Версия текста 1.10. (с) 2018
Введение
Как сказал еще Галилей, “Книга природы написана на языке математики”, и с этим сложно не согласиться. Математика это универсальный язык науки, это базовые принципы, на которых построена вся Вселенная. 2+2=4 независимо от того, верим мы в это или нет, знаем мы это или нет, существуем мы вообще или нет, и это будет верно не только для нас, но и для жителя Альфы Центавра.
Из этого следует важное правило: математические законы нельзя придумать, их можно только открыть. Треугольник подчинялся теореме Пифагора еще до того, как Пифагор открыл и сформулировал известную теорему. Число Пи было вычислено в древнем Китае, но его значение было таким всегда - еще до того как появился не только Китай, но и наша планета Земля.
Именно поэтому я надеюсь, что кто-то из читателей с помощью этой книги откроет для себя в математике что-то новое. Увы, в представлении большинства, математика - это достаточно скучная наука, вероятно так ее преподают в школе. Если кто-то с помощью этой книги найдет для себя что-то новое, можно считать что время было потрачено не зря.
Эта книга не задачник, а скорее сборник рассказов о тех или иных математических вопросах. Т.к. математические примеры без цифр бессмысленны, “практическая” часть дается на языках программирования Python и Си.
Номер версии в заголовке указан не случайно. Эта книга не закончена, и по мере появления каких-то новых интересных вопросов она будет дополняться. Желающие также могут присылать свои истории или задачи по адресу dmitryelj@gmail.com, наиболее интересные из них будут включены в текст. Обо найденных неточностях также просьба писать на этот адрес.
Книга распространяется бесплатно в электронном виде, в различных форматах (PDF, FB2) ее можно скачать по ссылке https://cloud.mail.ru/public/4SGE/oE2EGEWnp. Там же доступен и архив с примерами программ.
Приятного чтения.
Елисеев Дмитрий
История версий текста
04.2017 - 1.0
09.2017 - 1.1, 1.2 - добавлены главы 19 и 20 про нейронные сети
11.2017 - 1.3, добавлена глава 21 про фракталы
11.2017 - 1.4, дополнена глава 7 про магические квадраты, добавлены главы 22 и 23 про “горн Гавриила” и построение графиков функций, в “Приложения” добавлен пример оптимизации кода на Python.
12.2017 - 1.5, дополнена глава 4 про шарообразность Земли.
01.2018 - 1.6, добавлена глава 24 про точность компьютерных вычислений, глава 25 про календарь, добавлено Приложение 4.
03.2018 - 1.7, добавлена глава 21 про использование библиотеки TensorFlow.
04.2018 - 1.8, добавлена глава 27 про азартные игры.
04.2018 - 1.9, добавлена глава 28 про теорему Пифагора.
10.2018 - 1.10, добавлена глава 29 про abc-гипотезу, дополнена глава про простые числа, дополнена глава о “магических квадратах”, улучшено форматирование кода.
1. Основы языков Python и Си
Математика немыслима без расчетов и примеров вычислений. Примеры в данной книге иллюстрируются фрагментами кода на языке Python. Этот язык удобен тем, что он очень прост и подходит для начинающих, поэтому кратко рассмотрим как им пользоваться.
Для использования языка Python нужно установить интерпретатор языка с сайта https://www.python.org/downloads/ или воспользоваться онлайн-версией, например на странице https://repl.it/languages/python3. Все примеры из книги тестировались на Python версии 2.7.
Для запуска Python-программы необходимо:
- Сохранить файл в Блокноте с любым именем и расширением .py, например test1.py.
- Открыть консоль (нажать Win+R и набрать cmd), в консоли набрать команду (без кавычек) “python путь_к_файлу.py”, например “python C:\PythonApps\test1.py”.
Как более удобный вариант, можно скачать бесплатную среду разработки PyСharm community edition, и редактировать и запускать файлы в ней. Скачать PyСharm можно со страницы https://www.jetbrains.com/pycharm/download/.
Кстати, чтобы запустить короткую программу на Python, ее необязательно сохранять в файл, код можно ввести непосредственно в интерпретатор. Для этого достаточно запустить (Win+R) программу python.exe и просто ввести подряд соответствующие строки:
Для запуска программы на языке Си, ее сначала надо сохранить файле с расширением .c, и выполнить команду “gcc имя_файла.c”. Будет создан exe-файл, который можно запустить. Бесплатный компилятор С/C++ можно установить с помощью утилиты mingw-get, скачать которую можно на странице https://sourceforge.net/projects/mingw/files/. Также можно воспользоваться и любой онлайн-версией c++ компилятора, например этой.
Минимальная программа на Си выглядит так:
#include <stdio.h>
int main()
{
printf("Hello world\n");
return 0;
}
Рассмотрим простые примеры использования.
Объявление и вывод переменных
Python: достаточно ввести имя и значение.
x = 3
y = 10
print("x=", x)
print(x+y)
В отличие от языка С++, тип переменной будет определен автоматически, указывать его не нужно. Его можно при необходимости узнать, введя print (type(x)).
Важно иметь в виду, что синтаксис функции print в версиях Python 2.7 и 3.0 разный. В Python 2.7 можно написать print x, y, но в Python 3.0 такой код вызовет ошибку, нужно использовать круглые скобки и писать print(x, y). Код со скобками будет работать в обеих версиях Python, поэтому в примерах используется именно он.
И еще один момент насчет вывода значений. По умолчанию Python может выдавать ошибку при использовании русских букв, нужно указывать кодировку символов. Чтобы избежать этого и сделать код короче, во многих примерах будут по возможности указываться английские или “международные” аббревиатуры.
Cи: необходимо явно указать тип и значение переменной.
int x = 3;
int y = 10;
printf("x=%d\n", x);
printf("%d\n", x+y);
Циклы
В отличие от того же С++ или Java, циклы в Python задаются отступами, что после других языков программирования может быть непривычным. Часть кода, находящаяся внутри цикла, будет выполнена заданное количество раз.
Python
Вывод чисел от 1 до 9:
for p in range(1,10):
print(p)
Для сравнения, вот такой код без отступов работать не будет, и это важно помнить, например при копировании кода из этой книги:
for p in range(1,10):
print(p)
Вывод чисел от 1 до 9 с шагом 2:
for p in range(1,10,2):
print(p)
Кстати, в Python 2.7 функция range возвращает объект “список”, и соответственно выделяет память заданного размера. Для большинства примеров в книге это не критично, но если нужно написать код типа for p in range(1,10000000), то range следует заменить на xrange, в противном случае программа вполне может занять гигабайт памяти даже на простом с виду цикле. Для Python 3.xx это не требуется.
Си
Вывод чисел от 1 до 9:
for(int i=1; i<10; i++) {
printf("%d\n", i);
}
Вывод чисел от 1 до 9 с шагом 2:
for (int i=1; i < 10; i += 2) {
printf("%d\n", i);
}
Массивы
Массив это линейный набор чисел, с которыми удобно выполнять однотипные операции, например вычисление суммы или среднего арифметического.
Python:
Объявляем массив чисел:
values = [1,2,3,5,10,15,20]
Добавляем элемент в массив:
values.append(7)
Выводим массив на экран:
print(values)
Выводим элементы массива построчно:
for p in values:
print(p)
Это же можно сделать с помощью индексов (нумерация элементов массива начинается с 0):
for i in range(0, len(values)):
print(values[i])
Можно получить и значение и индекс сразу, иногда это удобно.
for i, item in enumerate(mylist):
print(i, item)
Можно создать массив определенного размера, заполненный определенными числами. Создадим массив из 100 элементов, заполненный нулями.
values = [0.0] * 100
print(values)
Есть немного более сложный, но и более гибкий вариант создания массива. Создадим массив из 100 элементов, заполненный нулями:
values = [0.0 for i in range(100)]
Создадим массив, заполненный числами 0,1,..,99:
values = [i for i in range(100)]
Создадим массив, заполненный квадратами чисел:
values = [i*i for i in range(100)]
Создать двухмерный массив в Python также несложно:
matrix4x4 = [ [0,0,0,0], [0,0,0,0], [0,0,0,0], [0,0,0,0]]
matrix4x4[0][0] = 1
print(matrix4x4)
Аналогично вышеописанному способу, можно создать 2х-мерный массив 100x100:
values100x100 = [[0.0 for j in range(100)] for i in range(100)]
Си:
Динамические массивы поддерживаются только в C++, статические массивы создаются так:
int values[7] = {1, 2, 3, 5, 10, 15, 20};
for (int i=0; i < 7; i++) {
printf("%d\n", values[i]);
}
При желании можно слегка схитрить, если максимальный размер массива заранее известен.
int values[255] = {1, 2, 3, 5, 10, 15, 20}, cnt = 7;
for (int i=0; i < cnt; i++) {
printf("%d\n", values[i]);
}
values[cnt] = 7;
cnt++;
Можно пользоваться динамическим распределением памяти, хотя это немного сложнее:
int *valuesArray = (int *)malloc(10 * sizeof(int));
valuesArray[0] = 1;
valuesArray[1] = 3;
valuesArray[2] = 15;
valuesArray = (int *)realloc(valuesArray, 25 * sizeof(int));
valuesArray[20] = 555;
valuesArray[21] = 777;
for (int i=0; i < 25; i++) {
printf("%d\n", valuesArray[i]);
}
free(valuesArray);
Важно заметить, что неинициализированные значения массива, например valuesArray[16], будут содержать “мусор”, некие значения которые были до этого в памяти. Си достаточно низкоуровневый язык, и такие моменты нужно учитывать. Хорошим тоном является инициализация всех переменных при их описании. Вот такой код формально не содержит ошибок:
int x;
printf("x=%d\n", x);
Однако при его запуске выведется значение 4196608, или 0, или 32, результат непредсказуем. В большой программе такие ошибки может быть сложно найти, тем более что проявляться они могут не всегда.
Арифметические операции
Сложение, умножение, деление:
x1 = 3
x2 = (2*x1*x1 + 10*x1 + 7)/x1
Возведение в степень:
x3 = x1**10
print(x1, x2, x3)
Переменную также можно увеличить или уменьшить:
x1 += 1
x1 -= 10
print(x1)
Остаток от деления:
x2 = x1 % 6
print (x2)
Условия в Python кстати, задаются отступами, аналогично циклам:
print (x1)
if x1 % 2 == 0:
print("x1 четное число")
else:
print("x1 нечетное число")
Подсчитаем сумму элементов массива:
values = [1,2,3,5,10,15,20]
s = 0
for p in values:
s += p
print(s)
Этот способ математически корректный, но медленный - лучше для этого можно воспользоваться встроенной функцией sum:
values = [1,2,3,5,10,15,20]
print(sum(values))
В Си вычисление суммы элементов массива выглядит так:
int sum = 0;
for(int i=0; i<cnt; i++) {
sum += values[i];
}
printf("Sum=%d\n", sum);
Для более сложных операций в Python необходимо подключить модуль math. Вычисление квадратного корня:
import math
print(math.sqrt(x3))
Python может делать вычисления с большими числами, что достаточно удобно:
import math
x1 = 12131231321321312312313131124141
print(10*x1)
print(math.sqrt(x1))
Можно вывести даже факториал числа 1024, что не сделает ни один калькулятор:
import math
print(math.factorial(1024))
Пожалуй, этого не хватит чтобы устроиться на работу программистом, но вполне достаточно для понимания большинства примеров в книге.
Используем Jupiter Notebook
Большинство примеров в книге написаны на языке Python. Однако, кроме описанного выше “классического” способа запуска программ, есть другой, весьма популярный сейчас способ - использование “записных книжек”, или notebooks. Такая система работает для языка Python, и называется Jupiter Notebook. Идея состоит в интерактивном редактировании страницы с кодом и текстом, где по сути, программа, больше похожа на текст книги. Это может быть удобно для каких-то экспериментов, где можно пробовать фрагменты кода и сразу видеть результат.