В ходе изучения электростатики мы нашли, что электрическое поле известного распределения зарядов может быть получено сразу в виде интеграла [уравнение (4.16)]
Как мы видели, вычислить этот интеграл (а их на самом деле три, по одному на каждую компоненту) обычно бывает труднее, чем вычислить интеграл для потенциала и взять от него градиент.
Подобный интеграл связывает и магнитное поле с токами. Мы уже имеем интеграл для А [уравнение (14.19)]; мы можем получить интеграл и для В, если возьмем ротор от обеих частей:
А теперь мы должны быть осторожны. Оператор ротора означает взятие производных от А(1), т. е. он действует только на координаты (x1, y1, z1). Можно внести оператор ∇× под интеграл, если помнить, что он действует только на переменные со значком 1, которые появляются, конечно, только в
Мы получаем для x-компоненты В:
(14.41)
Величина в скобках есть просто x-компонента от
Такие же результаты получаются и для других компонент, и мы имеем
(14.42)
Интеграл дает В сразу через известные токи. Геометрия здесь точно такая же, какая изображена на фиг. 14.2.
Если токи текут только по тонким проводам, мы можем, как в предыдущем параграфе, немедленно взять интеграл поперек провода, заменив jdV на Ids, где ds — элемент длины провода. Тогда, пользуясь обозначениями фиг. 14.10, имеем
(14.43)
(Знак минус появляется потому, что мы изменили порядок векторного произведения.) Это уравнение для В называется законом Био — Савара в честь открывших его ученых. Он дает формулу для прямого вычисления магнитного поля, создаваемого проводами с током.
Вероятно, вы удивились: «Какой же прок от векторного потенциала, если мы можем сразу найти В в виде векторного интеграла? В конце концов А тоже определяется тремя интегралами!» Из-за векторного произведения интегралы для В обычно сложнее устроены, как это видно из уравнения (14.41). Кроме того, поскольку интегралы для А похожи на электростатические, то нам не надо их вычислять заново. Наконец, мы увидим, что в более трудных теоретических вопросах, таких, как теория относительности, в современном изложении законов механики, вроде принципа наименьшего действия, о котором будет рассказано позже, в квантовой механике, векторный потенциал играет важную роль.