А.С.: Сегодня мы будем заниматься комплексными числами. Но для начала интересная зарисовка из теории вероятностей. Если бы нас было человек 30, я бы поставил 5 мороженых к 1, что у двоих из здесь присутствующих совпадут дни рождения. На самом деле граница проходит на числе 23. Если в аудитории 23 человека, то вероятность совпадения хотя бы двух дней рождения примерно равна 50%. Правда, совпадут только месяц и число рождения, но не обязательно год. Для людей, которые об этом не задумывались, это совершенно удивительный факт. Вроде бы всего 23 человека, как же такое может быть? Но математика открывает этот секрет.

Еще один интересный сюжет: два человека решили встретиться в метро на станции Кропоткинская. Но вышло так, что они не договорились о времени. Известно лишь, что они свободны между 9 и 10 утра. Стратегия у них такая: человек приходит и ждет 15 минут. Если не дождался, уходит. Вопрос: что вероятней, встретиться или разминуться? Чему равна вероятность того, что они встретятся?

«Математическая» теория вероятностей на эту тему говорит следующее. Давайте расположим на плоскости все возможные исходы в этой «игре».

По оси х будем откладывать момент прихода первого, а по у — второго (в минутах после 9 часов). Получившийся квадрат называется фазовым пространством задачи (рис. 143). А вот если первый может появиться в любой момент от 9 до, например, 11 часов, то фазовое пространство будет не квадратом, а прямоугольником. Так как и момент появления первого, и момент появления второго совершенно непредсказуемы в рамках промежутка с 9 до 10, следует представлять себе, что и квадрат (слева), и прямоугольник (справа) покрыты равномерной сетью из большого количества точек.

Рис. 143. Два разных фазовых пространства.

Теория вероятностей постоянно оперирует с понятием «зависимости» и «независимости» нескольких случайных величин. Здравый смысл подсказывает, что наши события (то есть приход 1-го и приход 2-го) независимы. Тогда все исходы, т. е. пары (время прихода первого и время прихода второго) равновероятны. Мы сейчас нарисуем зону, в которой друзья встретились, и посмотрим, какая у нее площадь (для левой части рис. 143).

Если они пришли в один и тот же момент, то из таких точек мы получим диагональ одинаковый момент прихода. Ясно, что они встретятся (и время ожидания будет равно 0).

А если они немножко отклонились от диагонали влево/вправо? Тогда тоже встретятся, потому что один из них пришел немножко раньше другого и дождался второго. Надо понять, на какое самое большое число минут им можно отклониться друг от друга по времени прихода, чтобы встреча еще произошла? На 15 минут. На одну четверть часа. Иначе будет как в известной песне[35].

Мы получили границы зоны встречи. Что происходит на границе? Первый пришел, например, в 9 часов 50 минут, а второй в 9:35. Тогда второй, который пришел в 9:35, уже собирался уходить, и тут появился первый.

Теперь надо посчитать площадь «встречи» (то есть участка квадрата, описывающего пары моментов прихода, при которых встреча произойдет) и поделить ее на общую площадь фазового пространства. Вычислим сначала площадь оставшейся части для случая квадрата (рис. 144).

s = (3/4)² = 9/16

— площадь оставшейся части, S = 1² = 1 — площадь квадрата,

— площадь «встречи».

Рис. 144. Встреча возможна только внутри шестиугольника (15′ = 0,25 часа).

Число 7/16 чуть-чуть меньше 1/2. То есть ждут всего 15 минут, а вероятность встречи близка к 50%.

Упражнение. А какой будет ответ, если фазовое пространство не квадратное, а прямоугольное (рис. 143, справа)?

Про теорию вероятностей можно говорить очень долго. Это отдельная, очень большая, интересная наука и для школьной программы, и для людей, занимающихся другими науками. В теории вероятностей есть свои проблемы. Например, данные про большой город типа Москвы входят в очень резкий контраст с базовыми предположениями теории вероятностей. Рассмотрим состояние пробок на дорогах. Оно складывается из миллиона случайных решений отдельных людей. Каждый, у кого есть машина, решает, поехать ли на машине или на общественном транспорте, то есть примерно миллион человек одновременно решают задачу, на чем им ехать. И типовое предположение теории вероятностей о том, что выборы людей независимы друг от друга, предсказывает абсолютно одинаковые пробки при одинаковых метеорологических условиях. Если наша теория верна, если решения независимые, то должны быть идентичные дорожные ситуации при одинаковых условиях. Аварии учесть трудно. Но одна, две мелких аварии не сильно влияют на трафик. Математики очень мало знают про транспорт. Но самое главное — есть стойкое ощущение, что эта модель неверна. Люди друг с другом каким-то образом связаны. Они реагируют на фазы Луны, пятна на Солнце или на что-то еще и принимают одинаковые решения. (Например, если их просят назвать известного русского поэта, все как один говорят: Пушкин.) Это — единственное объяснение, почему при абсолютно идентичных условиях бывают диаметрально противоположные по структуре пробки. Сегодня город едет, а завтра — стоит.

Надо признать, что нам не всё известно. Я, на самом деле, считаю, что про социальные науки (социологию, политологию, экономику) нам вообще почти ничего неизвестно. Математики врут, когда говорят, что они разобрались в том, как функционирует социум. Модели примитивные, никогда ничего не предсказывают. Иногда объясняют то, что было вчера.

С географией дела обстоят лучше. Расселение меняется медленно. Редко бывает так: с утра не с той ноги встал и с досады оказался не в Москве, а в Иркутске[36]. Эталоном науки должна быть физика — наука о неживой природе. Она разработана до такой степени, которая никаким инопланетянам, наверное, не снилась. И если с физикой сравнивать науки о социуме, то математический блок социальных наук практически не развит. Поэтому всяким «гуру», которые появляются на «Полит.ру», в «Ведомостях» или прочих изданиях, вообще верить нельзя (в том числе и мне самому!). Они делают прогнозы, а через неделю уже всё по-другому. Я вижу, о каких моделях они говорят, и понимаю, что там обман в каждом слове. А в математике, в лингвистике, в других не социальных науках нет места подвоху.

* * *

Вернемся к комплексным числам. Я хотел рассказать о том, как чудесным образом с помощью комплексных чисел решаются некоторые уравнения. На прошлой лекции мы решили, что хотим иметь такое невещественное число i, что i² = −1. И каждой точке плоскости сопоставили некоторое комплексное число: (x, у) → x + уi. Оказывается, эти числа подчиняются привычным математическим действиям: плюс, минус, умножить, разделить. Математики довольно большую часть времени живут в системах, которые называются полями. Поле — это такое обобщение обычных чисел. Это такие системы «чисел», в которых можно совершать операции плюс, минус, умножить и разделить по нормальным обычным правилам. То есть вы пишете какое-то алгебраическое выражение, раскрываете скобки, делите, сокращаете. Всё, что можно сделать с обычными действительными числами, можно сделать и с элементами любого поля. А поля бывают очень разные и иногда совершенно неожиданно выглядят[37].

Мы хотим, чтобы множество комплексных чисел стало полем, то есть чтобы в нём можно было делать всё, что мы привыкли делать с действительными числами, в частности, умножать и делить. И об этом мы сейчас поговорим.

Было доказано, что х + уi = z + ti только в том случае, если имеют место равенства х = z и у = t.

То есть если это просто одна и та же точка на плоскости. А разные точки дают разные комплексные числа, поэтому комплексные числа занимают как минимум всю плоскость. А из стремления к минимализму мы постараемся ограничиться только точками плоскости. Давайте учиться складывать, вычитать, умножать и делить точки плоскости.

Чему будет равна сумма (x + уi) + (z + ti)?

Мы должны получить какое-то комплексное число. Значит, у нас будет часть с i и часть без i. Если отложить часть «без i» по оси абсцисс, а часть «с i» — по оси ординат, то у нас получится какая-то точка на плоскости. Часто комплексное число отождествляют с вектором (т. е. стрелочкой), ведущим из начала координат в эту точку. Из правила сложения векторов получается, что (x + уi) + (z + ti) = (x + z) + i(у + t).

Давайте посмотрим, почему так получается (рис. 145).

Рис. 145. Сложение комплексных чисел.

Точки (х, у) и (z, t) задают нам два вектора на плоскости, выходящие из начала координат. Если сложить два вектора, получится вектор с координатами (х + z, y + t).

В школе это называют правилом параллелограмма.

Сумма двух точек плоскости строится так. Берем векторы, порождаемые нашими точками, и складываем их по правилу параллелограмма.

Вычитание от сложения практически не отличается:

(х + yi) − (z + ti) = (х + yi) + (−z − ti) = (x − z) + i(y − t).

Вектор, порождаемый точкой (z, t), развернется в другую сторону туда, где достроен смежный параллелограмм (рис. 146).

Итак, операции плюс и минус определены и всегда осуществимы. Также видно, что у каждого числа есть противоположное к нему: (х + yi) и (−х − yi). С точки зрения сложения и вычитания система уже построена и ведет себя очевидным образом. Теперь переходим к гораздо более интересной теме. А именно: умножение и деление комплексных чисел.

Рис. 146. Вычитание комплексных чисел.

Я хочу узнать, как должно выглядеть умножение

(x + yi)(z + ti).

Будем пользоваться распределительным законом, который математики называют дистрибутивным. Проще говоря, разрешается раскрывать скобки: а(b + с) = аb + ас (как учили в школе).

А также (a + b)(с + d) = ас + bс + ad + bd.

Правило дистрибутивности вынуждает нас так умножать. Потому что так делается в вещественных числах. Давайте попробуем перемножить два комплексных числа

(х + yi)(z + ti) = xz + xti + zyi + yti².

Теперь давайте вспомним, что i² = −1,

(х + yi)(z + ti) = xz + xti + zyi + yti² = xz + xti + zyi − yt = (xz − yt) + (xt + yz)i.

Мы научились умножать. Произведением точек с координатами (х, у), (z, t) служит точка на плоскости с координатами (xz − yt, xt + yz).

Но этого для нас мало, потому что мы не видим, где «живет» на плоскости точка с такими координатами. Мы должны увидеть ее, понять, как ее построить. Как получить ее из векторов, порождаемых точками (x, у), (z, t). Какие у этих векторов характеристики? У них есть длины и углы поворота (отклонения) от оси х. Пользуясь этими данными, мы должны получить новый вектор (xz − yt, xt + yz).

Нам нужно провести некоторое исследование. Для этого разработаем терминологию.

У комплексного числа точки на плоскости первая координата называется вещественной частью, а вторая мнимой. Мнимой ее называют потому, что, когда начинали с комплексными числами общаться, считали, что числа i не существует. Существуют только вещественные числа. Остальные не существуют, они как бы у нас в воображении, imaginary numbers. С тех пор у комплексных чисел есть действительная и мнимая части.

Рассмотрим еще такую конструкцию. Для каждого вектора рисуется вектор, симметричный относительно вещественной оси. Точка (х; у) перейдет в точку (х, −у) (см. рис. 147).

Рис. 147. Векторы, симметричные относительно оси абсцисс.

Числу х + уi естественным образом сопоставляется число x − yi, которое лежит по другую сторону от вещественной оси.

Числа вида (х + уi) и (x − yi) называются сопряженными. Чему равно произведение этих чисел?

(х + yi)(x − yi) = х² + у².

Что такое х² + у² в геометрическом смысле? Это длина вектора, обозначающего наше комплексное число, возведенная в квадрат. Квадрат длины комплексного числа, рассматриваемого как вектор, равен произведению его самого и ему сопряженного.

И еще одна выкладка. Интересно, что получится, если я перемножу векторы, сопряженные к нашим исходным векторам:

(х − yi)(z − ti) = (xz − yt) − (xt + yz)i.

Вещественная часть не изменилась, а мнимая поменяла знак. Было (xz − yt, xt + yz), стало (xz − yt, −xt − yz). Получается, что если мы берем произведение двух сопряженных, то получается сопряженное к их произведению (рис. 148).

Рис. 148. Математики сказали бы так: умножение комплексных чисел «уважает» операцию сопряжения, и наоборот. Можно вначале сделать сопряжение каждого сомножителя, а потом перемножить их, а можно вначале перемножить, а после сделать сопряжение перемноженных. Результат будет одинаковым.

Хотелось бы уметь делить одну точку на плоскости на другую точку. Это тоже совсем не сложно, если, конечно, не делить на ноль. Но на ноль мы и раньше не могли делить. Так что ничего удивительного в том, что мы не будем делить на 0, нет. Значит, так. Попробуем разделить на число, которое не равно нулю. Используем основное свойство дроби: дробь не изменится, если и числитель, и знаменатель умножить на одно и то же число. В качестве такого числа мы возьмем число, сопряженное к z + ti:

Итак, мы получили комплексное число в стандартном виде: вещественная  и мнимая  части.

Всё. Теперь мы умеем делить, умножать, складывать и вычитать — всё как с обычными действительными числами. Однако мы пока не видим, как геометрически это выглядит, а это очень важно и чрезвычайно полезно.

Давайте все-таки это поймем. Для этого перемножим

(х + yi)(z + ti)(x − yi)(z − ti).

Если я буду перемножать почленно, то получится

(x+yi)(z+ti)(x−yi)(z−ti) = [(xz−yt)+(xt+yz)i][(xz−yt)−(xt+yz)i].

Обратите внимание, получились сопряженные комплексные числа — значит, их произведение равно

(х + yi)(z + ti)(x − yi)(z − ti) = [(xz − yt) + (xt + yz)i][(xz − yt) − (xt + yz)i]) = (xz − yt)² + (xt + yz)².

А если я вспомню, что от перемены мест множителей произведение не меняется, и переставлю скобки, то получу

[(x + уi)(х − yi)][(z − ti))(z + ti)] = (х² + y²)(z² + i²).

Но мы же умножали одно и то же, значит, результаты совпадают:

(x² + y²)(z² + t²) = (xz − yt)² + (xt + yz)².

Это таинственное правило иногда изучается в школе как одно из правил сокращенного умножения. Но смысл его скрывается. Можно честно раскрыть все скобки и получить верное равенство. Совершенно честно, без всяких комплексных чисел. Но если вы сделаете это без комплексных чисел, то природа явления будет не видна и непонятна. А с помощью комплексных чисел мы говорим, что (xz − yt)² + (xt + yz)² — квадрат длины вектора, который является произведением исходных векторов (х, у) и (z, t). А (х² + у²) и (z² + t²) квадраты длин самих исходных векторов. Если я извлеку корень из этих длин, то получится, что

длина вектора произведения равна произведению длин исходных векторов

Мы узнали, что при перемножении комплексных чисел их длины перемножаются. Осталось выяснить, куда будет направлен вектор произведения. Вопрос, что же происходит с углами поворота каждого из сомножителей?

Сейчас я могу только сказать, что мое произведение лежит где-то на окружности радиуса, равного произведению длин наших векторов. Но где именно? Сейчас мы рассмотрим преобразование плоскости. Давайте нанесем на наши оси координат единичную окружность. На этой окружности «живут» точки 1, −1, i и −i (рис. 149).

Рис. 149. Единичная окружность на комплексной плоскости.

Как записать координаты точки на окружности? Какое комплексное число живет в точке единичной окружности, если вектор повернут на угол φ (см. рис. 150)?

Рис. 150. Нижний катет равен cos φ, правый равен sin φ.

Точка данной окружности определяется углом, на который повернулся вектор единичной длины. Косинус — это координата по оси x, синус — по оси у. В учебниках пишут, что косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Но здесь гипотенуза имеет длину 1. Поэтому косинус равен просто горизонтальному катету. А синус — это отношение другого катета к гипотенузе. Гипотенуза имеет длину 1, и синус — это просто второй катет.

А теперь я совершу обещанное преобразование: умножу все точки плоскости на комплексное число cos φ + i sin φ.

Напомню, что при умножении комплексных чисел длина получаемого вектора равна произведению длин перемножаемых

Подставим слева в формулу cos р и sin р вместо z и t

Ho cos² φ + sin² φ = 1 (основное тригонометрическое тождество, следствие теоремы Пифагора). Получаем

Мы домножаем на единицу, а значит, длина вектора не изменяется.

Получается, что при умножении на число cos φ + i sin φ любое комплексное число остается на той же окружности, на которой оно лежало.

Комплексное число «жило», например, в точке А, на расстоянии  от точки (0, 0); после преобразования оно будет «жить» на той же самой окружности в какой-то другой точке В, но на том же расстоянии от (0, 0) (см. рис. 151).

Похожим образом показывается, что для любых двух точек плоскости умножение на cos φ + i sin φ не изменит расстояния между ними.

Рис. 151. В = A · (cos φ + i sin φ)

Иными словами, умножение на число cos φ + i sin φ, примененное ко всем точкам плоскости, является движением плоскости.

Давайте попробуем понять, что же это за движение.

Для простоты изложения по ходу дела точки плоскости я буду называть комплексными числами, а комплексные числа точками плоскости. Это позволит стереть некоторый налет «мнимости», остающийся в выражении комплексные числа.

Пусть q₁ = х + yi, q₂ = z + ti два комплексных числа, второе из которых не равно ни нулю, ни единице, но при этом лежит на единичной окружности (то есть имеет модуль, или длину, равную единице). Второе число, q₂, мы на время всего рассуждения зафиксируем, а первое число, q₁, будем «перебирать», подставляя всевозможные комплексные значения.

С помощью формулы q₁q₂ мы сконструировали некоторое преобразование точек плоскости: любая точка q₁ при этом преобразовании переходит в точку q₁q₂. Ключевое утверждение состоит в том, что у этого преобразования будет только одна неподвижная точка: q₁ = 0 (то есть только одна точка останется на месте).

Проведем доказательство этого утверждения. Допустим, какая-то точка q₁ осталась на месте. Это означает, что q₁ = q₁q₂. Перенесем оба выражения в левую часть, получим:

q₁(1 − q₂) = 0.

Мы договорились, что q₂ ≠ 1, а тогда 1 − q₂ ≠ 0, и на этот множитель можно сократить обе части равенства. Следовательно, q₁ = 0, что и утверждалось. Таким образом, наше преобразование плоскости является движением (что было установлено выше) и оставляет на месте ровно одну точку, а именно точку q₁ = 0.

Один из примеров движения плоскости ровно с одной неподвижной точкой хорошо известен: это — поворот на некоторый угол относительно неподвижной точки. Но, может быть, одними поворотами дело не ограничивается? Этот вопрос исследовал французский математик М. Шаль. Оказалось, что ничего, кроме поворотов, в этой ситуации быть не может. Принимая его исследования на веру,[38] делаем вывод, что изучаемое преобразование является поворотом.

Итак, это движение — поворот. Остается вопрос, на какой угол мы повернули? Для ответа на этот вопрос вспомним, что число q2 лежит на окружности, то есть равно cos φ + i sin φ при некотором значении угла φ.

Я утверждаю, что наше движение является поворотом именно на угол φ. Потому что точка q₁ = 1 перешла в точку q₁q₂ = cos φ + i sin φ. А раз единица в нее перешла, значит, мы повернули плоскость на угол φ. Ведь комплексное число q₁ = 1 + 0_i имело в начальный момент нулевой угол поворота.

Таким образом, любая точка переходит в точку, которая получается поворотом на угол φ соответствовавшего исходной точке вектора.

В частности, если я беру некоторый вектор и умножаю его на вектор cos φ + i sin φ, то он переходит в вектор, повернутый на угол φ. Особый важный случай — это умножение на вектор cos π/2 + i sin π/2, то есть просто на число i. Умножение вектора на i приводит к тому, что этот вектор поворачивается на 90°. Это особенно важно для тех технических вузов, где изучают ТОЭ (теоретические основы электротехники). Злые языки даже утверждают, что перед основным экзаменом по ТОЭ там производится предэкзамен: у студента, заснувшего на лекции, над ухом стреляют хлопушкой и грозно спрашивают: УМНОЖЕНИЕ на i? Он должен сразу ответить: ПОВОРОТ НА 90 ГРАДУСОВ! (рис. 152).

Рис. 152. Умножение на i это поворот на 90°.

И окончательно. При умножении комплексных чисел углы складываются. Это правило, которое мы вывели, позволяет нам увидеть все арифметические операции над комплексными числами. А именно, при сложении комплексных чисел складываем их как вектора — по правилу параллелограмма. При умножении — длины векторов перемножаются, а углы поворотов складываются. Слегка почесав в затылке, можно даже сказать так: при делении комплексных чисел их длины делятся, а углы поворота вычитаются друг из друга.

Сейчас будет бонус. Наконец-то мы запомним две зловредные формулы.

Давайте возьмем еще одну точку, лежащую на единичной окружности: cos ψ + i sin ψ. Куда она перейдет при умножении на cos φ + i sin φ?

Она перейдет в точку той же окружности, но повернется на угол φ. То есть суммарный угол для произведения будет (ψ + φ).

Получается, что произведение

(cos φ + i sin φ) (cos ψ + i sin ψ)

равно cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ).

Теперь раскроем скобки:

(cos φ + i sin φ) (cos φ + i sin φ) = cos φ cos ψ + cos φi sin ψ + i sin φ cos ψ + i sin φi sin φ = (cos φ cos ψ − sin φ sin ψ) + i(cos φ sin ψ + sin φ cos ψ).

С другой стороны, это произведение равно cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ). Получается, что

cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ) = (cos φ cos ψ − sin φ sin ψ) + i(cos φ sin ψ + sin φ cos ψ).

Но если два комплексных числа равны друг другу, то вещественная часть равна вещественной, а мнимая — мнимой:

cos(φ + ψ) = cos φ cos ψ − sin φ sin ψ,

sin(φ + ψ) = cos φ sin ψ + sin φ cos ψ.

Это и есть те «зловредные» формулы, которые доставляли вам головную боль в школе, всем поголовно. Они очень легко выводятся с использованием комплексных чисел.

Некоторые соображения о преподавании математики в школе.

У каждого человека есть некие безумные идеи, в которые он свято верит. Я свято верю в то, что школьная математика должна быть устроена следующим образом.

Преподавание математики начинается с движений, причем сразу же вводится понятие группы движений — сперва прямой и окружности, затем плоскости. Давайте без обиняков это называть своими именами — группа движений изучаемого объекта. Потом следует полная характеризация этих групп движений через то, сколько у тех или иных движений имеется неподвижных точек.

Есть такая теорема «о трех гвоздях». Если три точки плоскости остаются неподвижными при движении, то движение является тождественным преобразованием, то есть оно вообще ничего не меняет. Для прямой и для окружности имеются очевидные аналоги этой теоремы, которые еще проще.

Завершим вкратце классификацию движений плоскости. Если у движения имеются две различные неподвижные точки, то неподвижной окажется и вся прямая, их соединяющая, а само преобразование будет являться отражением относительно этой прямой. Если у движения ровно одна неподвижная точка, то это движение является поворотом. Если неподвижных точек нет, мы получаем два вида движения: параллельный перенос и скользящая симметрия. Больше никаких движений плоскости нет.

Это — теорема Шаля, которая должна входить во все школьные программы. После того, как это прошли, нужно приступать к комплексным числам. Надо сразу сказать, что плоскость — это комплексные числа, образующие поле. Все основные алгебраические понятия должны быть введены прямо в детском саду, чтобы потом в школе уже было можно браться за дело[39].

После изучения комплексных чисел выводятся правила умножения и сразу — переход к тригонометрии. Тригонометрия — это просто операции с комплексными числами, лежащими на окружности.

А дальше можно переходить к более интересным вещам, например, к диофантовым уравнениям.

Обсудим, при чем тут комплексные числа (которых Диофант не знал) и диофантовы уравнения? На вещественной оси есть числа специальной природы, называемые целыми. Они «живут» на одинаковом расстоянии в обе стороны от 0 до бесконечности. Это числа 0, ±1, ±2, ±3, ±4 и так далее. Между ними «живут» всякие другие числа, которые нас пока сейчас интересовать не будут (рис. 153). Диофантовы уравнения это уравнения, которые надо решать в рациональных либо в целых числах. Мы ограничимся целыми решениями. На прошлой лекции мы рассматривали следующее уравнение

x² + у² = z².

Мы его решили двумя способами: с помощью анализа делимости в обычных целых числах и с помощью алгебраической геометрии. Есть еще и третий способ.

Рис. 153. Решетка целых чисел на числовой оси (такого рода решетки бывают и на плоскости).

Подобно тому, как среди вещественных чисел можно выделить замечательное семейство целых, можно выделить не менее замечательные семейства и среди комплексных чисел. Чем целые числа принципиально отличаются от вещественных? В них (во множестве целых чисел) нельзя делить. Иногда получается разделить, а иногда — нет. Анализ того, что на что делится, приводит к содержательной и красивой науке: к простым числам, к основной теореме арифметики и, в конечном счете, к решению этого самого уравнения х² + у²= z².

Теперь мы живем на плоскости, и хотелось бы сделать что-нибудь подобное во множестве комплексных чисел. Давайте по аналогии распространим целые числа на плоскость. Как будут выглядеть целые числа на плоскости? Скажу по секрету, что на плоскости имеется огромное количество числовых систем, которые обобщают и продолжают целые числа. Можно построить числовые системы разными способами, и они все чрезвычайно важны для многих диофантовых уравнений. Различные диофантовы уравнения требуют различных числовых систем. Но самое простое — это рассмотреть комплексные числа, у которых просто обе части (и вещественная и мнимая) являются целыми числами (рис. 154).

Рис. 154. Загадочные гауссовы числа: среди них есть «простые», но как раз они-то и оказались самыми загадочными.

Узлы этой сетки и есть «целые числа» на плоскости. Первым их рассматривал Гаусс, мы назовем их Z[i]. Z — значит «целое», [i] — конкретное комплексное число, присовокупленное к целым.

Он к целым числам прибавил число i и спросил себя: а какие тогда должны быть числа еще взяты? Если мы взяли i и взяли 1, то мы должны, конечно, взять их сумму — 1 + i. Потому что мы должны уметь складывать, вычитать и умножать (если хотим действовать по правилам обычных целых чисел). Ясно, что эти требования нас в конце концов приведут ко взятию произвольных целых кратных числа i, сложенных с любыми целыми (обычными) числами.

Числа вида а + bi, где а, b — целые числа, называют гауссовыми числами. Складывать и вычитать их можно «покомпонентно», то есть (а + bi) ± (с + di) = (а ± с) + (b ± d)i. При этом «на выходе» получаются снова Гауссовы числа, потому что сумма и разность целых чисел всегда являются целыми числами.

Но для полноценной работы с новыми числами нужно уметь их друг на друга умножать. Чудо состоит в том, что при перемножении Гауссовых чисел по обычным правилам перемножения комплексных чисел «на выходе» снова получаются Гауссовы, то есть целые комплексные числа. Читателю книги доставит удовольствие самостоятельно перемножить два Гауссовых числа, чтобы увидеть, что целочисленность вещественной и мниной частей результата умножения сохраняется.

Кроме того, новые числа удовлетворяют всем тем же принципам умножения, вычитания и сложения, которые верны для обычных целых чисел (потому что новые числа — это «подмножество» комплексных чисел, а последние этим правилам подчиняются).

В то же время из-за того, что мы акцентируем внимание на их «цельности», то есть целочисленности, у нас появляются нетривиальные моменты, связанные с их делимостью друг на друга (аналогично тому, как в системе обычных целых чисел разрабатывается теория делимости, теория простых чисел и разложение на простые множители).

В частности, можно определить понятие простого гауссова числа.

Так вот, оказывается, что всё, что мы знаем про целые числа — делимость, простота, основная теорема арифметики — удивительным образом переносится на Z[i] то есть на систему Гауссовых чисел. Любое Гауссово а + bi с целыми а и b единственным образом раскладывается в произведение простых чисел, которые уже ни на что не делятся.

Небольшое замечание: на числа 1, i, −1 и −i делятся все Гауссовы числа, так же, как в целых числах на прямой все числа делятся на 1 и −1. Например, (а + bi) : i = b − ai. Это чуть-чуть усложняет ситуацию, потому что однозначность разложения на простые множители выполняется лишь с точностью до умножения и деления на 1 , i, −1 и −i. Потому что с точки зрения теории делимости (а + bi) и (b − ai) — это один и тот же простой множитель.

Для целых чисел на комплексной плоскости вообще появляется много фокусов, которых не было для целых чисел на прямой. Например, число 2 перестало быть простым. Ибо оно раскладывается на множители 2 = (1 + i)(1 − i). Кстати, из геометрии это тоже следует (рис. 155).

Рис. 155. Вот чудеса-то: сумма чисел (1 + i) и (1 − i) равна их произведению! Но обычное число 2 похитрее будет: 2 + 2 = 2 · 2 = 2².

По правилу умножения мы должны взять произведение двух длин. Длина вектора 1 + i равна длине вектора 1 − i и обе равны √2, так как это гипотенуза прямоугольного треугольника с единичными катетами. Значит, у произведения должна быть длина √2 · √2 = 2.

Посмотрим, что произойдет с углами. При умножении углы складываются. Но они у нас противоположные по знаку, значит, при сложении получится 0. То есть при умножении мы получим вектор длины 2, направленный по оси X. Обратите внимание, что мы невзначай нашли одно из решений уравнения в комплексных числах: z + w = zw (подпись к рис. 155).

Какие еще числа перестают быть простыми? Например, число 5. Теперь 5 = (2 + i)(2 − i) = 2² + 1². А число 3 можно разложить на множители или нет? Есть ли тут какое-то общее правило?

Оказывается, есть. Более того, ответ на заданный вопрос теснейшим образом связан с вопросом про «обычные» целые числа, а именно: какие простые числа можно представить в виде суммы двух полных квадратов — то есть двух чисел, из которых можно нацело извлечь квадратный корень? Потрясающим образом этот вопрос решается введением Гауссовых чисел и изучением их арифметики.

Окинем еще раз взглядом наши построения. Мы ввели комплексные числа. Потом в них выделили семейство «целочисленных» комплексных чисел и назвали их гауссовыми. Там развили делимость, научились делить с остатком, обнаружили «Основную теорему арифметики». Зачем? Ответ таков: некоторые вопросы из арифметики обычных целых чисел можно решить только через гауссовы числа.

Какие простые числа представляются в виде суммы двух квадратов? Эта задача чрезвычайно важная в теории кодирования. (Здесь под словом «кодирование» понимается запись информации в таком виде, чтобы ее не смогли прочесть посторонние лица. А «посторонние лица» обычно очень интересуются методами «взлома» использованного кода.) Человек, который что-то знает про кодирование/декодирование, может взять и разрушить систему Пентагона в два щелчка мыши (вот вам и готов международный конфликт).

Вопросы математического кодирования — это вопросы примерно такого же типа, как и задача о разложении простого числа в сумму двух квадратов. И вот долгожданный ответ на поставленный выше вопрос.

Теорема. (Ферма — Эйлер — Гаусс. Гаусс здесь упомянут потому, что он ввел Гауссовы числа и установил простым образом все три эквивалентности, приводимые в формулировке.)

«Обычное» простое число (не комплексное) p является суммой двух квадратов, то есть p = х² + у² (х и у — обычные целые числа), тогда и только тогда, когда p перестает быть простым в гауссовой системе чисел Z[i]. И происходит это тогда и только тогда, когда либо p = 2, либо число «p» имеет, остаток 1 при делении на 4, то есть p = 4k + 1.

У Гаусса несколько «царских результатов». Он называл их разными именами. Например, есть некий закон про поведение остатков при делении одних чисел на другие. Гаусс назвал его «золотым результатом», «золотой результат Гаусса». Связь между представимостью простого числа р в виде суммы двух квадратов и его «поведением» в системе Гауссовых целых чисел — это королевская теорема Гаусса. Как следствие, «сокращая одну из эквивалентностей» в теореме выше, получаем как раз теорему Ферма — Эйлера: Простое число в обычных натуральных числах является суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет остаток 1 при делении на 4. Это мгновенно вычисляемая характеристика. Например, 97. При делении на 4 дает остаток 1: 97 = 96 + 1 = 4 · 24 + 1. Значит, по нашей теореме оно должно представляться в виде суммы двух квадратов. Так и есть: 97 = 81 + 16 = 9² + 4².

Возьмите число, в котором 25 цифр. Проверьте, что оно имеет остаток 1 при делении на 4, это очень просто. Проверить, что оно простое, немножко сложнее, но тоже не очень долго. Так вот, если вы узнали, что оно простое, и вычислили, что оно имеет остаток 1 при делении на 4, то вы можете спорить на любую сумму с любым неверующим Фомой, что есть два числа, суммой квадратов которых исходное число является. Никакого полного доказательства этой теоремы, кроме как через гауссовы числа, мне не известно (существует, говорят, по крайней мере 6 доказательств).

Давайте вернемся к пифагоровым тройкам. Пифагоровы тройки очень красиво находятся с помощью гауссовых чисел. Предположим, есть тройка x, у, z обычных целых чисел, которые являются сторонами прямоугольного треугольника, то есть

x² + у² = z².

Опять рассмотрим прямоугольный треугольник, наименьший в семействе. Иными словами, x, у, z попарно взаимно просты, у них нет общих делителей. Тогда довольно просто показать, что (x + уi) и (x − yi) — также взаимно просты (это следует из разной четности x и у).

То есть у гауссова числа и сопряженного ему гауссова числа нет общих делителей.

Вспоминаем прошлую лекцию: (х + уi)(х − уi) = z².

Произведение равно квадрату некоторого числа. Значит, все (Гауссовы) простые множители числа z входят в него в четной степени. Это означает, что в левой части уравнения стоит, с точностью до обратимых множителей, произведение двух квадратов.

Этот прием применяется во всех похожих структурах, не только в гауссовых числах. Если мы можем доказать основную теорему арифметики, то будет верен и этот замечательный результат: если произведение двух взаимно простых чисел равно квадрату, то каждое из этих чисел является квадратом с точностью до умножения на обратимые числа 1, i, −1 и −i (для гауссовых чисел) или до умножения на любые другие обратимые числа (если целые числа — не гауссовы).

Заметая «под ковер» исследование дополнительных обратимых множителей, делаем вывод, что

(х + yi) = (m + ni)² = m² + 2mni − n² = (m² − n²) + 2mni.

Комплексные числа равны в том и только том случае, когда их вещественные и мнимые части равны:

х = m² − n², у = 2mn.

Отсюда уже нетрудно вывести и формулу для гипотенузы Пифагорова треугольника: z = m² + n².

Вот мы и получили «формулу индусов». Через гауссовы числа она выводится почти в одну строчку.

Теперь — пара слов про великую теорему Ферма. Такие методы, как тот, который мы сейчас рассматривали, развивавшиеся весь XIX век, не привели к решению великой теоремы Ферма для всех показателей. Привело совершенно другое соображение. Соображение такое: если бы существовала тройка а, b, с такая, что аⁿ + bⁿ = сⁿ, то существовала бы некоторая, как математики выражаются, эллиптическая кривая с набором свойств, которые противоречат ее природе. Это — доказательство великой теоремы Ферма в одной фразе. Правда, к этой «одной фразе» придется добавить фраз 20–30, чтобы хоть слегка пояснить, что это за зверь такой — эллиптическая кривая, и, главное, какое отношение она имеет к великой теореме Ферма.

Ну и последний сюжет.

Диофант решал самые разные уравнения. Некоторые он сформулировал, но был не способен решить. А точнее, решения некоторых из них не найдены в первых 6 томах. Мы ничего не знаем про оставшиеся 7 томов, и я не удивлюсь, если в них было всё, что потом открывали в XVII, XVIII, XIX веках. В частности, Эйлер стал рассматривать одно из тех уравнений, которые Диофант не решил. Может, ли быть так, что квадрат некоторого натурального числа отличается от куба другого натурального числа на единицу? То есть требуется решить в целых числах уравнение

а² = b³ ± 1.

То, что квадрат одного числа просто равен кубу другого, очень легко представить себе, если а = с³ и b = с², при некотором целом с. В самом деле, тогда

а² = (с³)² = c⁶ = (с²)³ = b³.

Возьмем, например, с = 3. Тогда а = 27, b = 9: 27² = 9³ = 729. Так что эта задача неинтересная. Правда, число 729 напоминает мне один разговор.

Однажды два математика беседовали в кафе. Один другому говорит: «На свете нет ни одного числа, которое не было бы чем-то удивительным, просто ни одного». А второй отвечает: «Ну, как же? Ну, я возьму навскидку 1729. Что интересного в числе 1729?» А второй посмотрел на него и сказал: «Ты сам не догадываешься, насколько удивительное число ты назвал! Это первое из натуральных чисел, которое двумя разными способами представляется в виде суммы двух кубов».

Пальцем в небо ткнул и попал в число 1729. И вот что оказалось. Действительно, 1729 = 9³ + 10³, и 1729 = 12³ + 1³. Второй математик был сражен этим аргументом.

Так вот, бывает ли, чтобы куб и квадрат отличались на единичку?

Допустим, ваш ребенок играет в кубики. Он сложил из них большой куб, а вы украли у него один кубик. Тогда ребенок взял, развалил куб и сложил большой огромный квадрат. Может ли такое быть? Эйлер полностью решил эту задачу (а² = b³ ± 1).

Решим только одно уравнение из двух, потому что другое очень сложное: а² = b³ + 1 — сложное, а² = b³ — 1 простое.

В обоих случаях можно выписать ответ в явном виде.

У второго уравнения решений нет, кроме тривиальных: а = 0 и b = 1. Мы это сейчас докажем. А у первого, кроме тривиальных (а = 1 и b = 0), решением является пара (2, 3). Ведь 3² = 2³ + 1. Других решений нет. Эйлер и это доказал, но весьма сложным путем.

Разберем простой вариант:

а² = b³ − 1, а² + 1 = b³, (а + i)(a − i) = b³.

Могут ли у (а + i) и (а − i) быть общие множители? Пусть (а + i) и (а − i) делятся на какое-то простое гауссово число. Тогда их разность

(а + i) − (а − i) = а + i − а + i = 2i

тоже на него делится.

Простых гауссовых чисел, которые делят число 2i, всего одно: (1 + i). Есть еще 1 − i, но это «то же самое простое число», ибо 1 − i = (−i)(1 + i) — то есть, одно получается из другого умножением на обратимое.

Значит, наши числа (a + i) и (a − i), если они не взаимно просты, могут делиться только на (1 + i). Но тогда их произведение делится на (1 + i)² = 2i. Значит, b делится на 2, а b³ — на 8. Но тогда а² будет иметь остаток 7 при делении на 8, так как а² + 1 = b³. А значит, остаток 3 при делении на 4. А, как мы выяснили на предыдущей лекции, таких квадратов не существует. При делении на 4 квадрат дает в остатке либо 1, либо 0. Поэтому такого быть не может.

Значит, ни одного общего делителя у чисел (а + i) и (а − i) нет. Их произведение является поэтому кубом некоторого гауссова числа. Согласно основной теореме арифметики, из этого следует, что каждое из них само является кубом гауссова числа (снова с точностью до умножения на обратимый элемент 1, i, −1 или i). Но все они тоже кубы, так что сформулированное утверждение верно в точности: скажем, а + i = (m + ni)³.

Вдумайтесь, что мы сделали. Мы взяли обычное уравнение в целых числах. Зачем-то перешли в гауссовы числа и внутри гауссовых чисел разложили левую часть на множители. После чего, живя внутри гауссовых чисел, мы сказали, что тогда

а + i = (m + ni)³.

При этом а — целое не гауссово число. Гауссово число (а + i) живет на один шаг выше оси х.

Это число должно быть равно кубу некоторого гауссова числа.

Теперь вспомним формулу куба суммы и раскроем скобки:

а + i = (m + ni)³ = m³ + 3m²ni − 3mn² − n³i = (m³ − 3mn²) + i(3m²n − n³).

Комплексные числа равны, значит равны их вещественная и мнимая части:

а = m³ − 3mn², 1 = 3m²n − n³.

Я вернулся из гауссовых чисел в обычные целые числа. С помощью гауссовых чисел я сделал вывод, который никогда в жизни не сделал бы без них. Из а² = b³ − 1 я получил, что

3m²n − n³ = 1.

Теперь уже всё просто:

3m²n − n³ = 1, n(3m² − n²) = 1,

n и 3m² − n² — целые числа. Два числа дают в произведении 1 тогда и только тогда, когда они одновременно равны 1 или −1.

n = ±1, 3m² − n² = ±1.

Вы заметили, «единицу можно разложить на множители единственным способом: либо 1 умножить на 1, либо −1 умножить на −1». Второй способ неотличим от первого, так как второе решение можно сократить на «обратимое число» (−1). Так что второй случай кажется ненужным для рассмотрения — вроде как получается избыточная аргументация. Но, как будет видно ниже, второй случай отнюдь не лишний.

Мой учитель Саша Шень рассказывал замечательную историю про то, как он стал математиком «из-за избыточной аргументации». Ему подали рыбу, филе (я сам очень долго, лет до 30, думал, что филе — это название рыбы). Так вот. Ему подали филе, и он сказал: «Мама, ну тут кости! Ты можешь вынуть кости?» А мама применила следующий замечательный логический прием, поставив его на дорогу математика. Она сказала: «Так! Саша, во-первых, это филе, и костей в нём быть не может. А во-вторых, где ты видел рыбу без костей?» Саша настолько был потрясен такой «железобетонной» логикой, что после этого стал математиком.

Итак, разберем наши два случая. Хотя они одинаковы с точки зрения единственности разложения на множители, но они не одинаковы с точки зрения наличия решений!

Первый случай: n = 1, 3m² − n² = 1, следовательно, 3m² = 2. Но m — целое число. Значит, такого быть не может.

Второй случай: n = −1, 3m² − n² = −1, следовательно, 3m² = 0. Получаем m = 0.

а + i = (m + ni)³ = (0 − i)³ = (−i)³ = i.

Так как а + i = i, то а = 0. Но b³ = а² + 1, значит, b = 1.

Это — единственное решение исходного уравнения. Получается, что кроме тривиальных решений, других решений уравнения а² = b³ − 1 нет.

Из этой теории можно сделать следующий практический вывод. Если у вас с ребенком вышла такая ситуация, что он сложил из кубиков большой куб, вы украли у него кубик, и он сложит квадрат, значит, что-то не так. Значит, он кубик «украл обратно» (и их было 729 скорее всего!). Вы можете сказать: «Так, ты похитил у меня кубик!»

— Как, папа? Как ты это увидел? Ты, наверное, ясновидящий...

— Нет. Я просто умею решать диофантовы уравнения, сынок.

* * *

Учебное издание

Подготовлено к печати и издано по решению

Ученого совета Университета Дмитрия Пожарского

Савватеев Алексей Владимирович

Математика для гуманитариев

Живые лекции

Научные редакторы Е. М. Богданович, В. В. Савватеев

Корректор О. В. Рачкулик

Дизайн макета и компьютерная верстка Е. Г. Иванов

Дизайн и оформление обложки, иллюстрации Е. А. Горева

Подписано в печать 23.06.17. Формат 60x90 ¹/_16.

Тираж 1000 экз. Заказ 117548.

«Русский фонд содействия образованию и науке».

Университет Дмитрия Пожарского.

119435, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 13, стр. 1.

www.s-and-e.ru

www.publisher.usdp.ru

knigiudp@gmail.com

Отпечатано: АО «Т 8 Издательские Технологии».

109316, Москва, Волгоградский проспект, д. 42, корп. 5.