«Петербургского» много всего. Но многие ли знают, что существует «петербургский парадокс», иногда говорят «санкт-петербургский парадокс», реже — «петербургская задача».

А такое действительно есть, и оно хорошо известно в определенных авторитетных, хотя и не самых широких кругах.

Иначе сказать, есть нечто такое, что именуется данными словами как терминами. А главное, есть сферы деятельности человеческой, где эти термины употребляются.

Я сам об этом узнал не так давно, удивился тому, что узнал, и провел среди знакомых небольшой опрос. Интересовался: как думаете, с какой стороной деятельности связаны эти понятия? Чаще всего «петербургскую задачу» соотносили со строительством. А вариант «петербургский парадокс» — с чем-то из области общественно-социальных преобразований. Одно замечание показалось неожиданным. «Петербургская задача», видите ли, звучит на слух так же весомо, как «ленинградское дело». А ведь и правда. Если не знать, чтó эти слова означают, можно, чего доброго, подумать, будто они относятся к похожим предметам.

Только нет. «Ленинградское дело» — название, как известно, комплекса репрессивных мер, относящихся к 1949–1950 годам — с расстрелами и ликвидациями. «Петербургская задача» же, сформулированная еще в XVIII веке, ничего столь зловещего, к счастью, собой не являет, да и к истории она имеет косвенное отношение, — по существу, она о другом. По крайней мере, так думают математики.

Все верно, это из математики. Отчасти из экономики. Причем из областей, в частности, новейшей, XXI века экономики, озадаченной надежностью инвестиций, опасностью рисков и мотивами волевых решений, притом не чурающейся пионерских идей XVIII столетия.

А к Петербургу это имеет то отношение, что было оно предложено в «Комментариях Санкт-Петербургской Академии» (1738) — выходил такой сборник научных трудов (исключительно на латыни) — знаменитым математиком Даниилом Бернулли, членом Петербургской академии наук, еще из первой, петровского призыва генерации петербургских академиков (все сплошь иностранцы). Впрочем, к моменту публикации соответствующей статьи, название которой с латыни сейчас переводят так — «Опыт новой теории измерения жребия», Даниил Бернулли, швейцарский ученый, уже вернулся из Петербурга в Базель, что не помешало ему быть иностранным почетным членом Петербургской академии и даже получать жалованье (с перебоями, правда).

Парадоксы брезжат один сквозь другой, но все-таки в двух словах мы должны тут коснуться сути собственно «петербургского парадокса».

Петр и Павел проводят серию игр с равновероятным, иначе сказать, справедливым исходом. Почему Петр и Павел? Так в оригинале, и признаемся, детали антуража, сопутствующие исторической постановке задачи, нас только радуют. Равно как слово «жребий», побуждающее к смутным ассоциациям, как-то связанным с Петербургом и всей российской историей. Возможно, нам удастся рассмотреть в петербургском парадоксе что-нибудь действительно специфически петербургское. А нет, так на нет и суда нет. Посмотрим.

Итак, Петр и Павел. Два игрока. В современных изложениях сути задачи обычно считается, что подбрасывается монета: решка или орел?

Петр подбрасывает монету. Игра длится, пока не выпадет орел — на орле прекращается. Ну и по новой.

Теперь правила. Если сразу орел, Петр получает с Павла два дуката (такую денежную единицу предлагает Бернулли). Если сначала решка, а только потом орел, Павел платит четыре дуката. Если две решки, а дальше орел — восемь дукатов. Ну, скажем… пять решек подряд, шестой орел — Петр получит сколько?.. два в степени шесть — шестьдесят четыре дуката. Но играют двое. Павел тоже рассчитывает на выигрыш. Поэтому правила предписывают Петру внести в начале игры уравновешивающий взнос — по согласному признанию обоих игроков, справедливый. Или Павел извлекает из него свой выигрыш (слава жребию! — выпал сразу или скоро орел, и Петр остался с носом…), или Петр сверх данной ставки (слава жребию, орел выпал не скоро!..) получает свою прибыль из кармана Павла. Короче, предполагается такой взнос Петра, при котором игра получилась бы, повторим, справедливой: ну, фифти-фифти. Каков он? Сколько дукатов?

Это задача.

Решение ее, сугубо математическое, не оставляет Павлу шансов на справедливость. Почему так, здесь рассуждать неуместно (заметьте, в отличие от Бернулли, мы не употребили ни одной формулы).

Скажем только, что «справедливый» взнос Петра за такую игру (по формуле, не подлежащей сомнению) должен быть бесконечным. Бесконечная сумма дукатов. Иначе Павлу не уравнять шансы с Петром. Такова теория.

Но ведь в жизни все будет не так. Все в реальности — по-другому.

Ни один игрок на месте Петра не поставит больше… двадцати (и то сумасшедший)… нет, десяти?.. может, восьми дукатов?

И вот тут парадокс. Теория резко расходится с практикой.

Сказано: парадокс петербургский.

В те времена, когда основы теории вероятностей лишь разрабатывались, важным катализатором математической мысли были не только публикации в научных изданиях, но и частная переписка самих математиков. Всех волновала проблема жребия. Формулировки оттачивались в международной переписке с коллегами. Но мне почему-то мнится, что самые яркие прозрения у Даниила Бернулли случались, когда он, житель Васильевского острова, коротким зимним пасмурным днем выходил в бобровой шубе на Стрелку, глядел на шпиль собора Петра и Павла и закованную льдом Неву, вспоминал брата, не перенесшего петербургского климата, тоже петербургского академика и тоже математика (и, между прочим, первым заметившего наш парадокс), и думал, вдыхая морозный воздух: что я делаю тут?.. как я здесь очутился?..

Так вот. По теории вычисляется так называемое математическое ожидание, и то верно: это наиболее ожидаемое значение выигрыша. Если в упомянутом случае с орлом на шестом подбрасывании (после пяти решек) вероятность данного события одну шестьдесят четвертую умножить на куш в шестьдесят четыре дуката, получится один дукат — это цена, по которой Петр может уступить данный случай в игре (ну хоть нам с вами) — по справедливости. То есть по справедливости мы бы могли купить этот исход всего за один дукат. Как и любой другой. Согласно теории. Но стали бы мы позволять себе такие инвестиции? За один дукат — в надежде получить шестьдесят четыре с вероятностью одна шестьдесят четвертая? Вопрос.

А ведь любому покупателю за один дукат можно было бы предложить лотерею — купите игру с конкретным орлом: вдруг на тысячном ходу после эпохи 999 решек выпадет орел — выигрыш будет… о-го-го!.. золота не хватит (уже подсчитано) заполнить сферический объем радиусом до ближайшей звезды. Не шанс ли это разбогатеть? А заплатить за него надо один дукат. Кто-нибудь согласится? Я — нет. И думаю, никто — нет. Но в том-то и дело, что теория не учитывает наши желания и сулит нам (то есть Петру) немыслимые победы.

Да, вот здесь парадокс.

Бернулли, помимо формального математического ожидания, заговорил о моральном ожидании — о выгодности решения с точки зрения игрока. В новейшие времена следствием этих умозаключений стали всякие там теории рисков, оптимальных инвестиций и тому подобного.

На самом деле термин «петербургский парадокс» ввел в 1768 году Д’Аламбер, энциклопедист, великий математик и, между прочим, иностранный почетный член Петербургской академии наук (с 1764 года). Ему же приписывают изобретение стратегии игры с изменением величины ставки (в частности) в казино, но это, пожалуй, уже от избытка уважения. Вообще, игры такого рода, предполагающие те или иные математические задачи — с парадоксом, когда реальность и теория вступают в противоречие, с легкой руки Д’Аламбера стали называть в литературе «петербургскими». Знаменитый математик Эмиль Борель, рассматривая «игру на квит», условия которой могут привести к петербургскому парадоксу, между делом замечает: «Такую игру естественно тоже назвать петербургской». Глава в его книге «Вероятность и достоверность» так и называется: «Заметка о петербургской игре на квит».

Можно подумать, Петербург — Монте-Карло.

Нет, действительно, математикам известен «метод Монте-Карло». Но с Монте-Карло все ясно. А Петербург?