Для сравнения, те же 24 итерации по этой формуле дают число Пи со следующей точностью:

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249.

Если сделать 100 итераций и вычислить 1000 знаков Пи, то можно увидеть так называемую “точку Фейнмана”:

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420207

Это последовательность “999999”, находящаяся на 762м знаке от начала. Желающие могут поэкспериментировать дальше самостоятельно с помощью программы на языке Python:

from math import factorial

from decimal import *

def chudnovsky(n):

pi = Decimal(0)

k = 0

while k < n:

pi += (Decimal(-1)**k) * (Decimal(factorial(6*k)) /

((factorial(k)**3) * (factorial(3*k)))*

(13591409 + 545140134*k)/(640320**(3*k)))

k += 1

print("Шаг: {} из {}".format(k, n))

pi = pi * Decimal(10005).sqrt()/4270934400

pi = pi**(-1)

return pi

# Требуемая точность (число знаков)

N = 1000

getcontext().prec = N

val = chudnovsky(N/14)

print(val)

Эта программа не оптимизирована, и работает довольно-таки медленно, но для ознакомления с сутью алгоритма этого вполне достаточно. Кстати, с помощью формулы Чудновского два инженера Александр Йи и Сингеру Кондо в 2010 году объявили о новом мировом рекорде вычисления Пи на персональном компьютере: 5 трлн знаков после запятой. Компьютеру с 12 ядрами, 97Гб памяти и 19 жесткими дисками потребовалось 60 дней для выполнения расчетов.

На этом мы закончим с числом Пи, хотя с ним конечно, связано куда больше интересных фактов. Например 3 марта (т.е. 03.14) отмечается международный “день числа Пи”, ну а другие факты читатели могут поискать самостоятельно.

4. Вычисление радиуса Земли

О том, что Земля круглая сегодня знает каждый школьник, и никого не удивить таким видом планеты из космоса.

Однако в историческом плане, увидеть планету свысока мы смогли совсем-совсем недавно. Как же мог греческий ученый Эратосфен измерить радиус Земли, в 240 году до нашей эры? Оказывается мог, используя 2 научных “инструмента” - транспортир и верблюда, ну и разумеется, математику.

Эратосфен жил в Александрии - крупнейшем городе того времени, центром науки и искусств древнего мира. В Александрии по преданию, находился маяк высотой 120 метров - даже сегодня такое сооружение не просто построить, а в то время маяк считался одним из 7 чудес света. Эратосфен же был не только ученым, но и хранителем Александрийской библиотеки, содержащей до 700000 книг.

Читая труды по географии, Эратосфен нашел интересный факт - в городе Сиене в день летнего солнцестояния Солнце стоит так высоко, что предметы в полдень не отбрасывают тени. Другой может и не обратил бы на это внимание, но Эратосфен не зря интересовался и математикой и астрономией. Он знал что в его городе Александрии тень в этот же день имеет другой угол. Эратосфен дождался солнцестояния, измерил угол солнечных лучей и получил величину 7,2 градуса.

Что это значит? Объяснение данному факту могло быть только одно - Земля круглая, и угол падения солнечных лучей в разных точках Земли в одно время различается.

Картинка с сайта physicsforme.com

Дальше, как говорится, дело техники. Зная примерное расстояние между Сиеном и Александрией (которое было известно из времени в пути каравана верблюдов) и угол, легко получить длину всей окружности. К чести Эратосфена, его результат отличается от сегодняшнего всего лишь на 1%. Так, задолго до эпохи авиации и воздухоплавания, человек впервые смог измерить радиус планеты, даже при этом не отрываясь от нее. Увидеть настоящую кривизну Земли сумели лишь пилоты стратостатов в начале 20 века, более чем через 2000 лет после описанного опыта.

Разумеется, повторить подобный эксперимент сегодня легко может любой школьник. Нужно лишь сделать простейший угломер из транспортира и отвеса, и с помощью знакомых в другом городе, сделать измерения высоты Солнца в двух точках в одно и то же время.

Может ли Земля быть плоской?

Как ни странно об этом писать в 21 веке, но оказывается, до сих пор есть люди, верящие в плоскую Землю. По их мнению, Земля плоская, а Солнце и Луна вращаются вокруг северного полюса, как показано на рисунке.

Вероятно, это началось как чья-то шутка, но к сожалению, немало людей, которые не очень дружили в школе с физикой и математикой, приняли все за чистую монету. Есть даже общество Flat Earth Society, члены которого всерьез уверены в “теории заговора”, и в том что все вокруг их обманывают, в том числе и NASA. Может ли такое быть? Попробуем разобраться.

1) Действительно, человек слишком мал по сравнению с Земным шаром, и “на глаз” увидеть кривизну Земли невозможно. Но это вовсе не является доказательством “плоскости” Земли - просто радиус Земли для человека слишком велик, чтобы его увидеть. Геометрически это легко вычислить.

Как известно, дистанция видимого горизонта для человека - около 5км, а радиус Земли примерно 6000км (6000000м). По теореме Пифагора (см.картинку ниже), при R=6000000 и d=5000, длина гипотенузы R+h = 6000.002.08м, т.е. прирост высоты h по сравнению с плоскостью - всего лишь 2м. Угол вершины треугольника со сторонами 5000м и 2м, составит всего лишь 0.022°, это величина которую “на глаз” невозможно заметить.

В то же время, 2 метра - эта величина которую разумеется, можно измерить. Это демонстрировали, в частности, на канале Discovery Science, направив луч лазера параллельно поверхности воды. На катере было отчетливо видно, что пятно от луча при удалении поднялось вверх, что и должно быть в теории.

Основная сложность такого опыта - обеспечение параллельности луча Земле с точностью до сотых градуса, что в домашних условиях повторить сложно. Именно поэтому в youtube были опубликованы разные “опровержения” - очевидно, что направив луч не параллельно, можно получить любые результаты.

И наконец, в их втором тесте, взлетающий с другого берега озера вертолет, наблюдался в телескоп, и действительно появлялся “из под” поверхности озера.

Ну и наконец, даже не имея лазера и вертолета, можно увидеть данный эффект с помощью бинокля, смотря на удаляющийся корабль на берегу моря.

Скриншот с youtube показывает тот же эффект:

Впрочем, об этом эффекте знали и древние греки, а вот некоторые современные люди, увы, забыли.

Кстати, формула дальности горизонта активно используется связистами, т.к. УКВ-радиоволны распространяются только в прямой видимости. Именно поэтому дальность приема FM станций относительно невелика, и составляет порядка 50км.

2) Очевидно, что гипотеза висящего в космосе “блина”, над центром которого вращается Солнце, не выдерживает никакой критики с точки зрения всех законов физики - такая система в принципе не может быть устойчивой, “солнце” тут же упало бы на “землю”, а куски “земли” в итоге, под действием сил тяготения собрались бы в итоге вместе, и образовали бы - что? Правильно, шар.

3) Как увидел еще Галилей, планеты и их спутники подчиняются законам небесной механики. Некоторые могут считать, что NASA фальсифицирует результаты, но посмотреть на небо может любой желающий.

Данный снимок Юпитера сделан в телескоп автором с балкона:

На нем четко видно шар Юпитера и вращающиеся вокруг него спутники. Если выбрать удачное время, можно увидеть и прохождение тени спутника по поверхности планеты. Если подождать некоторое время, то можно увидеть и вращение самого Юпитера, он вращается весьма быстро.

Так что, к сожалению для любителей плоской Земли, плоских дискообразных планет в небе не наблюдается, проверить это с телескопом может любой желающий. Считать что все планеты таки круглые, а только Земля плоская - это противоречило бы и логике и здравому смыслу.

4) Приверженцы теории верят, что NASA фальсифицирует снимки Земли из космоса. Однако увидеть их тоже может любой желающий - достаточно RTL-SDR приемника ценой 20$ и самодельной антенны, чтобы принять сигналы метеоспутников NOAA. Они постоянно передаются со спутников в открытом виде на частоте 137МГц, и услышать их может любой желающий, с помощью обычной рации и программы Orbitron (программа нужна чтобы узнать точное время пролета спутника). Подключив приемник к компьютеру, можно декодировать сигнал и получить изображение, передаваемое спутником в данный момент:

5) Запустить ракету в космос действительно сложно и дорого. Однако обычный метеозонд можно приобрести на ebay за 20-30$, что позволит запустить фотокамеру с GPS-трекером на высоту 20-25км. Этот опыт вполне доступен, и его делали даже школьники. На такой высоте шарообразность Земли уже не вызывает сомнений.

Таким образом, благодаря математике, геометрии и здравому смыслу, мы таки можем убедиться что Земля не может быть плоской - даже несмотря на то, что мы не видим этого невооруженным глазом.

Кстати, как подсказывает гугл, кривизну Земли все-таки наблюдали невооруженным глазом альпинисты, находящиеся в горах Перу на высоте 6000м. Для этого им пришлось натянуть ровную нить, чтобы сравнить ее с изгибом горизонта, все-таки изгиб на такой высоте еще весьма мал.

5. Простые числа

Каждый знает, что простые числа — такие числа, которые делятся только на единицу и самих себя. Но так ли они просты, как кажутся, и актуальны ли сегодня? Попробуем разобраться.

То, что существуют числа, которые не делятся ни на какое другое число, люди знали еще в древности. Последовательность простых чисел имеет следующий вид:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 …

Доказательство того, что этих чисел бесконечно много, дал еще Евклид, живший в 300 г до н.э. Примерно в те же годы уже известный нам греческий математик Эратосфен, придумал довольно-таки простой алгоритм получения простых чисел, суть которого была в последовательном вычеркивании чисел из таблицы. Те оставшиеся числа, которые ни на что не делились, и были простыми. Алгоритм называется «решето Эратосфена» и за счет своей простоты (в нем нет операций умножения или деления, только сложение) используется в компьютерной технике до сих пор.

Видимо, уже во время Эратосфена стало ясно, что какого-либо четкого критерия, является ли число простым, не существует — это можно проверить лишь экспериментально. Существуют различные способы для упрощения процесса (например, очевидно, что число не должно быть четным), но простой алгоритм проверки не найден до сих пор, и скорее всего найден не будет: чтобы узнать, простое число или нет, надо попытаться разделить его на все меньшие числа.

Это несложно записать в виде программы на языке Python:

import math

def is_prime(n):

if n % 2 == 0 and n > 2:

return False

for i in range(3, int(math.sqrt(n)) + 1, 2):

if n % i == 0:

return False

return True

# Вывод всех простых чисел от 1 до N

N = 100

for p in range(1, N, 2):

if is_prime(p): print(p)

# Вывод результата, является ли заданное число простым

print(is_prime(2147483647))

Желающие могут поэкспериментировать с программой самостоятельно.

Подчиняются ли простые числа каким-либо законам? Да, и они довольно любопытны. Так, например, французский математик Мерсенн еще в 16 веке обнаружил, что много простых чисел имеет вид 2^N — 1, эти числа названы числами Мерсенна. Еще незадолго до этого, в 1588 году, итальянский математик Катальди обнаружил простое число 2¹⁹ — 1 = 524287 (по классификации Мерсенна оно называется M19). Сегодня это число кажется весьма коротким, однако даже сейчас с калькулятором проверка его простоты заняла бы не один день, а для 16 века это было действительно огромной работой. На 200 лет позже математик Эйлер нашел другое простое число 2³¹ — 1 = 2147483647. Необходимый объем вычислений каждый может представить сам. Он же выдвинул гипотезу, названную позже «проблемой Эйлера», или «бинарной проблемой Гольдбаха»: каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Например, можно взять 2 четных числа 123456 и 888777888. С помощью компьютера можно найти их сумму в виде двух простых чисел: 123456 = 61813 + 61643 и 888777888 = 444388979 + 444388909. Точное доказательство этой теоремы не найдено до сих пор, хотя с помощью компьютеров она была проверена до чисел с 18 нулями.