Все началось с задачи Диофанта

«Два числа в сумме дают 20, а их произведение равно 96. Ну, ясное дело, надо определить эти числа»

В современной записи это будет система:

s + d = 20

sd = 96

Фигурную скобку системы { поставьте мысленно.

Решением будет квадратное уравнение:

s² — 20s + 96 = 0

Как вы помните для квадратного уравнения (КУ)

ax² + bx + c = 0

корни вычисляются по формуле:

Сегодня меня интересуют только приведенные квадратные уравнения (ПКУ – это когда a=1).

И еще для дальнейшего удобства ввожу переменную h = -b/2.

В таком случае формула упрощается до:

В этом сочинении меня интересует ТОЛЬКО графическое решение уравнения.

Пропускаем тривиальные рассуждения о параболах и рассмотрим подкоренное выражение.

Да! Введем еще одну подстановку вместо переменной с, введем некое число в квадрате, пусть будет v (т.е. c = v²).

Значит под корнем будет:

h² – v²

Если вы присмотритесь, то под корнем оказалась теорема Пифагора.

То есть для нахождения корней не нужно возводить число в квадрат а затем из разности извлекать корень (3 – операции), а достаточно одной операции извлечь корень из c и построить треугольник (циркулем и линейкой).

Для уравнения x² -10x + 16 = 0 графическое решение будет таким:

Производим вычисления h = 5; v = 4

Рис. 1.

Корни x₁=2, x₂ = 8.

[знак при v не имеет значения]

Немного другое решение для случая, когда корни имеют разные знаки.

Например, для уравнения x² -6x - 16 = 0.

Производим вычисления h = 3; v = 4

Рис. 2.

[знак при v не имеет значения]

Корни x₁=-2, x₂ = 8.

Как определить потребный случай? Легко! По знаку перед коэффициентом c, если минус значит рисунок 2, и обратно (подробнее в «Системе Диофанта»).