Решим задачу ценовой дискриминации алгебраически. Пусть V (q) – возрастающая по объему функция полезности потребителя. Пусть также она является вогнутой, что означает выполнение закона убывания предельной полезности – чем больше товара имеется у потребителя, тем менее ценным оказывается каждая его дополнительная единица. Математически это означает выполнение условий V '(q) > 0, V ''(q) < 0. Содержательно же предельная полезность V '(q), которая и потребуется нам для нахождения оптимальных контрактов, является не чем иным, как обратной функцией спроса.

Пусть также фирма, производящая товар с неизменными предельными издержками c, предлагает его на рынке. Условия продажи могут быть различны – линейное ценообразование (то есть продажа товара по заданной цене p), двойной тариф (в котором помимо цены p за единицу товара присутствует плата за доступ в размере A), наконец, это может быть некоторый контракт (q, T), когда фиксированный объем продукции q предлагается потребителю за фиксированный тариф T и у потребителя нет иных альтернатив, кроме как согласиться на этот контракт или вовсе отказаться от приобретения товара. Определим оптимальную стратегию фирмы.

Заметим, что в рамках какой бы схемы ни собиралась оплата T, потребитель не готов платить сумму, превышающую его полезность, то есть условие участия для потребителя имеет вид V(q) ≥ T. Если фирма хочет собрать максимум денег, данное условие должно выполняться как равенство, то есть T = V(q). Задача максимизации прибыли фирмы тогда может быть записана следующим образом:

π = T – cq = V(q) – cq → max.

Решение этой задачи q* находится из решения уравнения

V '(q) = с.

Важно отметить, что, несмотря на нулевой потребительский излишек, решение является эффективным, то есть максимизирующим общественное благосостояние. Любая другая ситуация, в том числе более выгодная для потребителей, приводит к более высоким по абсолютной величине потерям фирм. Хотя, справедливости ради, следует сказать, что общественное благосостояние не является единственным возможным критерием качества, и в некоторых случаях регулятор может, например, с бóльшим весом учитывать воздействие на потребителей, нежели на производителей.

Но вернемся к найденному решению. Очевидно, что фирма просто может предложить потребителю единственный контракт (q*, V (q*)), от которого тот не сможет отказаться, и результат будет достигнут. Вопрос, можно ли достичь того же с использованием двойного тарифа или линейного ценообразования, которое является частным случаем двойного тарифа при A = 0.

При возможности самостоятельно выбирать объем покупки потребитель будет максимизировать свой излишек U (q) – разность между полезностью и суммой оплаты, решая задачу

U(q) = V(q) – A – pq → max.

Приравняв производную к нулю, получим что p = V '(q). Поскольку ранее мы выяснили, что максимальная прибыль фирмы может быть достигнута при выполнении условия V '(q) = с, единственным вариантом окажется установление цены на уровне предельных издержек p* = c и получение фирмой прибыли за счет платы за доступ в размере A* = V(q*) – cq*.

Если на рынке присутствуют различные потребители с полезностями V_θ(q), но фирма в состоянии выявлять тип каждого из них, задача существенно не усложняется. Просто для каждого из потребителей формируется эксклюзивное предложение (q*(θ), T*(θ)), где тариф определяется максимальной готовностью платить: T* = V_θ(q*(θ)). Эта ситуация означает совершенную ценовую дискриминацию, при которой фирма в состоянии извлечь весь потребительский излишек у всех клиентов. А вот в ситуации неполной информации такой способ уже не действует и нужно придумывать более изощренные механизмы, к изучению которых мы и переходим.