Когда вы бросаете игральную кость, вероятность выпадения каждой грани должна быть одинаковой. В противном случае соперники нервничают, становятся подозрительными и перестают приглашать вас на вечеринки, где играют в нарды.

Полезная отправная точка: конгруэнтность. Две геометрические фигуры называют конгруэнтными, если одну можно наложить на другую так, чтобы они совпали. Конгруэнтные геометрические фигуры — неотличимые близнецы, углы и стороны одной равны соответствующим углам и сторонам другой. Таким образом, первая идея проектирования честной игральной кости — убедитесь, что все грани конгруэнтны друг другу.

Звучит отлично… пока не встретишься с курносым дисфеноидом.

Этот полиэдр, многорылый слепыш, развенчивает наши надежды. Все его 12 граней — идентичные друг другу равносторонние треугольники. Но эту игральную кость нельзя назвать честной[56].

В некоторых его вершинах пересекаются четыре треугольника, а в прочих — пять треугольников. Когда вы кидаете на стол этого маленького монстра, некоторые грани выпадают чаще, чем другие. Боюсь, что конгруэнтности граней недостаточно.

Нам нужна симметрия.

Говоря простым языком, симметрия означает неуловимое, ласкающее глаз единообразие.

Ее математический смысл гораздо конкретнее: геометрическое действие, преобразующее объект, но не меняющее его сути. Например, у квадратного стола есть восемь видов симметрии:

Симметрические отображения не меняют форму стола, однако внимательный анализ показывает, что они меняют местами его углы. Например, поворот на 180º меняет местами противоположные углы: № 1 занимает место № 3, и то же самое с № 2 и № 4. Сравните с отражением по диагонали, которое меняет местами углы № 2 и № 4, но оставляет на своих местах углы № 1 и № 3. Симметрические отображения игральной кости работают примерно так же: грани меняются местами, но форма остается неизменной.

Симметрия предлагает верный путь к честной игре. Просто выберите геометрическое тело, достаточно симметричное, чтобы все грани можно было поменять местами.

Например, бипирамида. Возьмите две идентичных пирамиды и приклейте их основания друг к другу. Правильная комбинация поворотов сможет поменять любую треугольную грань на любую другую, и это означает, что все грани геометрически эквивалентны и игральная кость честная.

Другой пример: трапецоэдр. Он выглядит как бипирамида^{32} с изящной резьбой по экватору, которая превращает треугольники в четырехугольники, похожие на воздушных змеев.

Вы можете сделать бипирамиду или трапецоэдр с любым количеством граней: 8, 14, 26, 398^{33}. Теоретически любая из этих игральных костей обеспечит честную игру, грани будут выпадать с одинаковой вероятностью. Наверное, вы думаете, что мы решили проблему. Игра в кости окончена, да? Не так быстро! Люди гораздо капризнее. Недостаточно, чтобы игральная кость была честной…