Одним из самых важных инструментов критического мышления относительно цифр стала возможность позволить себе давать неправильные ответы на математические вопросы, которые попадаются вам в жизни. Нарочито неправильные! Инженеры и ученые всегда так делают, и нет причин, по которым мы не должны использовать их небольшой секрет – искусство приближенной оценки и расчетов «навскидку». Преднамеренно неверные ответы могут дать общее представление о правильном, что, в свою очередь, поможет принять решение за более короткий срок. Как писал британский писатель Саки, «небольшая неточность избавляет от целых тонн объяснений».

Более десяти лет в Google на собеседованиях с соискателями кандидатам задавали вопросы, не имеющие точного ответа[866]. Google – это компания, которая должна предоставить пользователям шанс делать что-то доселе невозможное, поэтому ее существование зависит от инноваций, изобретения новых подходов, совершенствования идей и технологий. Давайте сравним это с тем, как проводит собеседования большинство компаний. Когда интервьюеры спрашивают про навыки кандидата, компания обычно хочет выяснить, действительно ли будущий сотрудник умеет делать то, что нужно ей.

Для повара ресторана такими необходимыми навыками будут измельчение овощей или приготовление бульона. В бухгалтерской компании сотрудник должен знать, как рассчитывать налоги и заполнять соответствующие формы. В отличие от этого, Google не в курсе, какие навыки нужны его новым сотрудникам. И в интервью они пытаются выяснить: сможет ли претендент разложить задачу по полочкам и предложить возможное решение? Выпускники, которые в университете специализировались на технических и точных науках – информатике, электротехнике, экономике или коммерции, – умеют применять полученные знания, способны искать нужную информацию. Но относительно немногие могут эффективно мыслить и рассуждать за себя.

Представьте, что вопрос «Сколько весит Эмпайр-стейт-билдинг?»[867] был на самом деле задан на собеседовании в Google.

Правильного ответа на этот вопрос нет, никто его не знает. Слишком много переменных, в избытке неизвестных, так что задача непосильная. Однако Google не важно, что ответит соискатель; компанию интересует, как потенциальный сотрудник будет решать эту задачу. Они хотят увидеть разумный, рациональный подход к проблеме. То, в каком ключе соискатель будет размышлять, поможет им понять, как работает его мозг, насколько хорошо организован его мыслительный процесс.

Есть четыре распространенные реакции соискателей на эту задачу. Некоторые просто поднимают руки и говорят: «Ее решить невозможно». Кто-то пытается загуглить ответ. Сейчас-то ответ на этот вопрос есть в интернете (задача стало довольно известной среди тех, кто вращается в компьютерной индустрии). Но Google хочет нанимать сотрудников, умеющих отвечать на вопросы, на которые ранее не был дан ответ, – именно на те, что требуют склонности к методическому мышлению. К счастью, этому можно научиться, оно не за пределами досягаемости. Дьёрдь Пойа в своей известной книге «Как решать задачу»[868] показал, как обычный человек, без специальной математической подготовки, может научиться решать сложные задачи, в том числе сумасшедшие и непознаваемые, типа описанной выше.

Третья реакция? Запрос дополнительной информации. Когда вы говорите «вес Эмпайр-стейт-билдинг», вы имеете в виду с мебелью или без? Со всеми светильниками внутри или без? С людьми или без? Но такие вопросы – уход в сторону от ответа. Они не приближают к решению задачи, вы только откладываете начало решения и вскоре вернетесь туда, откуда стартовали, и будете спрашивать себя, каким же непостижимым образом можно справиться с этой проблемой.

Четвертая реакция – та, которая нужна. Это приближенная оценка. Тип задач, к которому принадлежит и наша, называется задачами оценки, или (в честь физика Энрико Ферми) задачами Ферми. Физик был известен тем, что мог давать ответы на вопросы, кажущиеся неразрешимыми, имея мало информации или не имея совсем. Примеры задач Ферми: «Сколько баскетбольных мячей может поместиться в автобус?», «Сколько банок арахисового масла производства Reese понадобилось бы, чтобы опоясать ими земной шар по экватору?», «Сколько настройщиков фортепиано живет в Чикаго?» Поиск приближения включает в себя систематическое выдвижение обоснованных гипотез. Задачу разбивают на более мелкие (и поэтому более решаемые) части, выясняют, как можно их одолеть, а затем, используя общие знания, заполняют недостающие места в картине. Как бы вы ответили на вопрос «Сколько настройщиков фортепиано живет в Чикаго?» Google важно увидеть, как люди понимают задачу – и насколько последовательно отделяют знакомую информацию от неизвестной. Помните: нельзя просто позвонить в Чикагский союз настройщиков фортепьяно и спросить, каково их количество; нужно работать над задачей, исходя из известных фактов (или обоснованных предположений), которые у вас есть. Разделение проблемы на более решаемые задания – веселая часть. С чего начать? Как и во многих задачах Ферми, полезно оценить промежуточную величину, которая поможет дойти до финального ответа, а потом уже прикидывать ту, которую от вас требуют. В нашем случае было легче начать с количества пианино, которые предположительно есть в Чикаго. Затем выяснить, сколько специалистов потребуется для их настройки.

В любой задаче Ферми мы сначала выясняем, что надо знать для решения задачи, а затем делаем предположения относительно значений этих величин. Чтобы решить вопрос с настройщиками, можно начать со следующего анализа:

1. Как часто фортепиано требуют настройки (сколько раз в год нужно настраивать конкретный инструмент)?

2. Сколько времени требуется для настройки?

3. Сколько часов в год обычно отрабатывает среднестатистический настройщик?

4. Сколько в Чикаго фортепиано?

Знание этого поможет получить ответ. Если вы в курсе, как часто настраиваются фортепиано и сколько времени требуется для этого, вы также будете знать, сколько часов в год обычно уходит на работу с одним инструментом. Затем нужно умножить это значение на количество фортепиано в Чикаго, чтобы узнать, сколько часов тратится каждый год на их настройку. Полученное значение разделить на количество часов работы одного настройщика, и вы получите ответ – количество настройщиков фортепиано в Чикаго.

Предположение 1: среднестатистический обладатель инструмента настраивает его один раз в год. Откуда взялось это число? Да я его придумал! Но это именно то, что нужно делать, когда вы ищете приближения. Численный порядок реального числа настроек близок к единице: фортепиано обычно не настраивают ни раз в десять лет, ни десять раз за год. Некоторые владельцы делают это четыре раза в год, некоторые ни разу, но догадка «раз в год» кажется довольно вразумительной.

Предположение 2: для настройки требуется 2 часа. Это догадка. Может быть, это обычно занимает час, но 2 – в разумном диапазоне значений и поэтому нас устраивает.

Предположение 3: сколько часов в год работает средний настройщик? Предположим, 40 часов в неделю и берет 2 недели отпуска каждый год. 40 часов в неделю умножить на 50 недель – это 2000 часов работы в год. Настройщики обычно ходят на работу: люди не приносят свои фортепиано к ним, поэтому мастер может потратить 10–20 % своего времени, чтобы добраться из дома к клиентам. Надо это иметь в виду и не забыть отнять, когда мы будем давать ответ в конце.

Предположение 4: чтобы прикинуть, сколько фортепиано в Чикаго, мы можем сказать, что они, возможно, есть у одного из ста человек. Снова дикая догадка, но в рамках верного диапазона. Кроме того, есть музыкальные школы и другие заведения, где стоят эти инструменты – часто даже по несколько. В музыкальных школах может быть до 30 фортепиано. Есть еще дома престарелых, бары и так далее. Эту оценку сложнее основать на фактах, но предположим, что, если все «общественные» фортепиано включить в оценку, получится в среднем по 2 на 100 человек.

Теперь давайте проанализируем количество людей в Чикаго. Если вы не знаете, сколько их на самом деле, то, может быть, в курсе, что Чикаго – третий по величине город в США после Нью-Йорка (8 миллионов жителей) и Лос-Анджелеса (4 миллиона). Можно прикинуть, что в Чикаго живут примерно 2,5 миллиона. Это значит, что у 25 000 человек есть фортепиано. Но мы решили считать и «общественные» инструменты, поэтому удвоим значение: получается 50 000.

Итак, вот что у нас вышло:

1. В Чикаго проживают 2,5 миллиона человек.

2. У 1 из 100 есть фортепиано.

3. На каждые 100 человек есть 1 «общественное» фортепиано.

4. Для усреднения скажем, что на каждые 100 человек приходится 2 фортепиано.

5. В Чикаго всего 50 000 фортепиано.

6. Каждое настраивается раз в год.

7. Для настройки требуется 2 часа.

8. Настройщики работают 2000 часов в год.

9. В течение года мастер может настраивать 1000 фортепиано (2000 часов в год – по 2 часа на каждое).

10. Для настройки 50 000 фортепиано потребуется 50 специалистов (50 000 фортепиано – по 1000 на каждого).

11. Добавим 15 % к этому значению, чтобы учесть время поездки, о котором мы говорили. Мы получим, что в Чикаго около 58 настройщиков.

А сколько их на самом деле? «Желтые страницы» говорят, что их 83. Но в этой оценке есть избыточность: некоторые настройщики были посчитаны дважды (компании, у которых более одного телефонного номера, записаны в справочнике дважды). В категорию также внесены специалисты по механике органов и фортепиано, и они не обязательно настройщики. Вычтем 25 из 83, чтобы учесть уточнения. Оценка 58, по-видимому, очень близка к истине. Даже если не вычитать, значение, полученное нами, и значение, указанное в «Желтых страницах», – числа одного порядка (мы получили не 6 и не 600).

Вернемся к собеседованию в Google и к вопросу о весе Эмпайр-стейт-билдинг. Если бы вы были претендентом, представитель компании попросил бы вас поразмышлять вслух о каждом шаге вашего решения. Существует бесконечное количество способов подхода к этой задаче. Но чтобы дать вам представление, как это сделал бы человек со светлой головой, мыслящий творчески и упорядоченно, приведем одно из возможных. И запомните, полученный результат не так важен, как сам процесс, набор предположений и оценок.

Итак. Можно начать с оценки размера здания, а затем, зная это, оценить его вес.

Начну с некоторых предположений. Я собираюсь рассчитать вес пустого здания – без людей, мебели, приборов или светильников. Предположу, что у здания квадратный фундамент и прямые стены, без сужения кверху. Так проще для расчетов.

Чтобы узнать размер, мне нужно знать высоту, длину и ширину. Я не знаю высоты Эмпайр-стейт-билдинг, но в курсе, что она точно больше 20 этажей и, вероятно, меньше 200. Мне неизвестна высота этажа, но, судя по другим офисным зданиям, в которых я бывал, она должна быть не менее 2,5 м. Обычно в офисах за подвесными потолками скрывают проводку, трубы и теплотрассы: пусть расстояние между потолком и навесным потолком где-то 60 см. И я буду считать, что высота одного этажа колеблется в районе 3–4,5 м. Теперь надо уточнить параметры этажности: у здания, вероятно, более 50 этажей. Я много раз бывал в зданиях высотой 30–35 этажей. И исходя из моего опыта, в Эмпайр-стейт-билдинг от 50 до 100 этажей; 50 этажей – это 150–230 м в высоту (3–4,5 м на этаж), а 100 этажей – это 300–450 м в высоту. И поэтому моя оценка высоты будет в районе от 150 до 450 м. Чтобы сделать расчеты проще, возьму среднее значение, 300 м.

Теперь площадь фундамента. Не знаю, насколько он велик, но не больше, чем площадь среднего городского квартала. Я как-то узнал (и до сих пор помню), что обычно 10 кварталов занимают милю. Миля – это 1609 м. Один квартал займет одну десятую мили, или 160,9 м, для простоты расчетов округляем до 150 м. Далее предположу, что Эмпайр-стейт-билдинг по площади скорее соответствует половине квартала, а не целому, то есть его длина и ширина будут в районе 80,5 м. Если здание квадратное, его площадь составит 80,5×80,5 м. Я не могу это посчитать в уме, но могу умножить 80 на 80 (8 × 8 = 64, добавить два нуля, итого – 6400 м²). Округлю до 6000, и это упростит дальнейшую работу.

Теперь мы знаем размер. Есть несколько вариантов дальнейших действий. Все они опираются на предположение, что большая часть этого дома пуста, другими словами, здание полое. Вес в основном приходится на стены, полы и потолки. Я полагаю, что стены изготовлены из стали, а полы – из некоторой комбинации стали и бетона. Не уверен в правильности, но могу точно сказать, что стены и полы не деревянные.

Объем здания – это его площадь, помноженная на высоту. Выше мы посчитали, что фундамент составляет 6000 м², а высота – 300 м. Итак, 6000 м² × 300 м = 1 800 000 м³. Без учета того, что здание кверху сужается.

Я мог бы оценить толщину стен и полов, выяснить, сколько весит кубический метр каждого из использованных материалов, и прикинуть, сколько весит один этаж. Иначе могу определить ограничительные условия: здание весит больше, чем в том случае, если такой же объем был бы заполнен воздухом, и меньше, чем если бы он был заполнен сталью (потому что мы говорим о пустом доме). Первый подход – это, кажется, куча работы, а последний нельзя назвать удовлетворительным, так как он включает очень разные и далекие друг от друга оценки. Вот гибридный метод: предположу, что на любом этаже 95 % объема занимает воздух, а 5 % – сталь. Я только что это придумал, но, наверное, где-то так и есть. Если ширина пола около 80 м, то 5 % от 80 – примерно 4 м. Значит, несущие и не несущие стены вместе где-то 4 м. Я знаю, что это число в нужном диапазоне: все стены не могут составлять только 0,4 м (это было бы слишком мало) или 40 м (слишком много).

Каким-то образом я помню со школы, что кубический метр воздуха весит 1,29 кг. Округлю это значение до 1,5. Очевидно, что здание не состоит из воздуха, но его много – практически все внутреннее пространство. Таким образом, можно установить минимальную границу веса. Объем, умноженный на вес воздуха, дает оценку 1 800 000 м³ × 1,5 кг = 2 700 000 кг.

Я не знаю, сколько весит кубический метр стали. Но могу как-то прикинуть, сравнивая с другими материалами. Думаю, кубометр стали должен весить больше кубометра дерева. Не знаю, сколько весит последний, но помню, что, когда я носил стружку, десятилитровое ведро весило по ощущениям больше пятикилограммового мешка сахара. Дерево легче воды, 10 литров которой весят 10 кг. Пусть древесная стружка будет посередине – 7,5 кг ведро, то есть 750 кг кубометр[869]. А сталь примерно в десять раз тяжелее[870]. Если бы весь Эмпайр-стейт-билдинг был стальным, он весил бы 1 800 000 м³ × 7500 кг = 13 500 000 000 кг.

Это дает мне два ограничивающих условия. Первое: 2 700 000 кг, если бы здание состояло только из воздуха, и 13 500 000 000 кг, если бы весь объем здания был залит сталью. Но, как я уже писал, буду руководствоваться соотношением 5 % стали и 95 % воздуха.

5 % от 13 500 000 000 кг = 675 000 000 кг

95 % от 2 700 000 кг = 2 565 000 кг

675 000 000 кг + 2 565 000 кг = 677 565 000 кг,

или, если перевести в тонны и округлить, примерно 700 000 тонн.

Наш гипотетический соискатель изложил свои предположения на каждом этапе, определил ограничивающие условия и пришел к точечной оценке – 700 000 тонн. Неплохо выполнено!

Иной кандидат может подойти к проблеме гораздо более экономно. Используя то же предположение о размере здания и о том, что оно пустое, придумать более короткую процедуру вычисления массы.

Небоскребы обычно строят из стали. Представьте, что Эмпайр-стейт-билдинг доверху наполнен автомобилями. В них тоже много воздуха, они также из стали, и мы можем использовать их для приближенной оценки. Я знаю, что средний автомобиль весит около 2 тонн, в длину он 4,5 м, 1,5 м в ширину и 1,5 м в высоту. Площадь этажей, как оценивалось выше, около 80×80 м. Если бы я складывал машины в ряд на полу, мог бы получить 80: 4,5 = 18 машин в одном ряду (округляю до 20). Сколько рядов поместится на этаже? Ширина автомобилей около 1,5 м, а здания – 80 м, поэтому 80: 1,5 = 53, округляю до 50. 20 авто × 50 рядов = 1000 машин на каждом этаже. Высота каждого этажа – 3 м, а высота автомобилей – 1,5 м. То есть я могу вместить два «слоя» машин до потолка. 2 × 1000 = 2000 машин на этаж. И 2000 автомобилей на этаж × 100 этажей = 200 000 автомобилей. Теперь узнаем вес: 200 000 автомобилей × 2 тонны = 400 000 тонн.

Эти два метода дали относительно близкие оценки. Одно значение отличается от другого примерно в два раза. Таким образом, мы проверили себя на здравомыслие и решили, что все в порядке. Первым методом получили почти миллион тонн, вторым – около полумиллиона тонн. Поскольку эта задача стала довольно известной (и ее часто «гуглили»), министерство транспорта штата Нью-Йорк решило дать свою оценку. Она составила 365 000 тонн[871]. Таким образом, получилось, что оба метода привели нас к величине, лежащей в одном диапазоне с официальной оценкой, что и требовалось.

Но ни один из этих методов не дает точной оценки веса здания. Дело не в том, чтобы выдать правильное число, а в том, чтобы придумать линию рассуждений, алгоритм для решения задачи. Большая часть того, что мы преподаем аспирантам на факультете информатики, – как придумывать алгоритмы для решения задач, которые никогда не решались раньше. Какой емкости должна быть магистральная телефонная линия, протянутая в город? Сколько пассажиров будут пользоваться строящейся станцией метро? Какой объем воды зальет квартал в случае наводнения и сколько времени потребуется, чтобы вода впиталась в землю? Никто еще не отвечал конкретно на эти вопросы, но с помощью приблизительной оценки можно получить ответ, имеющий неплохое практическое применение.

Президент известной компании из списка Fortune 500 предложил следующее решение нашей задачи. Несмотря на то что оно не строго соответствует «правилам игры», тем не менее оно очень интересное:

«Я бы нашел компанию или компании, которые финансировали строительство Эмпайр-стейт-билдинг, и попросил посмотреть смету поставок – список всех материалов, которые были привезены на строительную площадку. Можно предположить, что отходы составляют 10–15 %, и исходя из этого оценить вес здания по материалам, использованным при возведении здания. На самом деле еще точнее было бы следующее. Каждый грузовик, который ездит по автобану, обычно взвешивается, потому что транспортные компании платят соответствующий этому весу налог за использование дорог. Можно таким образом узнать вес грузовиков и получить всю необходимую информацию “не отходя от кассы”. Вес здания – это вес всех материалов, привезенных для его постройки»[872].

Бывают ли вообще такие ситуации, в которых необходимо знать вес Эмпайр-стейт-билдинг? Да, например, если вы хотите провести линию метро, проходящую под ним, то нужно знать его массу, чтобы правильно сконструировать опоры. Если хотите установить тяжелую антенну на крыше здания, нужно знать его общий вес, чтобы рассчитать, выдержит ли фундамент дополнительную нагрузку. Но практические соображения – это пустяки. В мире, где постоянно увеличивается объем знаний, появляется невообразимое количество данных и стремителен технологический прогресс, архитекторам новых технологий нужно знать, как решать сложные проблемы, разбивать их на более мелкие части. Задачка с Эмпайр-стейт-билдинг показывает, как работает голова творческого и технически ориентированного человека. И метод ее решения, вероятно, лучше, чем оценки в школе или баллы по IQ-тесту, прогнозирует успех в той работе, которая нужна Google.

Подобные так называемые задачи «навскидку», не требующие сложных расчетов, – только один из способов оценить творческие способности. Еще один тест, который измеряет как творческий подход, так и гибкость мышления, не полагаясь на математические навыки, – тот, где нужно назвать как можно больше применений предмета. Например, сколько функций вы можете придумать для метлы? Лимона? Это навыки, которые несложно развивать уже с раннего возраста. Большинство профессий сейчас требуют определенной степени развития творческих способностей и гибкости мышления. На вступительных экзаменах в школу пилотов коммерческих авиалиний использовался именно такой тест – «Назовите как можно больше применений», потому что пилотам необходимо быстро реагировать в чрезвычайной ситуации, уметь придумывать альтернативные подходы, когда система дает сбой. Как бы вы справились с пожаром в автомобиле при неработающем огнетушителе? Как будете контролировать лифты, если гидравлическая система выйдет из строя? Тренировки такого типа мышления подразумевают использование свободных ассоциаций при решении задач. В мозге включается режим фантазирования. И нужно, чтобы у пилотов такие свободные ассоциации возникали моментально.

Писатель Диана Акерман в своей книге «Сто имен любви» описывает, как они с мужем Полом играли в подобное[873]:

«Что ты можешь делать с карандашом, кроме как писать им?

Я начала. “Играть на барабанах. Дирижировать оркестром. Заколдовывать кого-то. Сматывать пряжу. Использовать как стрелку компаса. Играть в бирюльки. Опереться на него бровью. Закрепить шаль. Закрепить пучок волос. Вставить вместо мачты на игрушечном корабле. Играть в дротики. Сделать солнечные часы. Вращать на кремне, чтобы высечь огонь. Соединить с ремешком и сделать рогатку. Зажечь и использовать в качестве фитиля. Проверить глубину масла. Почистить трубу. Перемешать краску. Писать на говорящей доске «Уиджа»[874]. Выкопать ров в песке. Раскатать тесто для пиццы. Собрать вместе шарики разлитой ртути. Использовать в качестве оси для вращения других предметов. Чистить окно. Сделать жердочку для попугая… Передаю тебе эстафетную палочку – переход хода!”

“Использовать в качестве лонжерона в модели самолета, – продолжал Пол, – измерять расстояния. Проколоть воздушный шар. Использовать как флагшток. Свернуть галстук. Набить порохом небольшой мушкет. Разламывать конфеты, чтобы увидеть содержимое. Раскрошить графит и использовать как яд”».

Этот тип мышления можно преподавать и тренировать. Детей с пяти лет легко учить развивать его, поскольку этот навык становится все более важным для жизни в мире, где тон задают технологии и вопросы, на которые никто еще не давал ответа. И нет правильных решений, есть возможности проявлять изобретательность, находить новые зависимости и позволять себе придумывать причудливые вещи и экспериментировать, чтобы это стало нормальной и привычной частью мышления. Так мы сможем лучше решать задачи.

Важно сформировать у наших детей навык постоянно учиться, быть любопытными и любознательными. Не менее важно дать им ощущение того, что размышления могут быть игрой. Это не просто серьезные вещи, думать бывает весело. И это значит, что детям надо разрешить делать ошибки, позволить изучать и прорабатывать новые идеи и мысли, выходящие за рамки обычного. Оригинальное мышление становится все более необходимым для решения наиболее грандиозных задач, стоящих сегодня перед человечеством. Дирижер Бостонской филармонии Бенджамин Зандер, поучая молодых музыкантов, говорит, что самокритика – враг творчества: «Если вы ошибетесь, скажите себе: о, как интересно! Ошибка – это возможность чему-то научиться!»[875]