Качества, которые больше всего восхищают людей в собаках, – писал корреспондент The New Yorker Джеймс Тербер, – это их собственные достоинства, странным образом усиленные и измененные». Вероятно, поэтому о нем писали в газетах, его снимали на телекамеры и забрасывали его почетными званиями, как мозговыми косточками. В его собачьей интуиции нам виделось подобие человеческого интеллекта, подтверждение нашего с трудом добытого знания.

Но, возможно, больше всего людей приводят в восторг умильные собачьи морды. «Если бы этот пес был уродцем, – со смехом говорит мне Тим Пеннингс, – вряд ли он имел бы такой успех».

История началась в 2001 г. «У меня и мысли не было о том, чтобы взять собаку», – рассказывает Пеннингс о своей первой встрече с Элвисом. Но, когда годовалый пес не колеблясь лизнул его колено, математик решил попробовать – в любом случае, «только на шесть месяцев». Их любовь продлилась десяток лет. Элвис бывал в кабинете Тима и посещал его уроки. «Его знали во всем кампусе, – говорит Пеннингс. – Неофициальный символ колледжа Хоуп».

Когда им не надо было давать уроки, парочка любила посещать пляж Лейктаун на песчаном восточном берегу озера Мичиган. Пеннингс бросал в воду теннисный мячик, Элвис стремглав мчался по пляжу, а потом с брызгами нырял за ним.

– Это служило толчком для моей памяти, – говорит Пеннингс. – Я думал: «Ага, именно такой путь я рисую каждый раз, когда решаю задачу Тарзана и Джейн».

– Это может только университетский преподаватель, – позднее с серьезной миной говорил один студент на CNN, – испортить такую великолепную игру чем-то вроде математического анализа.

Задача довольно стара. Тарзан, этот необразованный недотепа, провалился в зыбучие пески, и Джейн должна его спасти. Но ее отделяет от возлюбленного река (для простоты не будем учитывать ее течение) и небольшой путь вниз по берегу. Как Джейн добраться до Тарзана за минимальное время?

Один вариант: направиться к нему по прямой. Это сводит к минимуму расстояние, которое нужно преодолеть. Но, если учесть, что плавает Джейн медленнее, чем бегает, будет ли мудро с ее стороны провести почти все время в воде?

Альтернатива: пробежать по берегу, пока она не окажется точно напротив Тарзана, а потом переплыть реку под прямым углом. Это уменьшит расстояние, которое надо проплыть (что, возможно, подходит для пугающе неподвижной реки), но путь в целом удлинится.

Между этими двумя крайностями у Джейн есть множество менее экстремальных вариантов, когда она пробегает часть пути вдоль берега, а потом плывет по диагонали.

Эта загадка просто создана для математического анализа. Небольшая корректировка точки прыжка в воду оказывает крошечный эффект на общее время. Найдите, где эта производная равна нулю, и вы определите идеальный путь для Джейн с минимальным временем.

Мог Элвис, столкнувшись с подобной проблемой, выбрать оптимальный путь? Или, как спросил Пеннингс в заглавии своей исследовательской работы: «Знают ли собаки математический анализ?»

Во-первых, нам нужно задать несколько переменных: r – скорость бега Элвиса, s – скорость, с которой он плывет, x – расстояние, на котором мячик находится от берега, и z – расстояние до мячика по пляжу.

Последнее важное решение – это переменная y: какой угол должен срезать Элвис?

Проведя некоторые алгебраические преобразования, Пеннингс вывел удивительную формулу:

Почему эта формула удивительная? Не столько из-за того, из чего она состоит (просто куча символов), но из-за того, что в ней отсутствует. В формуле нет z.

В следующие годы Пеннингс подчеркивал этот момент, читая лекции студентам. «Что должен Элвис сделать, – спрашивал Тим, – если я отойду еще на десяток метров, прежде чем бросить мяч?» Иными словами, если z вырастет, что произойдет с y?

Подавляющее большинство отвечающих – более 90 % – выбирали вариант (б). Но тогда Пеннингс говорит о том, что в формуле нет z. Ее отсутствие указывает на то, что оптимум не зависит от z. Не важно, насколько далеко от береговой линии начнет движение пес – 10 метров, 100 метров, 100 километров: Элвис всегда должен выбирать один и тот же момент, чтобы войти в воду.

– Вы все с этим согласились, – говорил Пеннингс слушателям. – Это казалось очевидным. Но тем не менее математика преодолевает мнение масс. Она преодолевает вашу интуицию. Она преодолевает все это.

Мог Элвис также прорваться сквозь песок и волны, чтобы добраться до своей награды? Мог собачий мозг добиться успеха там, где спасовал человеческий? Неутомимые Пеннингс, Элвис и помогавший им студент провели день на пляже, собирая данные. Во-первых, замерили время, чтобы определить скорость пса: на земле Элвис преодолевал 6,4 м/с, а в воде – 0,91 м/с. Во-вторых, экспериментаторов ждало главное событие. Пеннингс провел 13-метровую черту с разметкой вдоль берега. Он бросал мячик 35 раз, 35 раз гнался за Элвисом, пока пес не нырял в воду, 35 раз втыкал отвертку в песок, чтобы сделать отметку, и 35 раз бросался, чтобы измерить расстояние, на котором мяч находился от берега до того, как Элвис схватил его.

– Что вы делаете, охотитесь за своей собакой с крестовой отверткой? – спросил какой-то прохожий.

– Провожу научный эксперимент, – ответил Пеннингс, вместо того чтобы нескромно сказать правду: он творил историю математики.

Формула Пеннингса предсказывала линейную связь между х (расстоянием, на котором мяч находился от берега) и y (точкой, где Элвис прыгал в воду). Нанеся на график 35 точек, за исключением двух попыток, когда слишком нетерпеливый Элвис прыгал прямо в воду, отметая разумное объяснение о том, что «даже у студента-отличника может быть плохой день», Тим получил впечатляющую картину.

Он отправил статью «Знают ли собаки математический анализ?» в журнал College Mathematics Review. Редактор Андервуд Дадли – мечтатель, достойный своего имени, – немедленно ее принял, поместил фотографию Элвиса на обложку и написал Пеннингсу письмо: «Когда следующие поколения читателей прочтут эту статью, они скажут: “В те дни жили гиганты”. И будут правы».

Историей заинтересовались Chicago Tribune, Baltimore Sun, NPR и BBC. В письме из Букингемского дворца были добрые пожелания королевы. В Wisconsin State Journal статья об Элвисе стояла на первой странице, а оборот отвели под графики. Популяризатор математики Кит Девлин посвятил главу своей книги «Математический инстинкт» (The Math Instinct) Элвису и даже предлагал назвать книгу «Знают ли собаки матан?». Издатель отговорил его, предупредив, что слово «матан» отпугнет читателей. (Забавно: мой говорил мне то же самое.)

Гениальность этой истории, как и гениальность самого Элвиса, в простоте.

– Скорее всего, – говорит Пеннингс, – есть сотня математиков, которые кусают локти, думая: «Я мог давным-давно сделать это со своей собакой!»

Двое исследователей из Франции – психолог Пьер Перрушет и математик Хорхе Галлего – сделали еще один шаг вперед. Во-первых, они повторили эксперимент с лабрадором-ретривером по кличке Сальса. Затем ученые бросили решительный вызов интерпретации Пеннингса. Они задались вопросом, действительно ли Элвис исследовал все возможные пути, чтобы выбрать оптимальный. Такой путь кажется чудовищно сложным для собаки. «Это позволяет предположить, – писали они, – что собаки, возможно, способны рассчитать… весь маршрут еще до того, как начнут бежать».

Французская пара исследователей предложила альтернативу: «Cобаки пытаются оптимизировать свое поведение, основываясь на каждом моменте». В любое отдельно взятое мгновение Элвис (или Сальса) просто должны были решить: бежать или плыть?

Если находишься далеко от мячика, бежать будет быстрее. Если близко, то путь по берегу получается слишком непрямым, и, таким образом, плыть оптимальнее. Элвису не надо рассчитывать весь путь заранее, ему просто нужно знать свою собственную скорость при беге и плавании и раз за разом выбирать более быстрый способ добраться до цели.

Эта стратегия кончается одним и тем же путем, тем не менее в ней нет «сложных бессознательных мысленных вычислений» глобальной оптимизации.

Возможно, собаки все-таки не владеют математическим анализом.

Случилось так, что эта статья – «Может быть, собаки просто оценивают относительную скорость, а не занимаются оптимизацией?» – попала к Пеннингсу для рецензии. «Какая чудная идея!» – подумал он и одобрил статью. (Непредвзятость – это черта истинного ученого.) Но неделю спустя в жаркий полдень Пеннингс вновь оказался на пляже вместе с Элвисом, и на этот раз они вместе плескались в воде, играя в «подай-принеси». Пеннингс бросал мяч, Элвис ловил его и приносил обратно.

– В какой-то момент, – вспоминает Тим, – я забросил мяч далеко. Пес поплыл к берегу, пробежал по пляжу, а затем поплыл обратно.

У профессора просто челюсть отвисла:

– Секундочку! Он двигался не к мячу! Он решал задачу в целом, а не проблему относительной скорости!

Если в каждый момент Элвис выбирал кратчайшее направление, тогда зачем он поплыл к берегу? Это уводило его от мячика. Только тип мышления, способный на глобальную оптимизацию, мог позволить выбрать такой путь. В результате появилась еще одна статья об Элвисе, на этот раз озаглавленная «Знают ли собаки о бифуркации?».

Многие годы Пеннингс и Элвис вместе посещали различные мероприятия. В завершение каждого разговора Тим ставил Элвиса на стол перед аудиторией.

– А теперь внимательно следите за его глазами и ушами, – советовал математик.

Затем тихим и таинственным голосом он спрашивал:

– Элвис, какой будет производная от х³?

Все глаза были устремлены на корги, а пес смотрел на Пеннингса, склонив голову.

– Видите это?! – восклицал профессор. – Видите, что он делает?

Еще одна многозначительная пауза.

– Он ничего не делает. Он никогда ничего не делает, когда я задаю ему этот вопрос.

Спойлер: собаки не владеют математическим анализом. Но естественный отбор – это мощное средство оптимизации. Чем быстрее собака сможет добраться до еды, тем выше ее шансы – и шансы ее детей – на выживание. Таким образом, со временем собаки, которые выбирают самые эффективные пути, начинают доминировать в популяции. Поколение за поколением собаки «учатся» математическому анализу. По той же самой причине шестиугольные ячейки сот уменьшают количество отходов, разветвление легких увеличивает площадь поверхности, а артерии млекопитающих минимизируют обратный кровоток. Природа каким-то странным образом владеет математическим анализом.

«Мы не знаем, почему Пеннингс так удивлен, – писали на сайте Национального дня чистопородных собак, – Элвис был псом породы вельш-корги пемброк, а мы все знаем, как ОНИ умны».

В самом деле, Элвис вскоре получил почетную докторскую степень колледжа Хоуп вместе с официальной грамотой и ярко-оранжевым капюшоном. Пеннингс сделал для Элвиса визитные карточки, но, пытаясь сократить латинскую фразу «собачий доктор наук», он случайно превратил ее в «собачий гинеколог». Вот таким получилось еще одно историческое удостоверение личности этой прокладывающей новые пути собаки.

В электронном письме Пеннингс поделился со мной своей коронной идеей, которую он вынашивал годами, – написать книгу под названием «Математика как ее понимают собаки». Снабженная фотографиями Элвиса книга должна была включать математический анализ (оптимизацию, относительные величины), высшую математику (бифуркации, теорию хаоса), некоторую часть гуманитарных наук, основные свойства построения моделей (иными словами, действительно ли Элвис начинает плыть, как только входит в воду? Да, потому что даже на мелководье его короткие 13-сантиметровые ноги не касаются дна)… и (это было во втором письме, которое пришло несколько мгновений спустя) урок скромности. Элвис, возможно, ничего и не знал о производной х³, но пес-профессор многому может нас научить.

Элвис умер в 2013 г. «Никакой собаке не нравится приближение смерти, – писал Тербер, – но я никогда не видел, чтобы пес демонстрировал человеческий панический страх перед ней. Для собаки смерть – это последнее неизбежное принуждение, последний неотвратимый след, который уводит по зловещей тропе».

– Элвис начал свой путь как собака, которая действительно была хорошим другом, – сказал мне Пеннингс. – К тому времени, когда он умер, он был моим хорошим другом, которому просто случилось быть собакой.