1
3/2 = 1,5
1.5 * 3/2 = 2.25, 2.25/2 = 1,125 = 9/8
9/8 * 3/2 = 1,6875 = 27/16
Похожий ряд, если его упорядочить по возрастанию, называется пифагоровым строем:
“до” - 1
“ре” - 9/8
“ми” - 81/64
“фа” - 4/3
“соль” - 3/2
“ля” - 27/16
“си” - 243/128
“до” - 2
Он также называется квинтовым, т.к. ноты получались увеличением на квинту, т.е. на 3/2. Считается, что этот строй использовался еще при настройке лир в древней Греции, и сохранился вплоть до средних веков. Названия нот разумеется, были другие - современные названия придумал только через 1000 лет итальянский теоретик музыки Гвидо д’Ареццо в 1025 г..
Разумеется, в древней Греции никто не знал про частоту колебаний звука, зато древние греки были хорошими геометрами, и проблем с умножением и делением у них не было. Современная теория колебаний струны появилась гораздо позже, работы Эйлера и Д’Аламбера были написаны в 1750х годах.
Как математически определяются частоты звуков нот? Сейчас мы знаем, что октава (от “до” до “до” следующей октавы) - это умножение частоты на 2 (или укорочение струны в 2 раза). Для остальных нот с 18 века используется так называемый “хорошо темперированный строй”: октава делится на 12 равных промежутков, а последовательность частот образует геометрическую прогрессию.
Для одной октавы получаются следующие коэффициенты: 1,0594, 1,1224, 1,1892, …, 2. На клавиатуре они отображаются всем известным образом, образуя 12 полутонов:
Таким образом, если знать частоту любой ноты, все остальные легко рассчитываются по вышеприведенной формуле.
Очевидно, что “базовая” частота может быть любой. Традиционно принято например, что частота камертона ноты “Ля” 440Гц. Остальные ноты первой октавы:
ДО
261.6
ДО#
277
РЕ
293.7
РЕ#
311
МИ
329.6
ФА
349.2
ФА#
370
СОЛЬ
392
СОЛЬ#
415
ЛЯ
440
ЛЯ#
466
СИ
494
Интересно заметить, что квинта в этой системе имеет соотношение частот 27/12 = 1.49, что чуть-чуть отличается от “пифагорейского” чистого тона с соотношением 1.5. На слух “современная квинта” имеет небольшие биения 0,5Гц, соответствующие разности частот 392 - 392.4. До сих пор есть любители исполнения старинной музыки в квинто-терцевом строе, называемым “чистым”. В 18м же веке дебаты между приверженцами “старого” и “нового” строя были довольно-таки острыми. Впрочем, преимущества равномерно темперированного строя в виде четкого соотношения между частотами нот и возможности транспонирования музыки в любую другую тональность “без потери качества” оказались решающими. Сейчас “чистый строй” имеет лишь историческое значение, и используется лишь иногда для исполнения старинных произведений.
И традиционно, программа на языке Python, выводящая частоты полутонов в обе стороны от ноты “Ля”:
import math
freqLa = 440
for p in range(-32,32):
freq = freqLa*math.pow(2, p/12.0)
print p,freq
11. Вращение планет
Еще в древней Греции ученые знали, что планеты движутся по небу, но каким образом? Сотни лет господствовала геоцентрическая система мира - в центре была Земля, вокруг которой по окружностям двигались Луна, планеты (на то время их было известно 5) и Солнце:
Такая система казалась вполне логичной и интуитивно понятной (даже сейчас люди говорят что солнце “всходит” и “заходит”), однако не объясняла астрономам почему планеты движутся по небу неравномерно, и временами даже в обратную сторону.
Вот так, к примеру, выглядит перемещение по небу планеты Марс, что никак не укладывается в теорию движения по кругу:
Впрочем геоцентрическая система просуществовала более 1500 лет, только в 16м веке Коперник издал свой труд «О вращениях небесных сфер», где описывал вращение планет по круговым орбитам вокруг Солнца. Однако проблемой было то, что и при этой схеме фактические движения планет не совпадали с расчетными.
Объяснить это не мог никто, пока в 1600 году немецкий математик Иоганн Кеплер не стал изучать многолетние результаты наблюдений, сделанные астрономом Тихо Браге. Кеплер был великолепным математиком, но и у него ушло несколько лет чтобы понять суть и вывести законы, которые и сейчас называются законами Кеплера.
Как оказалось, движение планет подчиняется 3м математическим законам:
1) Планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов эллипса находится Солнце
2) Планеты движутся неравномерно: скорость планеты увеличивается при движении к Солнцу и уменьшается в обратном направлении. Но за равные промежутки времени вектор движения описывает равные площади: площади участков “А” одинаковы:
3) Квадраты периодов обращений планеты пропорциональны кубу расстояний до орбиты:
Кеплер считал, что весь мир подчиняется гармонии, и что солнечная система больше похожа на часовой механизм, чем на божественное творение. Найденные им законы не только красивы и гармоничны, но и совпали с реальными наблюдениями (уже позже выяснилось, что законы Кеплера могут быть выведены из законов Ньютона и закона всемирного тяготения, желающие могут найти доказательства в Википедии).
Что касается Марса, то его орбита более вытянутая, чем орбита Земли, чем и объясняется разница как в скорости движения, так и в яркости планеты. Картинка с сайта журнала “Наука и жизнь”:
Кстати, эта картинка хорошо объясняет, почему только некоторые годы благоприятны для запуска космических кораблей к Марсу - те годы, в которые расстояние между планетами минимально.
12. Парадоксы теории вероятности
На интуитивном уровне понимание теории вероятности довольно-таки просто. Возьмем кубик с 6 гранями, подбросим и посмотрим какая грань выпала. Интуитивно ясно, что вероятность выпадения 1 грани из 6 будет 1/6. Действительно, вероятностью называют отношение числа равновероятных событий к числу всех возможных вариантов:
Какова вероятность что выпадут 2 цифры подряд? Она равна произведению вероятностей: (1/6)*(1/6) = 1/36.
Вроде все просто, однако несмотря на простоту, есть довольно-таки много задач, где математика не всегда совпадает с бытовым “здравым смыслом”. Рассмотрим несколько таких парадоксов.
Дети мистера Смита
Эту задачу описывал Мартин Гарднер. Известно что у мистера Смита двое детей, и один из них мальчик. Какова вероятность, что второй из них тоже мальчик? Интуитивно кажется, что вероятность пола ребенка всегда равна 1/2, но не все так просто.
Рассмотрим возможные варианты семей с двумя детьми:
- мальчик-мальчик
- мальчик-девочка
- девочка-мальчик
- девочка-девочка
Исходя из списка вариантов, ответ понятен. Вариант “девочка-девочка” по условию не подходит. Всего остается 3 варианта семей где есть мальчик (М+М, М+Д, Д+М), значит вероятность что второй ребенок окажется мальчиком, равна 1/3.
Бросание кубика
Вернемся к бросанию кубика. Допустим, мы бросили кубик 5 раз, и все разы выпала цифра “3”. Какова вероятность, что мы бросим кубик еще раз, и выпадет снова цифра “3”?
Ответ прост. Интуитивно кажется, что вероятность такого события очень мала. Но в реальности кубик не имеет какой-либо встроенной “памяти” на предыдущие события. Какие бы числа не выпадали до текущего момента, вероятность нового числа также равна 1/6 (а вот если говорить о вероятности выпадения такой серии “в целом”, то она действительно равна 1/(6*6*6*6*6*6) = 1/46656.
Кстати, такая вероятность это много или мало? Интуитивно кажется что мало, и в принципе оно так и есть. Одному человеку пришлось бы бросать кубик каждые 10 секунд 4 дня, чтобы дождаться выпадения 6 цифр подряд. Однако если рассматривать большие числа, то такие вероятности становятся неожиданно большими. Например, если 6 раз кубик бросят все 5 миллионов жителей Петербурга, то 6 цифр подряд выпадут примерно у 100 человек - довольно-таки значительное количество. Это на самом деле важный момент: даже довольно-таки маловероятные события гарантированно произойдут, если речь идет о большом числе попыток. Это важно при прогнозировании таких событий как ДТП, аварии, катастрофы, и прочие негативные явления, которые в большом городе увы, не редкость. По этой же причине редкие заболевания эффективнее лечить в большом городе - редкая болезнь, встречающаяся 1 раз на 100000 человек, может практически не встречаться в небольшом городе и у врачей не будет опыта борьбы с ней, а в мегаполисе таких больных наберется в несколько раз больше.
Парадокс Монти Холла
Этот известный парадокс хорошо описан в Википедии.
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, открывает одну из оставшихся дверей, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
Интуитивно кажется, что если автомобиль спрятан за одной из дверей, то вероятность его найти равна 1/3, и смена двери ничего не даст. Однако это неверно.
Принцип прост: если игрок изначально правильно указал дверь с автомобилем (а вероятность этого действительно ⅓), то замена двери приведет его к проигрышу. Однако в обеих других случаях изначального выбора неверной двери (а вероятность этого ⅔) смена двери приведет к выигрышу. Таким образом, смена двери приведет к выигрышу с вероятностью ⅔ вместо ⅓.
Парадокс дней рождений
Допустим, в организации работает 24 человека. Какова вероятность что хотя бы двое отмечают день рождения в один и тот же день? Интуитивно кажется, что эта вероятность весьма мала и будет равна 24/365, но и в этом случае интуиция ошибается. В реальности, мы должны рассматривать количество пар, которые могут образовать данные люди. Это число довольно-таки велико, например, если обозначить 5 человек как ABCDE, то количество возможных пар будет 10 (AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE), а для группы из 24 человек возможно 276 пар.
Для точного расчета воспользуемся принципом произведения вероятностей. Вероятность того, что для 2х людей день рождения не совпадает, равна 364/365. Для 3х человек вероятность что все дни не совпадут, равна произведению 364/365 * 363/365, и так далее. Для n-человек формула приведена в Википедии:
(n! - обозначение факториала, n! = 1*2*..*(n-1)*n)
Нужная нам вероятность обратного события равна обратной величине:
Вывести все значения несложно с помощью программы на Python:
import math
def C(n):
return 1000 - 1000*math.factorial(365)/(math.factorial(365-n)*365**n)
for n in range(3,50):
print("{} - {}%").format(n, 0.1*C(n))
365! это очень большое число, поэтому здесь использованы целочисленные вычисления языка Python, уже затем значение было переведено в проценты.
В результате получаем следующую таблицу:
3 0.0082 4 0.0163 5 0.0271
6 0.0404 7 0.0562 8 0.0743
9 0.0946 10 0.1169 11 0.1411
12 0.1670 13 0.1944 14 0.2231
15 0.2529 16 0.2836 17 0.3150
18 0.3469 19 0.3791 20 0.4114
21 0.4436 22 0.4756 23 0.5072
24 0.5383 25 0.5686 26 0.5982
27 0.6268 28 0.6544 29 0.6809
30 0.7063 31 0.7304 32 0.7533
33 0.7749 34 0.7953 35 0.8143
36 0.8321 37 0.8487 38 0.8640
39 0.8782 40 0.8912 41 0.9031
42 0.9140 43 0.9239 44 0.9328
45 0.9409 46 0.9482 47 0.9547
48 0.9605 49 0.9657 50 0.9703
Как видно из таблицы, уже при количестве сотрудников 50 человек, хотя бы 1 день рождения почти гарантированно совпадет (вероятность 97%), а для 24 человек получаем вероятность равную 0.538, т.е. более 50%.
13. Поверхность Луны
Посмотрим на фотографию поверхности Луны. Эта фотография была сделана автором через телескоп с балкона:
Что мы видим? Очевидно, лунную поверхность, покрытую кратерами, оставшимися от предыдущих столкновений метеоритов с Луной.
Казалось бы, причем здесь математика? При том, что столкновение с метеоритом - случайное событие, его частота подчиняется теории вероятности. На Луне нет атмосферы, нет эрозии и ветра, поэтому лунная поверхность - идеальная “книга”, в которой записаны события последних десятков тысяч лет. Изучая поверхность Луны, можно подсчитать какого размера объекты падали на ее поверхность.