А.С.: Сейчас мы рассмотрим несколько сюжетов. Некоторые мы разберем сразу, а некоторые оставим и потом к ним вернем-

Первый сюжет называется фотосъемка.

Давайте представим себе такую ситуацию: на прямой дороге расположено несколько контрольных пунктов (КП). Над этим отрезком дороги непрерывно идет аэрофотосъемка (рис. 109).

Рис. 109. Участок усиленного наблюдения.

И вот однажды сверху засекли шпиона (рис. 110).

Рис. 110. «Возле самой границы овраг. Может, в чаще скрывается враг!»

Требуется понять, где конкретно он находится на дороге. Из визуальных соображений ясно, между какими двумя КП находится шпион, но нам нужна точная координата. Мы видим только фотоснимок. Мы можем запросить некоторое количество информации, например, мы можем запросить координаты некоторых КП. Вопрос: сколько координат нам для этого достаточно запросить. Задача вполне практическая. Фотосъемка достаточно сложное преобразование, относящееся к проективным.

Что это такое? Давайте немного разберемся (см. рис. 111).

При фотографировании происходит перенос каждой точки местности вдоль лучей по направлению к точке съемки. Прямая, конечно, переходит в прямую при таком проецировании. Но вот соотношения отрезков-расстояний становятся другими.

Ясно, что одной координаты для определения местоположения недостаточно. Фокус в том, что двух координат тоже недостаточно.

Рис. 111. Схема аэрофотосъемки. Два четырехугольника — это область, снимаемая на фотопленку (внизу), и границы кадра фотопленки (вверху). Эти две плоскости, как правило, не параллельны друг другу. Из-за этого искажаются соотношения расстояний между точечными объектами. Прямая внизу — охраняемая дорога, на которой расположены три КП (достаточно далеко друг от друга). Черный кружок указывает на место обнаружения подозрительного точечного объекта. Пунктирные линии изображают отраженные лучи света, исходящие от точечных объектов на дороге и фиксируемые на кадре пленки.

А вот три координаты — в самый раз. Потому что у этого преобразования — у проецирования — есть то, что математики называют «инвариант».

Если вкратце сказать, «о чём» математика, то она о том, чтобы выявлять инвариантность ситуации. То есть какие-то соотношения, которые остаются неизменными. Вот вы так измерили (расстояния между КП), так сфотографировали, этак сфотографировали — некоторое соотношение координат точек на всех снимках будет одно и тоже. Я сейчас просто напишу, что остается неизменным. На самом деле это можно строго доказать.

На всех фотографиях, для любых фотоаппаратов неизменным остается так называемое двойное отношение «ДвОт» четырех точек (три из них — координаты КП, четвертая — координата подозреваемого в шпионаже). Оно выражается формулой

Рис. 112. Рассчитали число «z», и под кустом с такой координатой выловили подозрительного гражданина.

Если не знаешь, ни за что но угадаешь! Это число, которое можно взять и посчитать. Оно будет одинаковым и для местности, и для фотографии. Поэтому я запрошу координаты трех КП, потом вычислю соотношение на фотографии (на которой отражены и положения КП, и расположение неизвестного объекта), приравняю его к выражению с реальными координатами и точно определю реальную координату искомого объекта (а именно, число z).

Врезка 9. Как агент ДвОт ловит шпионов.

Обозначим через х, у, t координаты ближайших КП, в районе которых был замечен шпион.

Но тогда надо ответить на два вопроса: где находится начало отсчета, и какая будет единица измерения длины? Ответ: ЭТО НЕ ИГРАЕТ РОЛИ. В самом деле, двойное отношение координат (ДвОт) не изменится, если от всех четырех координат отнять одно и то же число; оно не изменится также, если все координаты умножить на одно и то же число. Поглядите на формулу ДвОт (формула (5)), и вы сразу поймете, почему это происходит. Итак, давайте запросим координаты точек х, у, t, измеренные в километрах до ближайшей погранзаставы. Допустим, они равны 17, 23, 32 соответственно. А как же мы найдем ДвОт, если «z» нам неизвестно? А вот так:

А теперь внимательно изучим кадр аэрофотосъемки, где были зарегистрированы три КП и один Ш (шпион). Их координаты будем выражать в миллиметрах, а первое КП будем считать началом отсчета (для простоты). Обозначим эти четыре координаты за А, Б, С, Д (где, как мы решили, А = 0). Прочие (ненулевые) координаты мы просто измеряем с помощью миллиметровой линейки, приложенной к фотоснимку. Допустим, мы получили числа (0, 13 мм, 16 мм, 31 мм). Следовательно, мы можем найти ДвОт уже не в виде формулы, а в виде числа:

Приравнивая буквенное выражение ДвОт к его числовому выражению, получаем уравнение первой степени для нахождения «z»:

Отсюда получаем z ≈ 24,4 км.

После чего агент ДвОт сообщает начальнику погранзаставы, что подозрительного человека имеет смысл поискать на расстоянии 24 км и 400 м от заставы. Где он и был найден спящим под кустом, чтобы, дождавшись ночи, начать свою деятельность.

Свойства ДвОт станут понятнее, если рассмотреть следующий пример (рис. 113).

Здесь производится «одномерная» фотосъемка линии ORST из точки К на «линию кадра» OMNL. Конечно, в реальной ситуации будет не линия, а плоскость кадра, и лежать она будет значительно ближе к точке К. Но суть дальнейшего исследования можно изложить и на таком условном рисунке.

Рис. 113. Изображен прямоугольный равнобедренный треугольник КОТ. Длина катета равна 4 единицы. Из прямого угла опущена высота OL на гипотенузу. Из верхней вершины треугольника К проведены две пунктирные линии KR и KS, делящие основание на отрезочки длиной 1, 1 и 2 ед. Основание треугольника лежит на плоскости, которую фотографирует самолет (рис. 111), вершина К — местоположение самолета, а высота OL лежит в плоскости, в которой находится кадр фотопленки (вторая плоскость случайно может оказаться параллельной первой; но гораздо чаще этого не случается). Точки пересечения линий KR и KS с высотой OL обозначены за М и N соответственно. Длины отрезков ОМ, MN, NK равны 6а, 4а, 5а соответственно, где а = (2√2)/15 (для полноты картины!).

Прежде всего отметим, что если бы линия кадра была параллельна фотографируемой линии, то соотношение расстояний между точками O, R, S, Т и точками O, М, N, L было бы одинаковым (и равным 1 : 1 : 2), и никакого «двойного отношения» нам бы не понадобилось.

В случае же, когда параллельности плоскостей нет, произойдет искажение этого соотношения.

Вычислим, насколько сильным оно будет. Уравнения прямых KR, KS легко получить по формуле «уравнение в отрезках»:

x/1 + y/4 = 1 (KR) и x/2 + y/4 = 1 (KS).[27] Уравнение же высоты и того проще — оно имеет вид «у = x».

Поэтому мы легко находим координаты точек M, N: М(4/5, 4/5) и N(4/3, 4/3), а также обычное тройное отношение отрезков ОМ : MN : NL = 6 : 4 : 5 (а не 1 : 1 : 2, как было «на местности»). Можно теперь ввести координаты на прямой OL таким образом, что точка М получит координату 6, точка N координату 10, а точка L координату 15. При этом поменяется масштаб, но он на двойное отношение четырех точек влияния не оказывает.

Теперь мы убедимся, что «ДвОты» для точек О, R, S, Т и для точек О, М, N, L будут СОВПАДАТЬ, несмотря на то, что обычные отношения для них не совпали.

В самом деле, для точек О, R, S, Т

Для точек же О, М, N, L

* * *

Теперь второй сюжет: построения циркулем и линейкой.

(В 11 классе я на экзамене по геометрии получил такое задание, что даже и циркулем пользоваться было нельзя. Третий сюжет, который мы рассмотрим, — это построение одной линейкой. Циркуль отменяется. Есть только линейка. Здесь всё еще веселее. Я расскажу про одну конкретную очень красивую задачу. Но об этом — ниже.)

Помните ли вы о построениях циркулем и линейкой? Построения циркулем и линейкой выводят на весьма сложные математические закономерности. Что мы умеем строить циркулем и линейкой? Можно, например, построить равнобедренный треугольник, если известны длина основания и длина боковой стороны.

Ну, скажем, основание 10 см, а боковые стороны — по 13 см. Линейкой проводим любую прямую, циркулем делаем на ней в любом месте засечку. Циркулем же измеряем основание (10 см) и делаем на прямой вторую засечку, предварительно установив иглу циркуля в первую. Берем раствор циркуля равным длине боковой стороны (13 см) и ставим иглу циркуля сначала на левый край основания, проводя достаточно длинную дугу в верхней полуплоскости, а затем на правый край (и проводим дугу до пересечения с первой дугой). Взяв линейку, соединяем точку пересечения дуг сначала с левой точкой основания, а потом с правой (см. рис. 114).

Рис. 114. Построение равнобедренного треугольника с помощью циркуля и линейки.

В общем, всё это быстрее сделать, чем описывать. Если Вы устали, вот вам задачка. Один школьник перепутал, что такое 10 см — основание или боковая сторона. И из-за этого построил не тот треугольник, что было нужно. Как вы думаете, что сильнее исказилось (в процентах) из-за рассеянности: площадь треугольника или его периметр? (Ответ: площадь изменилась больше, чем на 15 процентов, а периметр менее, чем на 10 процентов.)

Можно построить квадрат. А вот можно ли построить правильный пятиугольник с данной стороной? Это не очень просто. Но можно. Пифагорейцы уже умели строить правильный пятиугольник. Правильный шестиугольник построить совсем просто: строю окружность с радиусом, равным заданной стороне 6-угольника. Теперь делаю подряд 6 засечек на окружности окружностью того же радиуса. О чудо, шестая попадает прямо в то место, откуда мы начали. Так уж вышло! Далее прикладываем линейку к первым двум засечкам и проводим отрезок, их соединяющий. Потом то же делаем для следующих двух засечек, и т. д., пока не получим все 6 сторон шестиугольника (см. рис. 115). Итак, правильный шестиугольник построить просто. Треугольник — тривиально, квадрат — очень просто, пятиугольник сложно, но можно. Вопрос. Можно ли построить правильный семиугольник? Древние сломали миллион копий в спорах и потратили кучу часов, пытаясь решить эту задачу, но решена она была только в XIX веке!

Рис. 115. О, чудо! Шестая засечка совпала с первой вершиной!

На самом деле, кроме этой задачи, древние оставили нам еще три известные проблемы.

1. Трисекция угла. Дан какой-то угол на плоскости. Надо разделить его на три равные части. Знаменитая проблема древних; примерно в том же начале XIX века было доказано, что трисекция угла с помощью циркуля и линейки невозможна.

2. Квадратура круга. Что значит «квадратура круга»? Дан круг. Нужно построить квадрат с такой же площадью. Пусть радиус круга r равен единице, тогда его площадь S равна π (по формуле S = πr²). Значит, нужно построить квадрат со стороной, равной √π. Эта задача эквивалентна задаче построения числа π, которая тоже была решена (в отрицательном смысле), но только в конце XIX века. Почему она была решена позже, чем другие задачи, оставленные нам древними? Потому что люди очень долго не понимали структуру числа π. В начале XIX века было доказано, что можно построить те и только те точки плоскости, у которых обе координаты могут быть получены из единицы за конечное число операций плюс, минус, умножить, разделить, взять квадратный корень. Берете единицу. Вам разрешается ее складывать с самой собой. Так получатся все натуральные числа. Если будете вычитать — все отрицательные. Рассмотрим дроби. Дроби математики называют специальным термином — рациональные числа. То есть это числа, которые представляются в виде «целое делить на целое». Например, число 2 — рациональное, так как может быть представлено, как 2/1 или 4/2. То есть все целые числа также являются рациональными. Давайте посмотрим, где будут жить точки «целое число пополам». Во-первых, будут жить в целых, потому что любое целое, это как бы «удвоенное целое пополам». Во-вторых, они будут жить посередине между соседними целыми (рис. 116).

Рис. 116. Изображение чисел вида m/n при n = 2. Если m четно, получаются целые числа (обозначены кружками). Все прочие числа такого вида изображены вертикальной черточкой.

А если я еще раз разделю пополам? Я могу нарисовать, где живут числа, полученные из целых делением на 3, на 5, на 1000 и т. д. Но удивительным фактом, который был известен уже древним, является то, что не все числа можно представить в виде дроби. Например, я построю квадрат со стороной 1 и возьму его диагональ. Ни одна обыкновенная дробь не равна длине диагонали квадрата. Заметьте, что число, равное диагонали квадрата, строится циркулем и линейкой (так как сам квадрат циркулем и линейкой мы построить можем).

Но оно не является рациональным числом. Это было помещено в первой части книги. То есть мы умеем теперь строить квадратные корни, потому что диагональ квадрата выражается квадратным корнем.

Любое рациональное число можно построить циркулем и линейкой. Давайте, например, построим −11/7. Знак минус просто означает, что число надо откладывать не вправо от нуля, а влево. Чтобы построить 11/7 достаточно построить 1/7 и отложить этот отрезок 11 раз. А чтобы построить 1/7, придется использовать очень удобную: теорему Фалеса (которая изучается в школе). Сейчас мы ею воспользуемся.

Теорема Фалеса (в простейшей формулировке). Если на одной из двух прямых в плоскости отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки (рис. 117).

Рис. 117. Две прямые (горизонтальная и наклонная) выходят из начала координат и пересечены системой параллельных прямых. Если на одной из прямых мы отсекли равные отрезки, то на другой прямой отрезки тоже будут равны между собой (Теорема Фалеса).

Мне дан единичный отрезок. Отложу его по горизонтальной оси от начала координат и проведу произвольную наклонную прямую (тоже из начала координат) (рис. 117).

На этой прямой отложу от начала семь равных отрезков (неважно, какой длины) и конец последнего отрезка соединю с концом единичного (горизонтального) отрезка.

После этого провожу прямые, параллельные той, что соединила концы горизонтального (единичного) отрезка и наклонного отрезка, и проходящие через конец предпоследнего из семи отрезков; затем — через конец пред-предпоследнего, и так далее.

По теореме Фалеса получается, что все получившиеся на горизонтальном единичном отрезке кусочки равны друг другу — то есть мы получили 1/7.

Корень строится немножко сложнее. Беру произвольное число а, которое я уже построил циркулем и линейкой и из которого я хотел бы извлечь квадратный корень. Откладываю сперва от него единичный отрезок (рис. 118; для примера рассмотрен случай a = 5).

Рис. 118. Отрезок a = 5 отложен между х = −3 и х = 2; единичный отрезок — между х = 2 и х = 3. Строим полуокружность радиуса 3. Проводим перпендикуляр из точки х = 2 до точки пересечения с окружностью. Это и есть отрезок длины √5. Все три треугольника — прямоугольные, и все они подобны друг другу.

Теперь я рассматриваю новый отрезок длины а + 1 как диаметр окружности. Делю его пополам (это мы делать умеем) и строю верхнюю полуокружность.

Из точки х = 2 (отделяющей отрезок «а» от отрезка 1) восстанавливаю перпендикуляр. Получаю отрезок с концами на окружности и отрезке.

Теорема: длина полученного отрезка равна √5.

Доказательство. Обозначим за А и В концы диаметра, за М и С — концы проведенного нами перпендикуляра (С ниже, чем М). Треугольник АВМ подобен треугольнику AMС, так как у них острые углы совпадают, а один из углов прямой. (Угол АМВ прямой, как и любой угол, вписанный в полуокружность.) Значит, и третьи углы равны. По той же причине и треугольник АВМ подобен треугольнику МВС. Значит, можно записать отношение катетов малых треугольников

1/х = х/а

(где «x» — длина проведенного нами перпендикуляра); x² = а, x = √а, что и требовалось доказать.

Теперь мы умеем строить всякие страшные «многоэтажные чемоданы». Любое выражение, которое является результатом конечного числа операций плюс, минус, умножить, делить и взять квадратный корень, можно построить циркулем и линейкой. Например,

Основная теорема о построениях циркулем и линейкой утверждает, что верно и обратное: то есть если какую-то точку удалось построить циркулем и линейкой, то координаты этой точки должны быть получены с помощью конечного числа операций плюс, минус, умножить, разделить и взять корень. Но есть точки на прямой, которые таким образом не выражаются, а значит, и не строятся при помощи циркуля и линейки. Так, число π не является результатом конечного числа таких операций (ни миллиона, ни миллиарда!), и, следовательно, построить его невозможно. Доказательство этого факта придумали только в конце XIX века.

Более чем полвека назад, в начале XIX века придумали доказательство задачи о невозможности трисекции угла с помощью циркуля и линейки. Идея его такая. Если можно разделить любой угол на три части, то мы могли бы построить угол в десять градусов (так как угол в 30 градусов мы построить можем). Но тогда, конечно, мы могли бы построить отрезок, длина которого равна sin 10°.

Рис. 119. sin 10° построить нельзя. Это вам не какой-нибудь sin 72°!

Но доказано, что это число построить нельзя. (Если выразить sin 10° через sin 30°, то получится кубическое уравнение, а для построения его решения необходимо уметь строить кубический корень. К сожалению, с помощью циркуля и линейки этого сделать нельзя.) Мы пришли к противоречию, значит, задачу о трисекции угла решить невозможно.

3. Третья великая задача древности — удвоение куба. Вам дан кубик. Нужно построить кубик вдвое большего объема.

Если у исходного куба сторона равна единице, то какая сторона у удвоенного куба? Объем исходного куба равен 1, значит, у удвоенного он равен 2. По формуле V = а³ получаем, что сторона куба должна быть . Поэтому задача, на самом деле, очень просто формулируется. Построить корень кубический из двух.

Сделать это циркулем и линейкой невозможно. По тем же соображениям, почему нельзя произвести трисекцию угла. (Как ни странно, число  циркулем и линейкой построить можно! Угадайте, как?) Лет сто назад еще так мало было известно о числах, что математики не имели ответа на самые очевидные вопросы: например, иррационально ли число ?[28] Приходилось чуть ли не по отдельности перебирать такие числа и разбираться с ними.

Весьма трудным оказалось и число π, потому что до конца XIX века не было понятно, как оно устроено.

4. У четвертой великой проблемы, которая была оставлена древними, особенно интересная судьба. Какие правильные многоугольники строятся циркулем и линейкой? Про нее мы говорили чуть раньше и сейчас еще немного поговорим. Древние умели строить правильные треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и их «производные». Например, десятиугольник или двенадцатиугольник. А вот семнадцатиугольник не умели. Его построил в 1796 году 19-летний (обратите внимание!) Карл Фридрих Гаусс. Процедура достаточно сложная. Не буду скрывать. Некоторый секрет состоит в том, что построение нельзя придумать, не зная, что такое комплексные числа. Комплексные числа — это такая волшебная палочка. У шаманов есть бубны, а у математиков — комплексные числа. Это такая числовая структура, которая помогает на ура решать задачи, кажущиеся нерешаемыми. Ну, при чем здесь комплексные числа, когда мы говорим о семнадцатиугольнике? Тем не менее семнадцатиугольник строится только с применением комплексных чисел. Впоследствии (в 1836 г.) Пьер-Лоран Ванцель выявил критерий возможности построения правильного многоугольника. Оказывается, строятся только такие правильные p-угольники (где p — простое число, то есть делится только на единицу и на себя), для которых «р» может быть записано в виде

Например, простое число 17 удовлетворяет этой формуле, если взять k = 2.

В заключение дам вам простую задачу. Докажите, что если есть некоторое простое число р и простое число q, и можно построить р-угольник и q-угольник, то можно построить и pq-угольник.

Наконец, вот третий сюжет, который мы рассмотрим: построение одной линейкой. Циркуль отменяется. Есть только линейка. Здесь всё еще веселее. Казалось бы, с линейкой многого не достигнешь: она может лишь соединять две уже данные точки прямой!

А ведь есть небезынтересные задачки. Например: на плоскости дана неравнобочная трапеция. С помощью одной линейки разделить пополам верхнее и нижнее основание этой трапеции. Здесь, кажется, совсем не за что ухватиться. Ну, проведем две диагонали в этой трапеции. Ну, продолжим боковые стороны трапеции до пересечения. Получили две новых точки. Ну, соединим их тоже. А дальше — что?

Оказывается, больше ничего. Последняя из построенных прямых аккуратно делит оба основания пополам. Да только как это доказать?

Докажем это «методом Декарта». Разместим эту трапецию в достаточно удобной системе координат на плоскости (рис. 120).

Рис. 120. Для решения задачи проведены 5 очевидных прямых, последняя из которых (пунктирная) как раз и разделит оба основания пополам.

Как следует понимать выражение «удобная система»? Ну, например, такая: весь объект целиком лежит в первой четверти, как можно больше вершин лежат на оси иксов, а одна из них является точкой (0, 0). Сам объект задан при этом несколькими параметрами, через которые легко выразить различные части объекта, а также можно отразить некоторые особенности расположения частей объекта.

 В нашем случае удобно нижним основанием считать то, которое длиннее (а равными они быть не могут — подумайте, почему?). Для примера, скос трапеции направим внутрь первой четверти. Боковые стороны не могут быть параллельными (почему?). Задать вершины трапеции (то есть 4 точки) можно четырьмя параметрами (хотя всего координат будет 8). Эти параметры обозначим а, b, с, d. A именно: a — смещение левой верхней вершины вправо; b — смещение правой верхней вершины относительно левой; с — расстояние от правой нижней вершины до начала координат; d — высота трапеции.

Как следует из рис. 120, для пояснения хода решения взято a = 5, b = 3, с = 10, d = 4. Мы докажем корректность нашего построения именно в этом случае. Можно провести рассуждения и в более общем виде, пользуясь буквенными обозначениями. Наметим план рассуждения.

Обозначая точку (0, 0) буквой О, а прочие вершины буквами S, N, M (против часовой стрелки), назовем пока еще неизвестную точку пересечения диагоналей буквой L, а будущую точку пересечения продолжений боковых сторон — буквой K (см. рис. 120).

Тогда можно написать координаты вершин: О(0,0), S(10,0), N(8,4), M(5,4).

Легко понять, что уравнение прямой ОМ имеет вид y = (4x)/5, а прямой ON — вид у = x/2. Уравнения же прямых SN, МS можно получить по формуле «уравнение прямой по двум точкам», что при аккуратном исполнении (проверьте!) даст:

SN : y + 2x = 20; MS : 4x + 5y = 40. (6)

Решая одновременно два уравнения, задающие прямые ON и MS, получаем координаты точки пересечения диагоналей, то есть точки L (80/13, 40/13), в то время как одновременное решение уравнений, задающих прямые ОМ и NS, даст нам координаты точки K (50/7, 40/7).

Теперь всё готово для нахождения уравнения искомой «штрихованной прямой» KL. Получается уравнение 8x − 3y = 40, которое при подстановке у = 4 и у = 0 даст абсциссы построенных точек. Они окажутся равными 6.5 и 5 соответственно и разделят оба основания нашей трапеции аккурат пополам!

Разобранная выше задача когда-то давалась на школьных олимпиадах примерно для 7 класса. Но когда «широкие массы абитуриентов и репетиторов» познакомились с методом ее решения, кто-то додумался, как ее «слегка изменить» и дать для 10 класса.

Задача. Дана неравнобочная трапеция. С помощью одной линейки разделить нижнее основание на 41 равную часть.

Решение этой задачи тесно опирается на решение предыдущей и вполне может быть найдено школьником 7 класса. Делим оба основания пополам, затем тем же методом — на 4 равные части. А потом на 8 равных частей, и т. д., пока не получим 64 равных части (и на верхнем, и на нижнем основании). После чего делаем замечательный трюк: на верхнем основании отсчитываем ровно 41 часть из 64 и проводим линейкой НОВУЮ БОКОВУЮ ЛИНИЮ. Получилась новая трапеция, у которой верхнее основание аккуратно разделено на 41 равную часть. Соединяем точки деления верхнего основания с точкой пересечения боковых сторон новой трапеции. Получится 40 прямых линий, продолжения которых аккуратно делят на 41 равную часть нижнее основание.

Видите, какие «волчьи ямы» нам готовят на олимпиадах. Но мне досталась еще более плохая. В ней даже не было точек, через которые можно провести прямые. Прямые надо было проводить наобум, но ответ при этом получить не «наобумный», а вполне конкретный.

Расскажу про эту очень красивую задачу. Я получил ее на экзамене по геометрии в 11 классе школы № 57. Мой учитель дал мне эту задачу: нарисована окружность и дана точка вне этой окружности (рис. 121).

Рис. 121. Води прямые «туда, но знаю куда» и построй касательную.

Построить с помощью линейки касательную к окружности, проходящую через данную точку. Дальше случилось следующее: я нарисовал, как это делать, но, по некоторой причине, доказать не смог. (О причине я вам скажу позже, это будет детективная история.) Я получаю за экзамен три балла, а учитель алгебры говорит: «Нет, наверное, у Савватеева было помрачение… давайте четыре поставим».

Давайте посмотрим.

Дана линейка, окружность и точка. Что делать? Можно провести несколько прямых, «секущих» окружность. Я провел три прямые «почти наобум» и получил шесть точек на окружности. Затем их накрест соединил и получил еще две точки (рис. 122).

Рис. 122. И тут меня озарило!..

Дальше я соединил эти точки, и мне «внутренний голос» подсказывает, что точки, которые получились на окружности, как раз и есть точки касания.

— Да, — говорит мне экзаменатор, это правильная конструкция. Докажи. Докажи, что это точки касания.

Что такое касание в терминах геометрии? Касание прямой и окружности в терминах школьной геометрии означает, что прямая и (полная) окружность пересекаются в одной точке. Имеют одну общую точку. Как же это можно доказать? Сейчас я вам покажу такое доказательство, что у вас от него пойдут по коже мурашки. Но, во-первых, на экзамене я его не дал; а во-вторых, надо сделать предварительные пояснения, что такое «проективные преобразования» (не входящие в общеобразовательный курс обычной средней школы). Ну и, кстати, это же обоснование можно было сделать обычным «методом Декарта» (то есть, рассмотрев некоторую систему прямоугольных координат). Правда, при этом останется «за кормой» истинная красота решения этой задачи.

Врезка 10. Проективная геометрия — новый мир математики

Что такое «проекция», знают многие. Это — тень, которая отбрасывается на плоскость предметом, освещаемым точечным источником света — либо находящимся недалеко (и тогда лучи света, исходящие из него, расходятся), либо лежащим на бесконечном расстоянии (тогда лучи света параллельны). Пример для первого случая — свет небольшой настольной лампы. Для второго — солнечный свет. Однако тень от непрозрачного предмета может привести к заблуждению. Например, можно изготовить такой предмет, от которого тень, отбрасываемая вдоль оси X, имеет форму квадрата, вдоль оси Y — форму круга, а вдоль оси Z — равнобедренного треугольника. Чтобы изготовить такой предмет, возьмите деревянный цилиндр (с высотой, равной диаметру) и аккуратно стешите топором с двух сторон дерево так, чтобы снизу остался круг, а сверху он превратился бы в отрезок, по длине равный диаметру круга. Поэтому при практическом применении проективной геометрии возникает проблема, как рисовать пунктирные линии, чтобы лучше понять структуру изучаемого предмета и в то же время не сильно загромоздить чертеж этими линиями.

Когда математики попытались дать себе более ясное представление о том, что же такое есть «проекция», они ужаснулись. Оказалось, что тенью от окружности может служить не окружность, а эллипс («сплющенная окружность») и даже просто отрезок. И длина этого отрезка может быть больше диаметра окружности. Но это были еще только цветочки. Оказалось, что проекцией эллипса может оказаться… бесконечная кривая, называемая «ветвь гиперболы». Таким образом, понятие проекции неизбежно включало в себя бесконечно удаленные точки (и они спокойно могли переходить в обычные точки, и наоборот). Но тогда возник вопрос — в каком же «мире» мы изучаем проективную геометрию: на прямой, на плоскости, в пространстве? Ответ: не на прямой, а на проективной прямой. Она получается из обычной прямой добавлением одной новой точки: бесконечно удаленной. Казалось бы, от этого добавления прямая оказалась «еще более бесконечной» (ведь она была бесконечной и без добавления новой точки). Но, как выяснили топологи, полученный объект по своим свойствам совпадает с обычной окружностью. А ведь ее мы не считаем бесконечной!

Второй вопрос: а как теперь быть с плоскостью? ОТВЕТ: не с плоскостью, а с проективной плоскостью. Она получается из обычной плоскости «подклеиванием» к ней «бесконечно удаленной прямой», составленной из различных бесконечно удаленных точек. Так она, наверное, бесконечная? Нет, не бесконечная. Но очень необычная. Гуляя по проективной плоскости, можно совершенно незаметно перейти с одной стороны плоскости на другую. Точнее говоря, на ней НЕТ «одной» и «другой стороны» — сторона у нее только одна. Подумайте над этим! Допустим, гуляли по этой плоскости два совершенно одинаковых близнеца: Alexey Savvateev и Алексей Савватеев. Кто-то из них остался стоять на месте, а другой тем временем быстро пробежался по проективной плоскости и оказался с другой стороны — как раз под первым из близнецов. Представляете, как они жестоко поспорили — кто из них стоит нормально, а кто — вниз головой? ПОДСКАЗКА. Раз они живут на этой плоскости, то их рост (как и толщина проективной плоскости) равен 0 см.

Насчет проективного пространства. Вы уже догадались, что для его получения надо к обычному пространству «подклеить» бесконечно удаленную плоскость, состоящую из бесконечно удаленных точек. Во всех случаях при проективном преобразовании вновь добавленные точки могут спокойно переходить в старые точки, и наоборот. Они никак не отличаются друг от друга. Вы скажете: «Такого не может быть, потому что не может быть никогда! Как же можно одну перепутать с другой? Ведь прежние точки были близким к нам, а эта связана с бесконечностью, то есть очень далекая».

Так вот. В проективной геометрии НЕТ таких понятий, как «близкий» и «далекий». Ее выдумали для других целей. Так что все точки (в пределах понятий этой науки) одинаковы. Зато в ней есть свои важные понятия: прямая, плоскость, точка, двойное отношение и многое другое. Например, есть такое понятие, как КОНИКА. Что это за зверь? Это не один зверь, а сразу три — в нашей обычной геометрии они назывались «эллипс», «гипербола» и «парабола». А в этой геометрии они НЕРАЗЛИЧИМЫ.

И в заключение полезно сообщить важную информацию и важную теорему.

Информация. При проективном отображении одной проективной плоскости на другую проективную плоскость любые три точки, лежавшие на одной прямой, превратятся в три точки, ТОЖЕ лежащие на одной прямой.

Теорема. Для любых двух четверок точек А, В, С, D и М, N, Р, Q (в каждой из четверок любые три точки не лежат на одной прямой) существует ровно одно проективное преобразование ƒ, для которого ƒ(A) = М, ƒ(B) = N, ƒ(C) = Р, ƒ(D) = Q.

А теперь как НАДО было решать эту задачу (построить касательную из точки к окружности одной линейкой, см. рис. 121).

Прежде всего, мы выходим из плоскости в пространство. Выбираем там еще одну плоскость. Я проецирую на нее мою картинку (рис. 123) из некоторой точки А. Причем точка А и новая плоскость расположены так, что прямая АО и эта плоскость параллельны. (О — это точка, в которой пересекаются три произвольно проведенные мною прямые, а также касательная, пока еще мною не построенная.)

Рис. 123. Исходная картинка с гипотетическим построением касательной расположена в «левой» плоскости. Точка пересечения всех прямых на ней обозначена за «О». Точка А еще левее. Прямая АО параллельна правой плоскости, и в ней мы видим ту самую картинку, которая всё и объясняет.

Моя точка О уйдет на бесконечность, так как ей не найдется места на новой плоскости (для того мы и брали прямую АО параллельной новой плоскости), окружность превратится в эллипс, а все прямые, проходившие через точку О — в параллельные прямые. Их точка пересечения ушла на бесконечность, прямые не пересекаются, а значит, в геометрии Евклида они параллельны. (Мне, конечно, не могли дать эту задачу на школьном экзамене в рамках неевклидовой геометрии.)

А теперь смотрите, как все просто. Наша окружность с прямыми перешла в следующую конструкцию (рис. 124). На ней пучок параллельных прямых сечет эллипс. Требуется построить прямую того же пучка, касательную к эллипсу. Очевидно (и подробно обосновано в пояснении к рисунку), что построение, аналогичное сделанному мной, решает данную задачу.

Рис. 124. На новой плоскости картина проясняется. Все пять прямых (здесь я провел обе касательные) теперь пересекаются в бесконечно удаленной точке (то есть, по-школьному, не пересекаются). Окружность превратилась в эллипс (а могла бы превратиться и в параболу; но нам этого не нужно). Точки касания находятся в самой верхней и в самой нижней точке эллипса. «Кресты» на этом рисунке стали симметричными, поэтому ясно, что их центральные точки, а также точки касания лежат на одной прямой. Значит, и прообразы этих точек лежали на одной прямой. Это и есть обоснование того метода решения, который я использовал в этой задаче.

Но свойство касания сохраняется при проектировании: раз прямая с эллипсом имеет одну точку пересечения, значит, на прообразе (то есть, на исходной плоскости) тоже должна быть одна общая точка. Следовательно, это точка касания. Теорема доказана.

Надо только выйти в пространство. Проектируете, превращаете в параллельный поток, и всё очевидно.

Почему же я не придумал в школе такое простое решение? Дело в том, что в 11 классе, в котором изучались проективные преобразования (а это — проективное преобразование), наша учительница литературы Зоя Александровна Блюмина решила набрать гуманитарный класс. Чем отличается гуманитарный класс от математического класса? Конечно же, количеством девушек. Понятно, что вся математика для 11 класса была отменена явочным порядком! Все бегали к гуманитарному классу, поболтать. Я всю проективную геометрию прогулял.

* * *

Давайте немножко разбавим проективную геометрию. В математике есть некоторое количество неожиданно прикольных задач! Они просто падают с неба. Я помню одну задачу, которую мне дали на олимпиаде в 7 классе. Задача про ученика, который сбежал с урока и плавает в круглом бассейне. Учитель его обнаружил в бассейне, подходит к границе бассейна с розгами в руках и говорит: «Я тебе сейчас всыплю. Сейчас ты только выйдешь из бассейна, и я тебе всыплю». А ученик отвечает: «Нет, Вы же не умеете по земле бегать быстрее меня. По земле я от Вас убегу». — «Конечно, ты от меня убежишь, но ты же где-то должен высадиться из воды на землю, правильно? Вот там-то я тебя и схвачу за шиворот и выпорю розгами». — «Ну да, если Вы сможете меня перехватить в момент, когда я буду вылезать из бассейна, то да. Я вылезу в таком месте, где Вас не будет». — «Нет, ничего у тебя не выйдет». — «Нет, выйдет».

Условия задачи следующие: по земле быстрее бегает ученик; а пока он в воде, его скорость V в четыре раза меньше скорости бега учителя W, т. е. V = W/4

Вопрос. Кто победит? Строгое решение, которое я придумал на олимпиаде, состоит в следующем. Нам дано, что скорость ученика в воде в четыре раза меньше скорости учителя на берегу. Давайте нарисуем окружность в четыре раза меньшего радиуса, чем бассейн. Ученик по этой окружности плывет ровно с такой же угловой скоростью, с которой учитель бегает по берегу (рис. 125).

Рис. 125. Учитель пыхтит, ученик плывет не торопясь.

Если я еще чуть-чуть уменьшу окружность, угловая скорость ученика будет больше угловой скорости учителя. Тогда через некоторое время можно добиться того, что учитель и ученик будут на противоположных сторонах (рис. 126).

Рис. 126. Вот так и спасся ученик. А если бы бассейн был квадратный?

В этот-то момент ученик и рванет к берегу. Ему надо проплыть 3/4 радиуса, а учителю пробежать π радиусов (так как это как раз длина полуокружности). Затраченное на это время равно 0,75/V = 4 · 0,75/W для ученика и π/W для учителя. Но 4 · 0,75 = 3 < π. Значит, ученик спасется.

Как, кстати, можно доказать, что π > 3? Если я докажу, значит, ученик сможет убежать. Что такое «пи»? Это длина половины окружности единичного радиуса. Как можно эту длину пощупать?

Был такой древний грек Евклид. Он сформулировал несколько принципов работы с геометрией — пять постулатов (то есть правил, справедливость которых очевидна). Вот четыре из них: 1) между двумя любыми точками можно провести прямую, 2) любую прямую можно неограниченно продолжать в любую сторону, 3) из любой точки любым радиусом можно нарисовать окружность, 4) все прямые углы равны. В формулировке употребляется слово «равенство». Несмотря на то, что оно так просто звучит, это — чрезвычайно сложная математическая концепция.

Первые двадцать восемь теорем книги Евклида «Начала» были сформулированы и доказаны только с использованием четырех постулатов. Он чувствовал, что с пятым постулатом что-то не так. Сейчас я его сформулирую: через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести, прямую, параллельную данной, и только одну. То есть прямую, которая не будет пересекать данную. У этого постулата длиннющая интереснейшая история.

Вернемся к числу π. Окружность — это кривая, соединяющая две точки. Так вот, по одной из аксиом Евклида, отрезок прямой, который соединяет две точки, короче любой кривой, их соединяющей. Рассмотрим вписанный шестиугольник. Каждая сторона правильного шестиугольника равна радиусу, то есть 1 (рис. 127).

Рис. 127. Почему π больше трех.

Он дает нижнюю оценку для числа π. Число π больше суммы трех сторон шестиугольника. А это как раз три. Так что ученик точно спасется от учителя-преследователя.

Чтобы точнее оценить значение π, достаточно привести в пример какой-нибудь правильный вписанный многоугольник, у которого сумма половины сторон еще больше, например, правильный 8-угольник. Сейчас мы найдем сумму его 4 сторон. Тогда само число π должно быть еще больше полученного значения.

Правильный 8-угольник, вписанный в круг радиуса 1, может быть разбит на 8 одинаковых равнобедренных треугольников с единичными боковыми сторонами и с углом 45° между ними. Отсюда легко подсчитать (с помощью так называемой «теоремы косинусов») что сторона этого 8-угольника имеет длину √(2-2√2). Значит, сумма четырех его сторон равна ≈ 3,0615. Следовательно, точное значение π превосходит 3,0615.

А для того, чтобы оценивать число π всё точнее и точнее, нужно «увеличивать число сторон до бесконечности».

Рассмотрим еще один пример бесконечности. Будем суммировать числа, обратные к квадратам натуральных чисел:

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... .

Эта сумма коночная по величине, но бесконечная но количеству слагаемых. (В отличие от суммы 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..., которая неограниченно возрастает по величине по мере увеличения количества слагаемых.) В принципе, оба утверждения совершенно неочевидны, так как мы не знаем, каким правилам подчиняются суммы с неограниченным количеством слагаемых. Сейчас я докажу, что сумма обратных квадратов натуральных чисел не может превышать числа «2».

Рассмотрим квадрат со стороной 1. Его площадь также равна 1. Теперь рассмотрим квадрат со стороной 1/2, а площадью 1/4 (рис. 128). Площадь следующего квадрата со стороной 1/3 равна 1/9.

Рис. 128. Геометрический смысл исходной суммы.

Нам нужно слагаемое 1/9, но я возьму с запасом. Вместо квадрата со стороной 1/3 рассмотрю квадрат со стороной 1/2. И, значит, с площадью 1/4. Понятно, что если новая сумма будет конечной, то и исходная тоже должна быть конечной, потому что я увеличил третье слагаемое.

Что я сделаю дальше? 1/16, 1/25, 1/36, 1/49 все заменю на 1/16. От этого сумма опять увеличится. А что такое одна шестнадцатая? Это площадь квадрата со стороной 1/4. Получаем 4 квадратика, так как мы поменяли четыре прежних слагаемых на четыре раза по 1/16 (рис. 129).

Рис. 129. Геометрический смысл увеличенной суммы. Как известно, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1.

Следующие восемь слагаемых я заменю на 1/64. И они займут еще одну полосочку, вдвое меньшей ширины, чем предыдущая.

Следующие шестнадцать слагаемых — еще одна полосочка и так далее. Итоговая сумма вся, целиком, будет меньше, чем площадь двух изначальных квадратов. Потому что каждая следующая полосочка по ширине вдвое меньше предыдущей. Поэтому вся сумма не больше двух (рис. 129).

Но хотелось бы узнать, чему она на самом деле равна. Ее посчитал Леонард Эйлер. Один из величайших математиков в истории человечества. Он выяснил, что сумма обратных квадратов равна π²/6 ≈ 1.6449. И доказал это с помощью дифференциального и интегрального исчисления. Дифференциальное и интегральное исчисления совершают чудеса. Потому что дифференциальное и интегральное исчисления — это способ простого перешагивания через бесконечность. Как устроено доказательство? Примерно так: предположим, что сумма меньше π²/6. Тогда она меньше на некоторую величину. Но этого быть не может: мы можем взять так много членов этой суммы, что разница между ней и числом π²/6 была меньше любого наперед заданного числа, в том числе и этой величины. Про бесконечную сумму обычно показывают, что она не может быть больше какого-то числа по одним соображениям, и меньше — по другим. На самом деле в доказательстве используются намного более сложные соображения, связанные с математическим анализом, которые и показывают, что эта сумма в точности равна π²/6.

Другая потрясающая страница развития математики связана с пятым постулатом Евклида. Евклид сформулировал пять постулатов. Но многие теоремы он доказал, не используя пятого постулата. Из-за этого геометры стали думать, что пятый постулат на самом деле не постулат, а теорема, и он должен следовать из предыдущих четырех. С античных времен до середины XIX века ученые пытались доказать это. Сначала пытались вывести этот постулат из других, а потом пошли от противного: допустим, 5-й постулат НЕВЕРЕН. Что из этого будет следовать? Некоторых ученых интересовал вопрос: может быть, нам только кажется, что через данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. А на самом деле, если рядом через эту же точку нарисовать еще одну прямую (почти неотличимую от первой), она тоже будет параллельна данной (только мы этого не можем разглядеть) (рис. 130).

Рис. 130. Этот пятый постулат дал им всем прикурить!

Значит, если так, то должна быть какая-то непротиворечивая геометрия, в которой пятый постулат будет заменен на альтернативный. Например, что через данную точку можно провести как минимум две прямые, не пересекающие исходную. И вот ученые начинают пытаться привести к логическому противоречию такое предположение. И каждый из них, обнаружив какие-то необычные следствия, говорит: ну а это уже полный абсурд. Например, пятый постулат эквивалентен утверждению, что сумма углов треугольника равна 180°. И, если пятый постулат неверен, то в такой геометрии не существует ни одного треугольника с суммой углов, равной 180°. Ну, это же абсурд! Значит, — говорили ученые, — всё доказано. Никто не замечал, что абсурд наступает исключительно из-за непривычности этих следствий, а не как логическое противоречие. Возьмите сферу и посмотрите, какая будет сумма углов у треугольника на сфере. Она всегда БОЛЬШЕ 180 градусов (нарисуйте треугольник на глобусе и убедитесь в этом! Только учтите, что «прямой» на глобусе является кратчайший путь, то есть «дуга большого круга»). Этот пример показывает, что логических противоречий в таком факте нет.

Следующий шаг работы математиков привел к эквивалентности пятого постулата и утверждения, что существует хотя бы два подобных, но не равных друг другу треугольника. Опять же, на сфере нет такого понятия, как «подобие фигур». Абсолютно нетривиальное утверждение про поверхность нашей планеты. Нарисуем два треугольника на поверхности земного шара, или на глобусе, например, треугольник Москва — Лондон — Иркутск и треугольник (Нью-Йорк) — (Лос-Анджелес) — (Рио-де-Жанейро). Если мы измерим углы у этих двух треугольников и, например, обнаружим, что они попарно равны друг другу, то и сами треугольники окажутся равными, то есть совмещающимися движением сферы — поворотом, отражением или их композицией[29]. А тогда и соответствующие стороны у них будут равными, то есть попарные расстояния между городами окажутся одинаковыми! (Разумеется в приведённоми выше примере это не так.)

Таким образом, на сфере (в частности, на поверхности Земли) справедлив Признак равенства треугольников по трем углам. Это можно доказать совершенно строго. (Почему же люди, — даже такие, как Евклид, — этого не замечали? Потому, что их жизненный геометрический опыт ограничивался наблюдением малых участков поверхности Земли — и они казались плоскими.) На сфере вообще много чудес. Например, на сфере, радиус которой равен 1, площадь треугольника равна сумме углов (в радианах) минус π. Вот такая вот теорема. Это всё очень красивые результаты сферической геометрии. То есть в «абы-как заданной геометрии» все привычные нам утверждения не обязательно верны. Была разработана целая наука, объединенными усилиями многих ученых было выведено двадцать утверждений, эквивалентных пятому постулату. Но никакого прямого (логического) противоречия в его отрицании не было. В начале XIX века Гауссу написал письмо венгерский математик Янош Бойяи. Он писал, что разработал геометрию без пятого постулата, не видит в ней никаких противоречий и спрашивал, что ему делать. А Гаусс ответил, что знает, что там нет противоречий, но сказать этого вслух нельзя, потому что «мы разворошим осиный улей, и нас искусают осы». Однако великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, ректор Казанского университета, в 1829 году написал: «Геометрия, разработанная мною, не только не противоречива, а на самом деле всё именно так и происходит во Вселенной». Когда Гаусс узнал, что Лобачевский не побоялся и опубликовал свои результаты, он сразу предложил выбрать Николая Ивановича в иностранные члены германской академии наук и перестал скрывать свои разработки в этой области. Лобачевский построил геометрию с огромным количеством теорем. В частности, одна из теорем гласила, что сумма углов в ЛЮБОМ треугольнике меньше 180 градусов! Он даже пытался мерить углы между звездами, чтобы доказать, что сумма углов треугольника хоть чуть-чуть, да меньше ста восьмидесяти градусов. В одной из современных космологий всё именно так и устроено (но для проверки этого надо делать замеры не в масштабах Земли, а в гораздо больших масштабах). Итак, у любого треугольника в геометрии Лобачевского сумма углов меньше 180°. И площадь треугольника равна сто восемьдесят градусов минус сумма углов. То есть сферическая геометрия как бы «выпуклая», а геометрия Лобачевского — вогнутая. Современная топология многим обязана Лобачевскому, потому что он открыл этот «ящик Пандоры». Подведем итог «поумнения» человечества в результата исследований 5-го постулата Евклида.

Возможны три типа «геометрий»: 1) геометрия Евклида (сумма углов любого треугольника равна 180°); 2) геометрия того типа, который исследовал Лобачевский (в ней через точку, взятую вне прямой, проходит МНОГО прямых, не пересекающих данную; в любом треугольнике сумма углов меньше 180°); 3) геометрия того типа, который исследовал Риман (через точку, взятую вне прямой, не проходит НИ ОДНОЙ прямой, не пересекающей данную; в любом треугольнике сумма углов больше 180°).

И все эти геометрии логически непротиворечивы!