Поварёшка, вероятнее всего, произошла от «поварской ложки». Черпаком называли в принципе всё, чем можно черпать. А чумичка — это разливательная ложка, которая, согласно Фасмеру, появилась от древнерусского чумъ — «ковш».

Теперь проверим современные значения всех этих слов по толковому словарю Кузнецова. Итак,

ПОЛОВНИК, — а; Разливательная ложка; поварёшка.

ПОВАРЁШКА, — и; Разг. Разливательная ложка; половник.

ЧУМИЧКА, — и; Устар. Поварёшка, разливательная ложка.

ЧЕРПАК, — а; Приспособление, сосуд для черпания жидкости.

УПОЛОВНИК, — а; Разг. =Половник.

Получается, что в официально-деловой речи применимы только «половник» и «черпак».

В разговоре можно употреблять любой из синонимов, а «чумичка» уже считается устаревшей. Что не является противопоказанием для её употребления — главное, чтобы вас понимали.