Слово bistro действительно французское, только появилось оно в 1880-х годах, когда русских казаков во Франции и след простыл. Вряд ли вообще в то время Россия оказывала настолько сильное культурное влияние на французов, что пополняла их лексикон.

Французский этимологический словарь Robert рассказывает, что bistro происходит от диалектных bist (r) ouille, bistringue или bistroquet, обозначающих дешевые вина и торговцев этими низкосортными напитками. Кстати, даже словом «бистро» когда-то называли не только закусочную, но и ее владельца.

Диалектные же французские слова имеют общие корни со словом bistouille («дешевое пойло»), которое было зафиксировано за 40 лет до проявления «бистро».

А русскую историю происхождения словарь не церемонясь называет фантазией.

О том же говорит Исторический словарь галлицизмов русского языка Н. И. Епишкина:

«Бистро появилось во французском языке с 1884 г., но его часто этимологизируют от русского слова „быстро“, которое якобы употребляли казаки для ускорения обслуживания. Наиболее же правдоподобно происхождение от bistrouille, обозначавшего на севере Франции смесь кофе и водки или водку низкого качества».