Математика состоит из двух важных составляющих: что такое число, и что такое доказательство. Моя старшая дочка не могла в свое время решить задачу: есть 3 апельсина и 2 яблока, сколько всего фруктов? Она совершенно не понимала, как можно сложить яблоки с апельсинами. Это же совершенно про разное. Мне кажется, что это типичное гуманитарное мышление. Че­ловек фокусируется на содержании объекта и не может от него уйти. А вот старший сын решал эту задачу, когда ему было два с половиной года. Я ему говорил: «У тебя было 3 грузовика и 2 лег­ковушки. .. » — «Ой, пап, давай просто 3 + 2, — зачем, всё это... ерунда... Говори три и два, и будем складывать». Ведь что такое число? Число — это ум,ен,и,е абстрагироваться от, объекта. Гово­рят, в каких-то таежных культурах, где-то далеко на воет,оке Сибири, имеются до сих пор разные числительные для обозначе­ния, например, количества белых медведей и количества деревьев. У них формализация числа 5 как выражающего общность пяти медведей и пяти сосен еще не произошла. На осознание того, что у 5 медведей и 5 сосен есть общее, человечество потратило мно­го тысячелетий. И в тот м,ом,ен,т,, когда это осознание настало, началась математика. А на память об этом процессе в русском языке до сих пор говорят «сорок» вместо «четырьдесят», хотя раньше можно было сказать «сорок собольих шкурок», но не «со­рок деревьев».

А теперь рассмотрим поближе футбольный мяч. Он состоит из шестиугольников и пятиугольников: двадцати шестиугольников и двенадцати пятиугольников.

Зачем? Почему так сложно? Вот вы, допустим, шьете футболь­ные мячи, чем вам не угодили просто шестиугольники? Взяли, сшили их по краям. Плоскость, например, отлично замощается ше­стиугольниками .

Слушатель: Но они, может быть, в мяч не сложатся.

А.С.: Давайте попробуем сложить огромный мяч. Возьмите 200. 300 шестиугольников. Плоек ость-то элементарно замощается? Вот так. как я нарисовал. Пчелиные соты (рис. 23).

Слушатель: Они на стыках но будут совпадать.

А.С.: Ну тут-то. на плоскости, вроде всё совпадает. А потом взял, свернул очень большой кусок плоскости и получил мяч.

Слушатель: Не остается места для того, чтобы правильно со­гнуть.

А.С.: Я даже не знаю, как выразить простым языком Ваше пра­вильное интуитивное замечание. Но математическая теория этого вопроса неумолима. Из шестиугольников нельзя собрать поверх­ность шара. Вообще, никак, никаким способом даже если их нарисовать на поверхности шара в слегка искривленном виде6

'edels/liexaspliere/. Обратите внимание па дату публикации :-))))·.

Слушатель: А из пятиугольников?

А.С.: Сейчас мы проясним ситуацию, связанную с пятиуголь­никами. Во-первых, давайте договоримся о том. что сшивать надо так. чтобы в каждой вершине сходилось три образующих поверх­ность мяча многоугольника. Будем называть такую сшивку регу­лярной. Сразу скажу, что никакой, регулярной ли. не регулярной.

никакой сшивкой из шестиугольников нельзя сшить футбольный мяч. Но давайте сейчас рассмотрим подробно регулярные сшивки. Возьмем всевозможные футбольные мячи, любого размера, кото­рые составлены из пятиугольников и шестиугольников.

Неожиданная теорема:

Если поверхность шара «сшита» регулярным образом из некото­рого количества х шестиугольников и некоторого количества у пя­тиугольников, то у обязательно равно 12.

Слушатель: В любом случае?

А.С.: В любом. Как ни экспериментируй, что ни делай, чему бы х ни равнялось, х = 200, х = 300, ... Но у = 12. Ровно 12, не 12 ООО, не 120. От размера мяча не зависит, от размера лоскутков не за­висит, от того, как сшивать, не зависит. Это — математическая теорема.

Слушатель: Невероятно...

А.С.: Есть абсолютное доказательство этой теоремы. Если вы хотите сшить футбольный мяч из пятиугольников и шестиуголь­ников, пятиугольников обязательно будет ровно 12.

Слушатель: Какой диаметр?

А.С.: Не важно: ни диаметр, ни размер лоскутков, ни то, как сшивать. Вы никогда не сошьете ничего другого. Какие бы прика­зы не издавала... ну, скажем, фабрика «Спортинвентарь». Ска­жем, придет к власти новая футбольная партия и скажет: «Отны­не сшивать мячи так, чтобы в них было поровну шестиугольников и пятиугольников». Тогда их обязательно будет 12 к 12.

Слушатель: То есть такое тоже может быть? Прямо 12 к 12?

А.С.: Да. А знаете, как еще может быть? Ноль шестиугольни­ков и 12 пятиугольников. Ни одного шестиугольника, одни пяти­угольники.

Слушатель: А зачем тогда шестиугольники?

А.С.: Видимо, для того, чтобы мяч был гладкий. Ноль шести­угольников — 12 пятиугольников. 200 шестиугольников — всё рав­но 12 пятиугольников.

Слушатель: Скажите, а вот эта теорема появилась уже после футбольного мяча? Или футбольный мяч появился раньше?

А.С.: Футбольный мяч появился «чуть-чуть» раньше. Если честно, теорему эту полностью осознали примерно 150 лет назад. Но этот результат, как и очень многие другие, должен быть отнесен к Эйлеру. Леонард Эйлер жил больше половины жизни в Петер­бурге и похоронен там же на Смоленском лютеранском кладбище. Он ввел в математику понятие инварианта. Эйлер показал, что есть в математике такие вещи, которые не меняются, что бы ты ни делал. И настоящая математика — это поиск таких вещей. Эйлер доказал потрясающую по красоте формулу, сейчас я ее нарисую, а может быть, даже докажу. Кстати, есть такой архитектурный объект «Монреальская Биосфера» или геодезический купол, со­зданный Ричардом Фуллером Бакминстером. Гигантский сегмент шара, чуть больше, чем полушар, составленный из маленьких ше­стиугольников. Я, когда его увидел, сказал: «Нет. Нет. Нет... Вы не правы, там не могут быть все шестиугольники, либо он сильно искривлен, либо там где-то живут пятиугольники. Ищите».

Мне говорят: «Алексей, как вы это угадали? Мы нашли 5-уголь­ники». Эта конструкция не полный шар, поэтому в ней не 12, а при­мерно 7 пятиугольников. Как же я узнал? Теорема, математика. Она же универсальная для всего. Что абсолютно одинаково в Рос­сии, в Канаде и в Америке? Только математика.

Слушатель: Положение этих пятиугольников, оно тоже опре­делено?

А.С.: Нет. Можно их все сцепить в одном месте. Только полу­чится сильно искривленная форма. Лучше пятиугольники разне­сти. Пятиугольники отвечают за искривление. А что такое искри­вление? Беру Земной шар и рисую на нём треугольник (рис. 24).

На Земном шаре есть где развернуться. Одну из вершин возь­мем на Северном полюсе, две другие — на экваторе. А сторонами треугольника, как и положено в геометрии, будем считать отрез­ки двух меридианов и отрезок экватора (ведь по ним измеряется кратчайшее расстояние между точками на земной поверхности!).

Вот и получился у нас равнобедренный треугольник, у которого оба угла при основании прямые. А угол при Северном полюсе любой. Так давайте возьмем его тоже прямым!!!

У нарисованного нами треугольника все углы прямые. Такого не бывает на плоскости. Это геометрия шара, поверхности шара, и вот с этой геометрией связан рассматриваемый нами факт. Он открывает очень глубокую теорию дифференциальную геомет­рию, а также теорию римановых многообразий. Вернемся к фут­больному мячу, состоящему из х шестиугольников и у пятиуголь­ников, и к нашей «неожиданной теореме».

Слушатель: Кратен ли х чему-нибудь?

А.С «ж» может быть равен чему угодно. А вот «у» обязательно равен 12.

Слушатель: То есть четное, нечетное не важно.

А.С.: Абсолютно.

Слушатель: То есть мы можем сделать шар из 130 шестиуголь­ников и 12 пятиугольников, или из 131 и 12?

А.С.: Да, надо подумать и аккуратненько вклеить эти наши 12 пятиугольников.

Слушатель: А связано ли это с количеством сторон в пяти­угольнике и в шестиугольнике?

А.С.: Безусловно. Терпение, доказывать этот факт мы будем позже. Пока что нам нужна подготовительная работа, проделан­ная математиком Эйлером. Леонард Эйлер обнаружил следующий факт. Что такое многогранник. каждый понимает. Любой много­гранник это как бы изломанная поверхность шара. Эйлер нари­совал многогранник на шаре: спроецировал ребра и вершины мно­гогранника. лежащего внутри шара, на поверхность шара. (Слово «спроецировал» означает следующую процедуру: расположил вну­три стеклянного шара макет многогранника, сделанный из прово­лочек. и зажег в центре шара маленькую лампочку. На поверхно­сти шара будут видны тени от ребер это и есть проекции ребер.)

И с помощью этого приема доказал замечательную теорему с совершенно удивительной формулировкой. Называется теорема «Формула Эйлера для многогранника».

Пусть у многогранника будет: В количество вершин. Р количество ребер. Г количество граней. Эти количества мож­но непосредственно подсчитать, глядя на модель многогранника. Тогда обязательно будет

В^Р + Г = 2.

Независимо от того, какой мы взяли многогранник. Теорема верна и для куба, и для тетраэдра (рис. 26). и для любого другого мно­гогранника. имеющего границей «изломанную поверхность шара». Всегда это выражение будет равно 2.

Тетраэдр это любая треугольная пирамида. Раньше в такой форме делали молочные пакеты. Давайте посчитаем у молочного

пакета количество вершин, ребер и граней. Сколько вершин у мо­лочного пакета?

Слушатель: 4.

А.С.: В = 4. Сколько ребер у нашего тетраэдра?

Слушатели: 6.

А.С.: Без сомнения. А граней?

Слушатели: 4.

А.С.: Верна формула? 4 — 6 + 4 = 2. Верна.

А теперь рассмотрю другую пирамиду — четырехугольную (рис. 27).

У нее 5 вершин, 8 ребер и 5 граней. Формула верна: 5^8 + 5 = 2. Слушатель: А количество вершин и граней всегда совпадает? А.С.: Нет, ни в коем случае не всегда. Давайте посмотрим на куб (рис. 26, слева).

У обычного куба — 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. (Бывают еще и необычные кубы... например, 4-мерные.)

Снова получаем два: 8 — 12 + 6 = 2.

Никуда от этой формулы не денешься. Думаю, что до Эйлера эту закономерность тоже кто-то замечал, но важно не первым за­метить, а громко об этом заявить. Так сказать, довести до сведения широких масс.

Не буду сегодня ничего больше доказывать. Вместо этого я рас­скажу о некоторых великих математических загадках прошлого.

Давайте вспомним формулу для решения квадратного уравне­ния с коэффициентами а, Ь, с:

_ ± %/fo² — 4ас ^Ж_ 2а '

На самом деле не очень важно, как конкретно она выглядит. Важно то, что это — универсальный метод решения квадратного уравне­ния. Какие бы они ни были, эти а, Ъ и с, если действие произвести, вы получите какое-то число.

Тут есть две точки зрения на эту ситуацию. Если написа­на некоторая формула, то она может случайно оказаться верной для каких-то чисел а, Ь, с, то есть для какого-то квадратного трех­члена. Для одного случайно оказалась верной, для другого ока­залась верной. Сколько раз нужно проверять, чтобы точно ска­зать, что она всегда верна? Бесконечное количество раз. Но можно сделать иначе. Можно взять эту формулу, подставить в исходное уравнение

ах² + Ьх + с = О

и убедиться в том, что всё сократится, и вместо символов а, Ь, с слева возникнет ноль. Это и будет означать, если мы верим в язык символов, что формула верна. У нас всё сократилось, в любом случае, какие бы а, Ь, с мы ни взяли.

Слушатель: Простите, а для чего нужна эта формула?

А.С.: Для чего она нужна? Ну, я бы сказал так. Лично для ме­ня ответ такой: для красоты. Для того, чтобы быть уверенным, что математика может дать какие-то универсальные рецепты вычисле­ний. Сейчас, конечно, компьютеры решают задачи посложнее этого уравнения, но раньше она была нужна для быстрого вычисления.

Вы распределяете земельные участки, измеряете какие-то пря­моугольные куски, у вас получается квадратное уравнение. Можно медленно прикидывать, как это сделать, а можно быстро получить ответ.

Слушатель: То есть практическое применение какое-то было?

А.С.: Ну, раньше — да. Дальше эта идея развивалась так. А что, если я напишу уравнение:

аж³ + Ьх² + сх + d = О?

Могу я написать универсальную формулу, с помощью которой можно вычислить ж? При этом разрешается складывать, вычитать, умножать, делить и даже извлекать корни, причем любой степени. Но больше ничего не разрешается.

Слушатель: От куба и дальше такого сделать нельзя.

А.С.: Можно; но эту формулу не изучают в школе. Форму­ла для кубического случая была придумана в первой половине XVI века. Несколько математиков работали над этой проблемой одновременно. Сейчас формула носит имя Джироламо Кардано, но он не придумал ее, а опубликовал метод другого математика (т. е. «громко об этом заявил»).