Слово «цуцик» может относиться к южной рыбе — бычку. Бычков делят на десятки видов, среди которых бычок-кнут, бычок-песчаник, бычок-кузнец, бычок-гонец, бычок-цуцик и другие.
Но как-то трудно представить, что морская или речная рыба мёрзнет в воде, правда? Значит, надо искать другую версию.