Докажем теорему Майерсона об эквивалентности форматов. Для этого введем следующие обозначения. Пусть v_i – это оценка i-го участника аукциона. Она является случайной величиной, которая распределена регулярным образом (то есть имеет математическое ожидание и дисперсию) на множестве неотрицательных чисел. Пусть также b_i – это ставка i-го участника. Равновесную стратегию игроков обозначим за s (•). Обращаем внимание: мы сразу же рассматриваем именно равновесную стратегию, опуская весь процесс ее нахождения!

Функцию распределения оценок (то есть типов участников) обозначим за F (•), и в силу симметрии она будет одна и та же для всех – все участники аукциона принципиально неотличимы друг от друга. Априори, то есть до начала проведения аукциона, все n случайных величин v₁,…, v_n распределены независимым образом и неизвестны участникам, однако после показа лота каждый участник узнаёт свое собственное значение v_i.

Теперь применим следующий трюк. Обозначим за M (v) функцию, определяющую ожидаемый в рассматриваемом равновесии s (•) платеж игрока, узнавшего свою оценку v. Таким образом, игрок (и мы вслед за ним) должен усреднить результат своего участия с данной оценкой по множеству всех наборов реализаций оценок прочих участников, то есть на пространстве размерности (n –  1).

Так как все прочие оценки независимы друг от друга, то вопрос сводится к взятию (n –  1) – кратного интеграла по этому множеству как раз от функции платежа m (которая определяется при любых конкретных реализациях правилами аукциона), примененной к набору {s (v_j)}, домноженной на совместную плотность распределения. Последняя, в силу независимости случайных величин, равна произведению плотностей f (v_j) в соответствующих точках v_j, определяющих реализации оценок остальных участников.

С какой вероятностью предмет достанется участнику с оценкой v? В силу требования эффективности аукциона это произойдет в том и только том случае, когда заявка нашего игрока s (v) перебьет все прочие заявки s (v_j). Теперь вступает в игру монотонность функции s (•), одинаковой для всех игроков равновесной стратегии участия. Монотонность позволяет заключить, что участник с оценкой v победит в аукционе и получит предмет только в том случае, когда его оценка окажется максимальной. Таким образом, вероятность победы для участника с оценкой v равняется F ^n–1 (v).

Чтобы окончательно абстрагироваться от всей лишней информации, обозначим теперь функцию F ^n–1 (•) за G (•). Сразу же заметим, что она определяется только тем, как именно априорно распределены оценки участников, а не тем, как устроен наш аукцион и какое именно симметричное равновесие s (•) мы рассматриваем. Если вдруг для данного формата окажется несколько равновесных стратегий, выводы будут одни и те же.

Переходим к ключевому моменту. Если участник с оценкой v следует стратегии s (•), то он получает предмет с вероятностью G (v) и платит в среднем M (v). Таким образом, его ожидаемый выигрыш в этой игре равен:

vG (v) – M (v).

Если же он изменит поведение, вместо s (v) заявив, то это фактически эквивалентно тому, что он прикинется участником с оценкой. По крайней мере это верно в том случае, если выпавшая оценка v – не краевая, то есть не равна ни нулю, ни максимальной возможной оценке (в случае, когда диапазон всех оценок является каким-то конечным отрезком [0, T]), и если отклонение окажется незначительным, не выводящим оценку за пределы допустимого диапазона.

Что получит игрок с оценкой v, если он прикинется игроком с оценкой, близкой к v? Он получит лот с вероятностью G(), заплатив в среднем M(). Так как лот на самом деле имеет для него ценность v, то выигрыш будет равен:

Такое изменение должно быть невыгодно, поскольку стратегия участия s (•) – равновесная, и поэтому она является оптимальным ответом на себя саму. То есть при условии, что остальные участники следуют этой стратегии, заявка s (v) должна доставлять максимум функции ожидаемого выигрыша участника с оценкой v.

Таким образом, при любых должно быть выполнено неравенство:

Для дифференцируемых функций из этого следует, что производная по от функции обращается в ноль именно в точке v, иначе даже локального максимума нам не получить, то есть

непременно в точке.

Поскольку v было взято совершенно произвольно, с одним условием v ≠ 0, v ≠ T, мы получаем следующее дифференциальное тождество:

при всех v > 0.

Вспоминая о том, что M (0) = 0 (человек с заявкой ноль платит ноль!) и интегрируя наше тождество в пределах от нуля до произвольной возможной оценки y, мы получаем окончательную формулу для функции ожидаемого платежа участника аукциона, которому выпало значение оценки v = y.

Заметим, что независимо от формата в среднем аукционист в симметричном равновесии получит с участника, которому выпало v = y, величину M (y), зависящую только от распределения оценок. Ясно, что ожидаемый доход аукциониста равен n-кратному значению интеграла от M (y) по пространству возможных y, то есть этот суммарный ожидаемый доход также не зависит ни от чего, кроме априорного распределения ценностей лота для участников аукциона.