Следующий день — не только воскресный, но и кофейный. Собираются, стало быть, у Мате, и Асмодей, который не раз заглядывал в его прежнее жилье (покойная тетка Мате не раз брала роман Лесажа в библиотеке), еще раз убеждается, что сохранить в неприкосновенности свой замоскворецкий хаос хозяину не удалось. Никаких книг на полу. Электрические розетки в порядке. Зато самодельная кофеварка все та же. Кстати, она уже включена, и черт с наслаждением вдыхает густой кофейный аромат, которым насквозь пропитана небольшая квартира.

По правде говоря, Мате побаивается, как бы кофе не испортил им нынешнего заседания. Вдруг он тоже подействует как снотворное?

Но бес опустошает чашку за чашкой, не проявляя никаких признаков сонливости. Напротив: узкие глазки его так и зыркают по сторонам, дескать, что бы такое вытворить? Наконец они останавливаются на телевизоре, и тут черт объявляет, что неплохо бы посмотреть новую передачу «Знатоков». «Знатоки» — его любимая серия. Отказаться от нее, хотя бы и во имя науки, он просто не в состоянии.

Филоматики встречают его предложение по-разному: Фило — с тайной радостью, Мате — с явным неудовольствием. Но Асмодей будто и не слышит его протестов. Он самолично включает приемник, потребовав наперед, чтобы все, в том числе Пенелопа, Клеопатра и Буль, сидели тихо и не вздумали отлучаться. Он этого терпеть не может. Вскоре на экране возникают первые титры. Слышится знакомая музыка. И вдруг… Что такое? Кадры начинают мелькать как сумасшедшие, что-то трещит, гудит, и наконец изображение, а заодно и звук исчезают вовсе.

Фило обиженно надувает губы. Вечная история! Только настроишься посмотреть хорошую передачу — и на́ тебе…

— Спокойствие, мсье! Только спокойствие! — призывает черт, не двигаясь с места. — Сейчас все будет в порядке.

Он издали дует на телевизор, и тот снова оживает. Но где же «Знатоки»? На экране титры совсем другой передачи!

— «Клуб знаменитых математиков», — читает Фило. — Насколько я помню, в программе нет ничего подобного.

— В вашей программе, может, и нет, мсье. Зато в моей…

Мате понимающе вздергивает брови. Все ясно! Очередной адский фокус. Однако бранить беса он и не думает: передача-то как-никак математическая. Интересно, с чего она начнется? Наверное, как водится, со вступительной песенки.

Так и есть! Хор мужских голосов начинает песенку «Клуба знаменитых капитанов». Только поет он все же какие-то другие слова:

Но вот вступление окончено. На экране появляется какая-то комната, и филоматики узнают кабинет Паскаля на улице Сен-Мишель. По-прежнему пылает огонь в очаге. Но теперь перед ним уже не двое, а великое множество людей. И как только все они здесь уместились!

Поначалу друзья различают в толпе только Ферма и Паскаля. Лица остальных тонут в красочной сумятице одежд самых разных времен и национальностей. Но потом Фило вдруг узнаёт Омара Хайяма, а Мате — Фибоначчи, и только вмешательство Асмодея не дает им пробить экран головой.

Слово берет Ферма. Он объявляет очередное заседание Клуба знаменитых математиков открытым и просит избрать председателя.

— Так как тема заседания — «Арифметический треугольник», — говорит Паскаль, — предлагаю мэтра Пифагора.

Раздаются дружные рукоплескания, и с места поднимается смуглолицый грек.

— Благодарю за честь! — произносит он с достоинством. — Хотя совершенно очевидно, что причина ее — уважение к древности. Ибо арифметическим треугольником я никогда не занимался.

— Зато ты занимался фигурными числами, — возражает Хайям, — а они, как известно, входят в арифметический треугольник.

Пифагор протестующе поднимает руку.

— Не преувеличивай моих заслуг, о Хайям! Фигурные числа — не мое открытие. Помнится, я вывез их из Вавилона заодно с другими математическими редкостями.

— А все-таки узнали мы о них не от вавилонян, а от тебя и от твоего последователя Никома́ха, — упорствует Хайям.

— Ну, если так, — Пифагор делает приглашающий жест, — тогда позволь предоставить слово тебе. Недаром ходят слухи, что Омар Хайям тоже имеет отношение к арифметическому треугольнику.

— Разве? — усмехается тот. — Другие всегда знают о нас больше, чем мы сами. Во всяком случае, если и было в моей жизни что-нибудь подобное, то сам я об этом начисто забыл. Помню лишь, что арифметический треугольник был известен в Древней Индии и в Древнем Китае. Так что предоставь лучше слово мэтру Тарта́лье. Надеюсь, он-то свою причастность к арифметическому треугольнику отрицать не станет.

— Ни-ни-ни в коем случае, — подает голос человек со шрамом на подбородке. — Хотя числа в этом треугольнике я ра-ра-расположил так, что правильнее было бы называть его прямоугольником.

— Какое, однако, совпадение! — не выдерживает Фило. — «Тарталья» — по-итальянски «заика», а этот уважаемый мэтр и впрямь заикается.

— Ничего удивительного, — поясняет Асмодей. — Прозвище Тартальи сей даровитый итальянец получил как раз за свое заикание. Оно началось у него после ранения в нижнюю челюсть.

— А настоящая его фамилия как? — пристает любопытный Фило.

Но Асмодей лишь досадливо пожимает плечами. Не всегда ж ему знать то, чего не знает никто! И вообще, дадут ему наконец смотреть передачу?

— Однако, до-до-дорогие мэтры, — продолжает Тарталья, — хочу обратить ваше внимание на то, что арифметические треугольники возникали в разные времена и в разных странах совершенно самостоятельно. Свой я, во-во-во всяком случае, придумал сам.

— И я тоже, достопочтенный мэтр Тарталья, — присоединяется Паскаль, — потому что ваши изыскания были мне, к сожалению, неизвестны.

— Вы забыли сказать главное, уважаемый мэтр Паскаль, — вмешивается представительный горбоносый красавец.

— Насколько я понял, мэтр Лейбниц, вы просите слова, — строго намекает Пифагор. — Рад его вам предоставить.

Тот, извиняясь, склоняет голову в длинноволосом каштановом парике. Достопочтенному председателю незачем затрудняться! Он, Лейбниц, хотел лишь заметить, что заслуга мэтра Паскаля не столько в том, что он открыл арифметический треугольник, сколько в том, что ему удалось вывести формулу сочетаний. Ту самую формулу, что позволяет с легкостью вычислить любой элемент числового треугольника.

— Прошу прощения, — живо перебивает Паскаль. — Одновременно со мной ту же формулу вывел мэтр Пьер Ферма.

— Не отрицаю, — весело басит Ферма. — И все-таки честь ознакомить собравшихся с некоторыми свойствами формулы сочетаний я предоставляю вам.

Паскаль молча кланяется и, подойдя к грифельной доске у камина, выписывает на ней две таблицы.

— Как видите, — поясняет он, — арифметический треугольник изображен здесь в двух видах: в числовом и условном, где каждый член его выражен через число сочетаний из номера строки по номеру своего места в ней. Разумеется, верхней строке и первому числу каждой строки присвоен нулевой номер. Далее обратите внимание на то, что все сочетания, у которых верхний индекс нуль, равны единице. Причину этого понять нетрудно. Стоит только сравнить обе таблицы. Выберем, допустим, шестую строку (ее порядковый номер 5) и рассмотрим два ее числа, хотя бы 5 и 5. Одно из них в условном треугольнике обозначено как C₅¹, второе — как C₅⁴. Но ведь числа эти равны между собой, ибо каждое из них порознь равно 5: C₅¹= C₅⁴ = 5. В свою очередь C₅¹ можно записать как C₅^5—4. И если это обобщить для любой строки (n) и любого порядкового числа в ней (m), то получится любопытное свойство сочетаний: С_п^m = С_п^n—т (це из эн по эм равно це из эн по эн минус эм). Отсюда ясно, что так как с одной стороны С_nⁿ = 1, а с другой С_nⁿ = С_n^n—п = С_n⁰, то и выходит, что C_n⁰ = 1. Ну, а дальше уж, для общности правила, условились и С₀⁰ тоже считать единицей. Вот вам простой и удобный способ отыскивать любое, даже самое большое число сочетаний. И потому вопрос, чему равно, скажем, число сочетаний из тысячи по девятисот девяноста девяти, не должен пугать даже школьника, — вычислить это проще простого:

— За-за-замечательно! — восхищается Тарталья. — Я бы до такого ни-ни-никогда не додумался.

— Не клевещите на себя, дорогой мэтр Тарталья, — протестует Паскаль. — Просто вы жили столетием раньше, и время формулы сочетаний еще не пришло. А теперь попрошу нашего досточтимого председателя предоставить слово мэтру Лейбницу, ибо я горю желанием узнать, что сделал с арифметическим треугольником он.

— С величайшим удовольствием! — кивает Пифагор. — Тем более, что и сам я давно этим интересуюсь.

— Собственно говоря, я шел по стопам мэтра Паскаля, — уголками рта улыбается Лейбниц, — но мой треугольник составлен в обратном порядке. Так сказать, шиворот-навыворот. Прежде всего вместо целых чисел я взял дробные. А уж из этого вытекает и все остальное.

Он вытирает доску и пишет на ней другую таблицу.

— Этот свой треугольник я назвал гармоническим, — поясняет он.

— Превосходно! — горячо одобряет Пифагор. — Всегда говорил, что главное в мире — гармония.

— Вполне с вами согласен, — кланяется Лейбниц. — Но название это объясняется тем, что в правом и левом наклонных рядах моего треугольника стоят числа, которые принято называть гармоническим рядом: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7… Особенность этого ряда заключается в том, что сумма его членов: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7… не  стремится ни к какому определенному числу — иначе говоря, она бесконечна.

Не то что, скажем, другой ряд: 1/2 + 1/2² + 1/2³ + 1/2⁴ + 1/2⁵ +… = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/ 16 + 1/32 +…, чья сумма стремится к единице. Так вот, если в треугольнике мэтра Паскаля каждое число равно сумме двух чисел, стоящих НАД ним (справа и слева), то в моем треугольнике каждый член равен сумме чисел, стоящих ПОД ним (также справа и слева). Например 1/6 = 1/12 + 1/12. А потому, если в треугольнике мэтра Паскаля общий член выражается формулой С_n^m, то в моем он выглядит так:

Вот, например, в третьем ряду сверху второй член таков:

— О-о-очень любопытно! — восклицает экспансивный Тарталья.

— Но это еще не всё! — продолжает Лейбниц. — Выберем какой-нибудь наклонный ряд — скажем, второй: 1/2  1/6  1/12  1/20  1/30 1/42. Начнем вычисление с любого, хотя бы со второго его члена, то есть с 1/6. Тогда из сказанного о законе образования членов треугольника прежде следуют такие равенства:

1/6 — 1/12 = 1/12

1/12 — 1/20 = 1/30

1/20 — 1/30 = 1/60

1/30 — 1/42 = 1/105

. . . . . .

Сложим почленно правые и левые части этих равенств. Все равные слагаемые в левых частях, имеющие противоположные знаки (плюс и минус), взаимно уничтожаются, и останется только первое число 1/6. Значит, 1/6 = 1/12 + 1/30 + 1/60 + 1/105 +… Но ведь правая часть этого равенства есть сумма всех чисел следующего за этим наклонного ряда, начиная с 1/12 и до бесконечности. И если в треугольнике мэтра Паскаля каждый член равен конечной сумме чисел, стоящих СЛЕВА и расположенных НАД данным числом, то в моем треугольнике каждое число равно сумме бесконечного ряда чисел, стоящих СПРАВА и ПОД данным. Вот, собственно, и всё.

Паскаль горячо пожимает руку слегка утомленному оратору.

— Благодарю от имени всех, а от себя — особенно. Ваши бесконечные ряды доставили мне бесконечное удовольствие. Потому что бесконечность во всех ее проявлениях — предмет моего самого пристального внимания.

— Если так, — говорит Лейбниц, — попросите нашего достопочтенного председателя предоставить слово мэтру Ньютону, и вы получите удовольствие еще большее. Ибо он использовал вашу общую с мэтром Ферма формулу весьма неожиданно. Причем бесконечность в этом случае играет не последнюю роль.

Раздаются аплодисменты, и мэтр Исаак Ньютон, раскланиваясь, поднимается со своего места.

— Прежде чем перейти к сути дела, — говорит он, — хочу обратить ваше внимание на одно обстоятельство. Подобно мэтрам Паскалю и Ферма, мы с мэтром Лейбницем также совершили одно и то же открытие, независимо друг от друга. Это дифференциальное и интегральное исчисление. Надо, однако, признать, что открытие это — всего лишь завершение того, что начато нашими предшественниками. В первую очередь мэтрами Паскалем и Ферма, а также отсутствующим мэтром Декартом.

Бурное одобрение.

Все встают и долго рукоплещут.

— А теперь перейдем к вопросу, затронутому мэтром Лейбницем, — продолжает Ньютон, дождавшись тишины. — Должен снова оговориться. Формула разложения степени бинома носит мое имя не совсем справедливо. Ею пользовались задолго до меня. О моей роли в ее судьбе я как раз собираюсь рассказать. Для начала запишу эту формулу в ее обычном виде:

(a + b)ⁿ = aⁿ + C_n¹a^n—1b + C_n²a^n—2b² + C_n³a^n—3b³ + … + bⁿ

Здесь коэффициенты в каждом члене, как вам уже известно, есть число сочетаний из п по нулю, по единице, по два, по три и так далее, то есть

Что же нового внес в эту формулу я? Только то, что предложил обобщить ее, иначе говоря, не ограничивать целым числом для п, а распространить на любые значения показателя степени — дробные, отрицательные… При этом формула сочетаний, выведенная мэтрами Паскалем и Ферма, тоже становится обобщенной. Что же касается самой степени бинома, то она раскладывается в бесконечный ряд. — Мэтр Ньютон предупредительно оборачивается к Паскалю. — Вот в каком виде я предлагаю ее записывать:

Например, для n = 1/2 получится такой ряд:

Или:

Сохраняя любое число слагаемых в правой части, можно вычислить эту сумму с любой степенью точности. Само собой разумеется, что икс в нашей формуле меньше единицы.

Мэтр Ньютон садится, и Пифагор собирается уже объявить следующего оратора… Но тут в телевизоре что-то щелкает, и место Пифагора занимают Знатоки, сообща разоблачающие преступника. Мате с досадой хлопает себя по коленке. Черт знает что!

— Вот именно, мсье, — откликается Асмодей. — Я, во всяком случае, всегда знаю, что делаю. Кроме того, привычка — вторая натура, как сказал Цицерон. А он тоже знал, что говорил.