В прошлый раз мы обращались к моему второму большому заголовку, и этот второй большой заголовок был: СУБСТАНЦИЯ, МИР И СОВОЗМОЖНОСТЬ.

В первой части лекции мы пытались говорить о том, что Лейбниц называл бесконечным анализом. И ответ был таков: бесконечный анализ выполняет следующее условие: он возникает в той мере, в какой непрерывность и малые, или исчезающие, различия заменяют тождество.

И вот тогда, когда мы оперируем бесконечностью и исчезающими различиями, анализ становится в собственном смысле бесконечным. Затем я сталкиваюсь со вторым аспектом этого вопроса. Итак, существует бесконечный анализ и существует материя для бесконечного анализа, когда я оказываюсь в области, которая больше непосредственно не управляется тождественным, тождественностью, но в области, управляющейся непрерывностью и исчезающими различиями. И тогда можно прийти к относительно ясному ответу. Отсюда второй аспект проблемы: что такое совозможность? Что означает, что две вещи совозможны или не совозможны? И еще раз: Лейбниц говорит нам, что Адам-негрешник – это само по себе возможно, но это не совозможно с существующим миром. Итак, он притязает на то, что открыл отношения совозможности, и вы чувствуете, что это крепко связано с идеей бесконечного анализа.

Проблема в том, что несовозможное – это не то же, что противоречащее. Это сложно. Адам-негрешник не совозможен с существующим миром; здесь потребовался бы иной мир. Если мы это говорим, я вижу только три возможных решения, чтобы охарактеризовать понятие несовозможности.

Первое решение: мы скажем, что необходимо, чтобы так или иначе несовозможность имела в виду своего рода логическое противоречие. Необходимо, чтобы существовало противоречие между Адамом-негрешником и существующим миром. Одно лишь это противоречие можно выявлять до бесконечности; его можно назвать бесконечным противоречием. Если между кругом и квадратом существует конечное противоречие, то между Адамом-негрешником и миром существует противоречие бесконечное. Некоторые тексты Лейбница имеют в виду это направление. Но опять-таки, все, что мы прежде сказали, имело в виду, что совозможность и несовозможность поистине представляют собой оригинальные отношения, несводимые к тождеству и противоречию. Противоречивое тождество.

Более того, мы видели, что бесконечный анализ, как сказано в нашей первой части, не был анализом, обнаруживавшим тождественное по завершении бесконечного ряда процедур. Все наши результаты, полученные в прошлый раз, были основаны на том, что, отнюдь не обнаруживая тождественное по завершении ряда, у предела бесконечного ряда процедур, и тем самым не пользуясь бесконечным анализом, мы замещали точку зрения тождества точкой зрения непрерывности. Итак, перед нами другая область, нежели область «тождество – противоречие».

А вот другое решение, которое я упомяну очень быстро, так как здесь его подсказывают определенные тексты Лейбница: оно не по силам нашему разуму, так как наш разум конечен, и поэтому хотя совозможность и вводила какие-то оригинальные отношения, но мы не знали, каковы их корни.

Лейбниц вводит для нас новую область: существует не только возможное, необходимое и реальное. Существует еще совозможное и несовозможное. Лейбниц притязал на охват всей сферы бытия.

Вот гипотеза, которую я хотел бы выдвинуть: Лейбниц всегда спешит, он пишет всевозможным адресатам, повсюду; он не публикуется при жизни или публикует очень мало. Лейбниц обладает всей материей, всеми материалами для того, чтобы дать сравнительно точный ответ на эту проблему. Это неизбежно, потому что именно он эту проблему придумал, именно он нашел ее решение. И потом: что способствовало тому, что он осуществил здесь перегруппировку? Я полагаю, что ответ на эту проблему, и одновременно на проблему бесконечного анализа, даст весьма любопытная теория; Лейбниц, наверное, первым ввел ее в философию, и ее можно назвать теорией сингулярностей.

У Лейбница теория сингулярностей «разбросана» повсюду, она везде. Можно даже прочесть какие-нибудь страницы Лейбница, не заметив ее присутствия, – настолько она замаскирована.

Теория сингулярностей, на мой взгляд, имеет у Лейбница два полюса: необходимо сказать, что это математико-психологическая теория. А наша сегодняшняя проблема такова: что такое сингулярность на математическом уровне, и что здесь создал Лейбниц? Верно ли, что он создал первую великую теорию сингулярностей в математике? И второй вопрос: что такое Лейбницева теория психологических сингулярностей?

И последний вопрос: как математико-психологическая теория сингулярностей, та, что намечена у Лейбница, дает нам ответ на вопрос, что такое несовозможное, и, стало быть, на вопрос, что такое бесконечный анализ? Что такое это математическое понятие сингулярности? Почему оно пришло в упадок? В философии всегда такая ситуация: сингулярность указывает на некий момент, а потом ее отбрасывают. Это случай с теорией: у Лейбница было чуть больше, чем эскиз, а потом продолжения не было, шансов не было, она «не пошла». Интересна ли она для нас, чтобы возобновить ее?

Относительно философии я всегда думал две противоречивые вещи: то, что она не требует специального знания, что в этом смысле кто угодно способен к философии, – и в то же время заниматься ею невозможно, если мы не будем чувствительны к известной философской терминологии, а терминологию вы всегда можете создать, но вы не можете создать ее, делая что угодно. Вы должны знать, что такое термины вроде следующих: категория, концепт, идея, априори, апостериори – совершенно так же, как мы не можем заниматься математикой, если нам неизвестно, что такое a, b, xy, переменные, константы, уравнения; вот минимум. Итак, вы можете наделять значением все эти пункты.

«Сингулярное» существует с незапамятных времен в определенном логическом лексиконе. «Сингулярное» есть то, что отличается от универсального и в то же время входит с ним в отношения. Существует и другая пара понятий: частное, соотносящееся с общим. Итак, сингулярное и универсальное друг с другом соотносятся; частное и общее также вступают в отношения. Суждение о сингулярности это не то же самое, что так называемое частное суждение, и это не то же самое, что так называемое общее суждение. Я буду прав, сказав, что в классической логике – формально – сингулярное мыслилось в соотношении с универсальным. Но нельзя сказать, что это понятие тем самым неизбежно исчерпывается: когда математики используют выражение «сингулярность», с чем они его соотносят? Необходимо руководствоваться словами. Существует философская этимология, или же философская филология. «Сингулярное» в математике отличается от «регулярного», или противостоит ему. Сингулярное есть то, что не подчиняется правилу, регулярности.

Есть и еще одна пара понятий, используемых математиками, и это «примечательное» и «обыкновенное». Математики говорят нам, что существуют сингулярности примечательные и сингулярности, которые примечательными не являются. Но для нашего удобства Лейбниц еще не проводит этого различения между сингулярным непримечательным и сингулярным примечательным; Лейбниц использует как эквиваленты «сингулярное», «примечательное» и «заметное». Так что если вы обнаружите у Лейбница слово «заметное», считайте, что здесь необходимо вглядеться, что это не означает «хорошо известное»; Лейбниц увеличивает это слово, наделяя его необычным значением. Когда он заговорит о заметном восприятии, поймите, что он имеет в виду нечто важное. Какой интерес в этом для нас? Дело в том, что математика по отношению к логике уже представляет собой некий поворот. Математическое употребление концепта «сингулярность» ориентирует сингулярность на отношения с обычным, или регулярным, а уже не с универсальным. Нас приглашают отличать то, что является сингулярным, от того, что является обычным, или регулярным. Какой нам от этого интерес? Представьте себе, что кто-то говорит: это не имеет силы для философии, так как теория истины всегда ошибается; относительно мысли мы прежде всего задавались вопросом, что в ней истинного и что ложного; но ведь вы знаете: в мысли идут в счет не истинное и ложное, а сингулярное и обычное. Что в мысли сингулярное, что приметное, что обыкновенное. Ну вот: что обыкновенное? Я думаю о Кьеркегоре, который – гораздо позднее Лейбница – скажет, что философия всегда пренебрегала важностью одной категории и это категория интересного! Может быть, это и неверно, что философия пренебрегала ею; существует по меньшей мере философско-математическое понятие сингулярности, и, может быть, оно скажет нам что-нибудь интересное о концепте интересного.

Важный математический ход состоял в том, что сингулярность больше не мыслилась по отношению к универсальному; дело в том, что она мыслилась по отношению к обыкновенному, или к регулярному. Сингулярное есть то, что выходит за рамки обыкновенного и регулярного. И если мы это скажем, то уже это уведет нас очень далеко, так как если мы это скажем, то превратим сингулярность в философский концепт, даже если мы найдем основания сделать это в такой благоприятной области, как математика. Однако в каком случае математика говорит нам о сингулярном и обыкновенном? Ответ прост: в связи с определенными точками, взятыми на кривой. Необязательно на кривой, но гораздо обобщеннее мы говорим о некоей фигуре, и о фигуре этой можно сказать, что характер ее таков, что она может включать сингулярные точки и другие, регулярные, или обычные. Зачем же нам эта фигура? Затем, что фигура есть нечто детерминированное! И тогда сингулярное и обычное – это часть детерминации: взгляните-ка, как это интересно! Вы видите, что, когда мы ничего не говорим и топчемся на месте, мы продвигаемся далеко вперед. Почему бы не определить детерминацию вообще, сказав, что это – сочетание сингулярного и обычного, и всякая детерминация будет такой!

Я беру очень простую фигуру: квадрат. Вашим законным требованием было бы спросить меня: каковы сингулярные точки квадрата? Существуют четыре сингулярные точки квадрата: это четыре его вершины: a, b, с и d. Мы стремимся определить сингулярность, но остаемся на уровне примеров; мы проводим ребяческие исследования, мы говорим о математике, но не знаем ни слова о ней. Мы знаем как раз то, что у квадрата четыре стороны, а, стало быть, четыре сингулярные точки, его экстремумы. И это как раз маркирующие точки – именно потому, что прямая линия конечна, а другая, с другой ориентацией, начинается под углом в 90° к ней. Чем же тогда будут обычные точки? Это – бесконечное множество точек, которые образуют каждую сторону квадрата, но четыре крайние точки будут называться сингулярными.

Вот вопрос: куб, сколько вы «дадите» ему сингулярных точек? Вижу ваше полное оцепенение! В кубе восемь сингулярных точек. И это то, что в наиболее элементарной геометрии мы сможем назвать сингулярными точками: точки, которые отмечают конец прямой линии. Вы чувствуете, что это только начало. Итак, я противопоставил бы сингулярные точки точкам обычным. Кривая, прямолинейная фигура: может ли быть так, что я мог бы сказать о них, что сингулярные точки с необходимостью образуют их экстремумы? Может быть, нет, однако предположим, что, на первый взгляд, я мог бы сказать что-нибудь подобное. Кривая портит всю ситуацию. Возьмем простейший пример: дугу окружности, по вашему выбору – выпуклую или вогнутую. Внизу я вычерчиваю вторую дугу, выпуклую, если первая вогнутая, и вогнутую, если первая выпуклая. Две дуги встречаются в одной точке. Под ними я вычерчиваю прямую линию, которую называю, в соответствии с природой вещей, ординатой. Я вычерчиваю ординату. Я провожу перпендикуляры. Это пример Лейбница из текста с изысканным названием «Tantanem anagogicum», это небольшое семистраничное сочинение, написанное по-латыни, и заглавие означает «анагогический опыт»{ Существует работа Лейбница «Анагогический опыт исследования причин» – Собр. соч. в 4-тт., т. III.}. Итак, AB имеет две характеристики, это единственный сегмент, проведенный от ординаты, который является уникальным; все остальные, как говорит Лейбниц, имеют двойника, маленького близнеца. На самом деле, xy имеет зеркало, образ в x¹y¹, и вы можете приближаться к AB с разными степенями исчезающих различий: только AB будет единственным, без близнеца. Второй пункт: об AB можно сказать, что это максимум или минимум: максимум по отношению к одной из дуг окружности, минимум по отношению к другой. Уф, вы всё поняли. Я бы сказал, что AB есть сингулярность.

Я ввел простейший пример с кривой: дугу окружности. А вот нечто посложнее: показанное мною состоит в том, что сингулярная точка не обязательно привязана к экстремуму или ограничена им, она вполне может находиться в середине, и в данном случае находится в середине. И это будет то минимум, то максимум, то оба сразу. Отсюда важность исчисления, которое Лейбниц продвинет очень далеко и которое он назовет исчислением максимумов и минимумов; и даже сегодня это исчисление имеет колоссальное значение, например в феноменах симметрии, в физических и оптических явлениях. Итак, я бы сказал, что моя точка A есть сингулярная точка; все остальные точки обычные, или регулярные. Они бывают обычными, или регулярными, двумя способами: дело в том, что они располагаются ниже максимума и выше минимума, и, наконец, у каждой существует двойник. Итак, мы немного уточняем это понятие обычного.

А вот другой случай; вот сингулярность другого случая: возьмите сложную кривую. Что мы назовем ее сингулярностями? Сингулярности сложной кривой – это в простейшем случае соседние точки, а вы знаете, что понятие соседства в математике, которое весьма отличается от понятия смежности, есть ключевое понятие для всей области топологии, и как раз понятие сингулярности способно объяснить нам, что такое соседство, – итак, по соседству с некоей сингулярностью нечто изменяется: кривая возрастает или убывает. Эти точки роста или убывания я и назову сингулярностями. Обычное – это ряд, это то, что находится между двумя сингулярностями; речь идет о соседстве той сингулярности, которая располагается рядом с другой сингулярностью: вот что называется обычным, или регулярным.