Система счисления, которой мы пользуемся, основана на подсчете пальцев на руках. После того как все пальцы оказываются посчитаны, нам нужно начать заново, поэтому для того, чтобы зафиксировать наличие у нас двенадцати предметов, мы говорим, что у нас есть один полный набор пальцев плюс еще два – и записываем это как 12. Это серьезный шаг для мальчика или девочки – соотнести единицу в числе 12 с «одним набором из десяти штук». Чтобы помочь вам встать на место ребенка и оценить сложность стоящей перед ним задачи, вам полезно поработать с незнакомой системой счисления. Представим, какой могла бы быть математика, окажись у нас на руках не десять пальцев, а всего восемь (как обычно рисуют у мультяшных героев, таких как Барт Симпсон или Микки-Маус). Тогда счет выглядел бы так: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12…

Этот вариант счета известен как система счисления с основанием восемь, или восьмеричная система. Обратите внимание: на самом деле в ней никогда не используется цифра 8. В этой системе 10 означает не десять, а восемь – одну группу из восьми единиц. Так что в мире восьмипалых 12 – это группа из восьми единиц плюс две единицы, что означает десять в нашей обычной системе отсчета.

Проверьте себя

2. Ищем эквиваленты

Можете ли вы определить, какому числу в нашей десятичной системе эквивалентно 124 в системе с основанием 8?

Идею системы счисления с каким-то конкретным основанием можно связать с любым числом пальцем. Представьте себе, к примеру, инопланетянина всего с двумя пальцами. Он никогда не стал бы использовать число 2. Вместо этого счет у него начинался бы так: 1, 10, 11… а дальше? В двухпальцевой математике нет цифры 2, так что после 11 идет 100. Затем 101, 110, 111, 1000 (соответственно, 1000 означает число 8: одна восьмерка, нет четверок, нет двоек, нет единиц). Счет на двух пальцах известен как система счисления с основанием два или, как ее чаще называют, двоичная система счисления.

Многие британские родители – и наверняка бабушки и дедушки – изучали в школе числа в разных системах счисления. Тому была серьезная причина, поскольку в обычной жизни им каждый день приходилось сталкиваться со счетом в системах, отличных от десятичной. К примеру, в шиллинге было 12 пенсов, в футе – 12 дюймов, в фунте – 16 унций, в галлоне – 8 пинт.

Теперь, когда большая часть мира пользуется метрической системой, необходимость изучения других систем счисления стала куда менее очевидной, но представление о том, как они работают, помогает лучше понять десятичную систему, которой мы пользуемся и склонны воспринимать как нечто само собой разумеющееся. А тому, кто хотел бы разобраться в основах работы компьютеров, без понимания двоичной системы не обойтись (позже мы поговорим об этом более подробно).

Игра: «Двадцать»

В эту игру, чрезвычайно популярную на детских площадках по всей Британии, могут играть дети уже в пять лет, но на самом деле она способна развлечь не только малышей, но и подростков и даже взрослых. Существует множество вариантов, а базовый называется «Двадцать». Два игрока по очереди считают до 20, называя в свою очередь одно, два или три числа (каждый из них сам решает, сколько чисел называть за этот ход). Игрок, которому приходится завершать счет и назвать последнее число – 20 – проигрывает. Поэтому игра может идти примерно так:

Али: Один, два.

Джейк: Три.

Али: Четыре, пять, шесть.

Джейк: Семь, восемь.

Али: Девять, десять, одиннадцать.

Джейк: Двенадцать, тринадцать, четырнадцать.

Али: Пятнадцать, шестнадцать…

Джейк (улыбается, ведь напряжение растет): семнадцать, восемнадцать, девятнадцать!

Али: Пропади ты пропадом… двадцать!

Не секрет, что дети часто играют в эту игру по много раз подряд, пытаясь выработать победную стратегию. До них быстро доходит, что главное – это добраться до девятнадцати, поскольку тогда у противника не будет выбора, и ему придется сказать «двадцать». Но как гарантировать себе возможность добраться до девятнадцати? Решение в том, чтобы добраться до 15. После 15, что бы ни сказал противник (16 или 16, 17 или 16, 17, 18), вы сможете за следующий ход добраться до 19 и на этом остановиться.

На самом деле в этой игре, оказывается, существует закономерность: чтобы выиграть, нужно останавливаться на «ступеньках» – числах 3, 7, 11, 15 и 19:

Чтобы гарантированно выиграть, нужно досчитать до трех. Это просто, если вы начинаете: вы просто говорите: «Один, два, три». Если вы считаете вторым, остается только надеяться, что ваш противник не знает, как выиграть, и не досчитает до трех на первом ходу. Тогда в следующие ходы вы сможете останавливаться на 7, 11, 15 и 19.

Может показаться, что это игра для тренировки счета, но на самом деле все гораздо глубже; главное в ней – обнаружить закономерность.

Можно очень быстро усложнить игру, просто слегка изменив правила. К примеру, что если сделать целевым числом 25? Или разрешить игрокам называть не по три, а по четыре числа подряд? Или играть втроем?