Разумеется, повторить подобный эксперимент сегодня легко может любой школьник. Нужно лишь сделать простейший угломер из транспортира и отвеса, и с помощью знакомых в другом городе, сделать измерения высоты Солнца в двух точках в одно и то же время.

Может ли Земля быть плоской?

Как ни странно об этом писать в 21 веке, но оказывается, до сих пор есть люди, верящие в плоскую Землю. По их мнению, Земля плоская, а Солнце и Луна вращаются вокруг северного полюса, как показано на рисунке.

Вероятно, это началось как чья-то шутка, но к сожалению, немало людей, которые не очень дружили в школе с физикой и математикой, приняли все за чистую монету. Есть даже общество Flat Earth Society, члены которого всерьез уверены в “теории заговора”, и в том что все вокруг их обманывают, в том числе и NASA. Может ли такое быть? Попробуем разобраться.

1) Действительно, человек слишком мал по сравнению с Земным шаром, и “на глаз” увидеть кривизну Земли невозможно. Но это вовсе не является доказательством “плоскости” Земли - просто радиус Земли для человека слишком велик, чтобы его увидеть. Геометрически это легко вычислить.

Как известно, дистанция видимого горизонта для человека - около 5км, а радиус Земли примерно 6000км (6000000м). По теореме Пифагора (см.картинку ниже), при R=6000000 и d=5000, длина гипотенузы R+h = 6000.002.08м, т.е. прирост высоты h по сравнению с плоскостью - всего лишь 2м. Угол вершины треугольника со сторонами 5000м и 2м, составит всего лишь 0.022°, это величина которую “на глаз” невозможно заметить.

В то же время, 2 метра - эта величина которую разумеется, можно измерить. Это демонстрировали, в частности, на канале Discovery Science, направив луч лазера параллельно поверхности воды. На катере было отчетливо видно, что пятно от луча при удалении поднялось вверх, что и должно быть в теории.

Основная сложность такого опыта - обеспечение параллельности луча Земле с точностью до сотых градуса, что в домашних условиях повторить сложно. Именно поэтому в youtube были разные “опровержения” - очевидно, что направив луч не параллельно, можно получить любые результаты.

И наконец, в их втором тесте, взлетающий с другого берега озера вертолет, наблюдался в телескоп, и действительно появлялся “из под” поверхности озера.

Ну и наконец, даже не имея лазера и вертолета, можно увидеть данный эффект с помощью бинокля, смотря на удаляющийся корабль на берегу моря.

Скриншот с youtube показывает тот же эффект:

Впрочем, об этом эффекте знали и древние греки, а вот некоторые современные люди, увы, забыли.

Кстати, формула дальности горизонта активно используется связистами, т.к. УКВ-радиоволны распространяются только в прямой видимости. Именно поэтому дальность приема FM станций относительно невелика, и составляет порядка 50км.

2) Очевидно, что гипотеза висящего в космосе “блина”, над центром которого вращается Солнце, не выдерживает никакой критики с точки зрения всех законов физики - такая система в принципе не может быть устойчивой, “солнце” тут же упало бы на “землю”, а куски “земли” в итоге, под действием сил тяготения собрались бы в итоге вместе, и образовали бы - что? Правильно, шар.

3) Как увидел еще Галилей, планеты и их спутники подчиняются законам небесной механики. Некоторые могут считать, что NASA фальсифицирует результаты, но посмотреть на небо может любой желающий.

Данный снимок Юпитера сделан в телескоп автором с балкона:

На нем четко видно шар Юпитера и вращающиеся вокруг него спутники. Если выбрать удачное время, можно увидеть и прохождение тени спутника по поверхности планеты. Если подождать некоторое время, то можно увидеть и вращение самого Юпитера, он вращается весьма быстро.

Так что, к сожалению для любителей плоской Земли, плоских дискообразных планет в небе не наблюдается, проверить это с телескопом может любой желающий. Считать что все планеты таки круглые, а только Земля плоская - это противоречило бы и логике и здравому смыслу.

4) Приверженцы теории верят, что NASA фальсифицирует снимки Земли из космоса. Однако увидеть их может любой желающий - достаточно RTL-SDR приемника ценой 10$ и самодельной антенны, чтобы принять сигналы метеоспутников NOAA. Они постоянно передаются со спутников в открытом виде на частоте 137МГц, и услышать их может любой желающий, с помощью обычной рации и программы Orbitron (программа нужна чтобы узнать точное время пролета спутника). Подключив приемник к компьютеру, можно декодировать сигнал и получить изображение, передаваемое спутником в данный момент:

5) Запустить ракету в космос действительно сложно и дорого. Однако обычный метеозонд можно приобрести на ebay за 20-30$, что позволит запустить фотокамеру с GPS-трекером на высоту 20-25км. Этот опыт вполне доступен, и его делали даже школьники. На такой высоте шарообразность Земли уже не вызывает сомнений.

Таким образом, благодаря математике, геометрии и здравому смыслу, мы таки можем убедиться что Земля не может быть плоской - даже несмотря на то, что мы не видим этого невооруженным глазом.

Кстати, как подсказывает гугл, кривизну Земли все-таки наблюдали невооруженным глазом альпинисты, находящиеся в горах Перу на высоте 6000м. Для этого им пришлось натянуть ровную нить, чтобы сравнить ее с изгибом горизонта, все-таки изгиб на такой высоте еще весьма мал.

5. Простые числа

Каждый знает, что простые числа — такие числа, которые делятся только на единицу и самих себя. Но так ли они просты, как кажутся, и актуальны ли сегодня? Попробуем разобраться.

То, что существуют числа, которые не делятся ни на какое другое число, люди знали еще в древности. Последовательность простых чисел имеет следующий вид:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 …

Доказательство того, что этих чисел бесконечно много, дал еще Евклид, живший в 300 г до н.э. Примерно в те же годы уже известный нам греческий математик Эратосфен, придумал довольно-таки простой алгоритм получения простых чисел, суть которого была в последовательном вычеркивании чисел из таблицы. Те оставшиеся числа, которые ни на что не делились, и были простыми. Алгоритм называется «решето Эратосфена» и за счет своей простоты (в нем нет операций умножения или деления, только сложение) используется в компьютерной технике до сих пор.

Видимо, уже во время Эратосфена стало ясно, что какого-либо четкого критерия, является ли число простым, не существует — это можно проверить лишь экспериментально. Существуют различные способы для упрощения процесса (например, очевидно, что число не должно быть четным), но простой алгоритм проверки не найден до сих пор, и скорее всего найден не будет: чтобы узнать, простое число или нет, надо попытаться разделить его на все меньшие числа.

Это несложно записать в виде программы на языке Python:

import math

def is_prime(n):

if n % 2 == 0 and n > 2:

return False

for i in range(3, int(math.sqrt(n)) + 1, 2):

if n % i == 0:

return False

return True

# Вывод всех простых чисел от 1 до N

N = 100

for p in range(1, N, 2):

if is_prime(p): print(p)

# Вывод результата, является ли заданное число простым

print(is_prime(2147483647))

Желающие могут поэкспериментировать с программой самостоятельно.

Подчиняются ли простые числа каким-либо законам? Да, и они довольно любопытны. Так, например, французский математик Мерсенн еще в 16 веке обнаружил, что много простых чисел имеет вид 2^N — 1, эти числа названы числами Мерсенна. Еще незадолго до этого, в 1588 году, итальянский математик Катальди обнаружил простое число 2¹⁹ — 1 = 524287 (по классификации Мерсенна оно называется M19). Сегодня это число кажется весьма коротким, однако даже сейчас с калькулятором проверка его простоты заняла бы не один день, а для 16 века это было действительно огромной работой. На 200 лет позже математик Эйлер нашел другое простое число 2³¹ — 1 = 2147483647. Необходимый объем вычислений каждый может представить сам. Он же выдвинул гипотезу, названную позже «проблемой Эйлера», или «бинарной проблемой Гольдбаха»: каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Например, можно взять 2 четных числа 123456 и 888777888. С помощью компьютера можно найти их сумму в виде двух простых чисел: 123456 = 61813 + 61643 и 888777888 = 444388979 + 444388909. Точное доказательство этой теоремы не найдено до сих пор, хотя с помощью компьютеров она была проверена до чисел с 18 нулями.

Кстати, последовательность простых чисел Мерсенна 2^N-1 имеет следующий вид:

M₂=3, M₃=7, M₅=31, M₇=127, M₁₃=8191, M₁₇=131071, M₁₉=524287, M₃₁=2147483647, ...

При этом показатели N, что удивительно, сами тоже являются простыми числами:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, ...

Существует и другая теорема, называемая теоремой Ферма-Эйлера, открытая в 1640 году, которая говорит о том, что если простое число имеет вид 4*k+1, то оно может быть представлено в виде суммы квадратов других чисел. Так, например, в нашем примере простое число 444388909 = 4*111097227 + 1. И действительно, с помощью компьютера можно найти, что 444388909 = 19197*19197 + 8710*8710. Теорема была доказана Эйлером лишь через 100 лет.

И наконец Бернхардом Риманом в 1859 году была выдвинута так называемая «Гипотеза Римана» о количестве распределения простых чисел, не превосходящих некоторое число. Эта гипотеза не доказана до сих пор, она входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя в Кембридже готов выплатить награду в один миллион долларов США.

Так что с простыми числами не все так просто. Есть и удивительные факты. Например, в 1883 г. русский математик И.М.Первушин из Пермского уезда доказал простоту числа 2⁶¹ — 1 = 2305843009213693951. Даже сейчас компьютеру с запущенной вышеприведенной программой требуется несколько минут на проверку данного числа, а на то время это была поистине гигантская работа.

Кстати интересно, что существуют люди, обладающие уникальными способностями мозга — так например, известны аутисты, способные находить в уме (!) 8-значные простые числа. Как они это делают, непонятно. Такой пример описывается в книге известного врача-психолога Оливера Сакса “Человек, который принял жену за шляпу”. По некоторым предположениям, такие люди обладают способностью “видеть” числовые ряды визуально, и пользуются методом “решета Эратосфена” для определения, является ли число простым или нет.

Еще одна интересная гипотеза была выдвинута Ферма, который предположил, что все числа вида

являются простыми. Эти числа называются “числами Ферма”. Однако, это оказалось верным только для 5 первых чисел: F₀=3, F₁=5, F₂=17,F₃=257, F₄=65537. В 1732 году Эйлер опроверг гипотезу, найдя разложение на множители для F₅: F₅= 641·6700417. Существуют ли другие простые числа Ферма, пока неизвестно до сих пор. Такие числа растут очень быстро (для примера, F₇=340282366920938463463374607431768211457), и их проверка является непростой задачей даже для современных компьютеров.

Актуальны ли простые числа сегодня? Еще как! Простые числа являются основой современной криптографии, так что большинство людей пользуются ими каждый день, даже не задумываясь об этом. Любой процесс аутентификации, например, регистрация телефона в сети, банковские платежи и прочее, требуют криптографических алгоритмов. Суть идеи тут крайне проста и лежит в основе алгоритма RSA, предложенного еще в 1975 году. Отправитель и получатель совместно выбирают так называемый «закрытый ключ», который хранится в надежном месте. Этот ключ представляет собой, как, наверное, читатели уже догадались, простое число. Вторая часть — «открытый ключ», тоже простое число, формируется отправителем и передается в виде произведения вместе с сообщением открытым текстом, его можно опубликовать даже в газете. Суть алгоритма в том, что не зная «закрытой части», получить исходный текст невозможно.

К примеру, если взять два простых числа 444388979 и 444388909, то «закрытым ключом» будет 444388979, а открыто будут передано произведение 197481533549433911 (444388979*444388909). Лишь зная вторую половинку, можно вычислить недостающее число и расшифровать им текст.

В чем хитрость? А в том, что произведение двух простых чисел вычислить несложно, а вот обратной операции не существует — если не знать первой части, то такая процедура может быть выполнена лишь перебором. И если взять действительно большие простые числа (например, в 2000 символов длиной), то декодирование их произведения займет несколько лет даже на современном компьютере (к тому времени сообщение станет давно неактуальным). Гениальность данной схемы в том, что в самом алгоритме нет ничего секретного — он открыт и все данные лежат на поверхности (и алгоритм, и таблицы больших простых чисел известны). Сам шифр вместе с открытым ключом можно передавать как угодно, в любом открытом виде. Но не зная секретной части ключа, которую выбрал отправитель, зашифрованный текст мы не получим. Для примера можно сказать, что описание алгоритма RSA было напечатано в журнале в 1977 году, там же был приведен пример шифра. Лишь в 1993 году при помощи распределенных вычислений на компьютерах 600 добровольцев, был получен правильный ответ.