывать теорему про футбольный мяч и формулу Эйлера.