До настоящего времени мы рассматривали монополиста, который работает на единственном рынке, производя единственный продукт. В то же время более реалистичной является ситуация, когда фирма производит множество товаров i = 1,…, n с издержками TC (q₁,…, q_n), продает их по ценам p₁,…, p_n, в совокупности составляющим вектор p, и всюду обладает некоторой рыночной властью. Это означает, что на каждом рынке фирма сталкивается с некоторой функцией спроса, которая в общем случае (в связи с производством товаров-заменителей или дополняющих товаров) зависит от вектора всех цен q_i = D_i (p). В этом случае задача монополиста (традиционная максимизация прибыли) может быть представлена в следующем виде:

Для решения задачи нужно приравнять к нулю все частные производные функции прибыли по ценам и решить соответствующую систему из n уравнений. Заметим, что цены на товары выбираются независимо друг от друга (то есть ∂p_i / ∂p_j = 0 при i≠j), а спрос взаимосвязан, поэтому частные производные выручки от продажи i-го товара по j-й цене, рассчитываемые как производные произведения, примут следующий вид:

Каждая такая выручка вносит свой вклад в прибыль, равно как изменение цены p_j влияет на спрос, а значит, и на выпуск всех товаров, что в свою очередь дает соответствующую добавку к издержкам. Таким образом, итоговая производная прибыли компании по j-й цене равна

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи. И первым из них будет случай независимого спроса и независимых издержек. Это означает, что, во-первых, спрос на i-й товар зависит исключительно от собственной цены и никак не связан с ценами других товаров: ∂D_i / ∂p_j = 0, а во-вторых, издержки описываются так называемой «сепарабельной функцией»

TC(D₁(p), …, D_n(p)) = TC₁(D₁(p)) + … + TC_n(D_n(p)).

В этой ситуации задача многопродуктовой монополии распадается на множество задач определения оптимальных цен на отдельные товары и ничем не отличается от случая, рассмотренного в предыдущем параграфе:

D_j + p_j D_j' – TC_j' D_j' = 0.

Здесь и далее мы будем обозначать как D_j' производную спроса на j-й товар по собственной цене, а TC_j' – предельные издержки производства j-го товара.

Небольшие различия в постановках можно найти во второй ситуации – ситуации независимого спроса и связанных издержек. Функция издержек уже не является сепарабельной, и изменение выпуска j-го товара может, например, за счет задействования общих производственных мощностей, трудовых ресурсов либо технологий повлиять на затраты на производство остальных товаров. Это означает, что производная функции прибыли по j-й цене примет вид

и оптимальная цена будет удовлетворять следующему уравнению:

Заметим, что формула совпадает с ее аналогом для однопродуктовой монополии, но с одним отличием: предельные издержки MC_j связаны с изменением суммарных издержек по всем товарам при изменении выпуска j-го.

Можно рассмотреть аналог этой модели с немного другой интерпретацией. Двухпериодная вариация под названием «Learning by doing» заключается в том, что издержки производства со временем сокращаются за счет обучения, и чем больше продукции мы произведем в первом периоде, тем ниже будут издержки во втором, то есть ∂TC₂ /∂q₁ < 0.

Действительно, фирма, только входящая на рынок и обеспечивающая небольшой спрос, еще не знает всех тонкостей бизнес-процессов, не выявила лучших контрагентов, ее предельные издержки достаточно велики, а значит, и в будущем это может сказываться на прибылях не лучшим образом. Но если уже в первый период выпуск нарастает, то фирме выгодно даже ценой некоторых затрат находить наилучшие каналы сбыта и поставки сырья, принимать на работу лучших работников и вкладываться в повышение их квалификации, что положительно влияет на эффективность в будущем.

Данный принцип «сегодня учимся, а в результате завтра производим дешевле» и является основополагающим в модели. При этом будущие прибыли учитываются не номинально, а с некоторым дисконтирующим множителем, меньшим единицы. Задача монополиста принимает следующий вид:

_π = p₁ D₁(p₁) + δ p₂ × D₂(p₂) – TC₁(D₁(p₁)) – δ TC2(D2(p2), D1(p1)) → max.

Приравняв к нулю частные производные по каждой из цен, получим, что во втором периоде будет установлена монопольная цена (третьего периода не существует – «после нас хоть потоп», и монополист действует классическим образом). А в первом периоде цена оказывается ниже монопольной для сокращения будущих издержек.