В калькуляторах последовательность выполнения расчетов запрограммирована. К несчастью, в самых простых калькуляторах она отличаются от порядка, которому учат в школе.
Сколько будет 3 + 4 × 5? Равно ли это 3 + 4 (то есть 7) × 5, то есть 35? Или это 3 + (4 × 5), то есть 23? Проверьте, какой ответ даст ваш калькулятор – скорее всего, 35, потому что он выполняет все команды последовательно. К несчастью, от вашего ребенка требуется совсем не такой ответ.
Безусловно, очень важно, чтобы все пользовались одними и теми же правилами – ведь иначе у всех нас получатся разные ответы. Поэтому существует универсальное соглашение (которому следуют все, кроме простейших калькуляторов): если вычисления предполагают больше одной операции, следует действовать в определенном порядке:
• Сначала проводятся все те действия, которые заключены в скобки. Поэтому в примере 3 + 4 × (6 – 1) первое, что вы делаете, это (6 – 1), что равно 5.
• Далее выполняют все умножения и деления (это можно совершать в порядке следования, слева направо. Так, в примере 12: 3 × 4 сначала вычисляется 12: 3 (= 4), а затем результат умножается на 4 (ответ 16).
• Наконец, мы складываем и вычитаем (тоже в порядке следования).
Таким образом, при решении примера 3 + 4 × 5 вам следует сначала провести умножение (4 × 5 = 20), а затем прибавить к результату 3. Получится 23.
А пример 3 + 4 × (2 + 3)2 решается следующим образом:
А. 2 + 3 = 5
Б. 52 = 25
В. 4 × 25 = 100
Г. 3 + 100 = 103
Проверьте себя
45. С чего начнем?
1. 14 + (7 – 6) × 2
2. 3 × 71 – (208: 4)
3. 2 × 6 + (83 + 7): 9
Игра: одолей калькулятор
При помощи этого изящного фокуса со сложением вы можете наглядно продемонстрировать ребенку, что иногда человеческий разум работает быстрее калькулятора; вы будете почти мгновенно складывать пять громадных чисел.
• Попросите ребенка написать два произвольных четырехзначных числа. Пусть это будут, к примеру: 5038 (первое число ребенка) и 6635 (второе число ребенка).
• Затем чуть ниже этих чисел вы пишете свое число: 4961. (Втайне от ребенка вы должны позаботиться о том, чтобы это число в сумме с первым из его чисел составило 9999. Сделать это несложно: возьмите первую цифру его числа – 5 – и сделайте первой цифрой своего числа 4, тогда в сумме 5 и 4 – девять. Точно так же поступите с остальными цифрами.)
• Попросите ребенка написать еще одно четырехзначное число. Скажем, такое: 8924 (третье число ребенка).
• Cами напишите второе число: 3364. (Это число в сумме со вторым числом вашего ребенка тоже должно дать 9999.)
• А теперь поспорьте, что сумеете сложить все пять чисел в уме быстрее, чем сын или дочь сделает это на калькуляторе. Пока ребенок путается в кнопках, вы не спеша (можно пробормотать вполголоса пару каких-нибудь чисел) записываете ответ: 28 922.
• Чтобы получить это число, возьмите третье число ребенка (в данном случае 8924), поставьте 2 перед ним (слева) и вычтите 2 из последней цифры.
Как это работает? Все, что вы, по существу, сделали, это прибавили 9999 + 9999 к третьему числу ребенка, а это то же самое, что прибавить к нему 20 000 и вычесть 2.
Этот фокус наглядно демонстрирует, что математика не просто бесконечное пережевывание чисел; необходимы изобретательность и хитрость.
Значительная часть этой главы до настоящего момента была посвящена критике калькуляторов. Но на самом деле, разумеется, все не так плохо. Более того, мы очень любим и ценим эти устройства. При правильном использовании они способны избавить математиков от ненужной и очень утомительной рутины. Кроме того, они позволяют оживить числа для детей всех возрастов и способностей. Это быстрый путь к открытию числовых закономерностей, которые для детей прошлых поколений были закрытой книгой – ведь у них не было калькуляторов.
Выберите любое число от 1 до 9. Умножьте его на 37. Затем умножьте результат на три. На экране появится выбранное вами число три раза подряд. То есть если вы выберете число четыре, то 4 × 37 × 3 = 444. Детям нравится открывать подобные числовые закономерности, поэтому вашему ребенку, скорее всего, захочется самому повторить показанный фокус.
А теперь выберите любое число от 1 до 10. Умножьте на 3, 7, 11, 13 и 37 в любом порядке. Выбранное вами число появится на экране шесть раз подряд. Скажем, если вы выберете 5, то…
5 × 3 × 11 × 13 × 37 × 7 = 555555
Это и правда удивительное число! Смотрите, что происходит при умножении его на числа от 1 до 9.
12345679 × 2 = 24691358 (содержит все цифры, кроме 7)
12345679 × 3 = 37037037
12345679 × 4 = 49382716 (содержит все цифры, кроме 5)
12345679 × 5 = 61728395 (те же цифры, что в предыдущем числе, но в обратном порядке, и 4 заменено на 5!)
12345679 × 6 = 74074074
12345679 × 7 = 86419753 (содержит все цифры, кроме 2)
12345679 × 8 = 98765432 (содержит все цифры, кроме 1)
И наконец: 12345679 × 9 = 111 111 111 (вот это да!)
Калькулятор можно использовать в качестве помощника при повторении и заучивании таблиц умножения на отдельные числа (хотя это работает только на очень простых калькуляторах). Чтобы вспомнить таблицу умножения, к примеру, на 3, нужно просто нажать следующие кнопки:
3 + = (На некоторых калькуляторах вам придется нажать = дважды.)
Получите ответ 3.
Теперь нажмите = еще раз – получите 6. Далее, нажимая =, вы будете двигаться вверх по таблице умножения на 3 и получите последовательно 3, 6, 9, 12, 15… Чтобы увидеть таблицу умножения на другие числа, просто замените 3 на нужное вам число. Установив на калькуляторе первое число, вы можете оставить своего ребенка нажимать =, и последовательность ответов на экране поможет ему закрепить в памяти нужные числа.
Игра: «Сломанная шестерка»
В этой игре вы делаете вид, что кнопка «6» на калькуляторе сломалась – шестерка может появляться на экране, но нажимать на кнопку бесполезно. Эта игра работает на любом уровне. Как можно при помощи «сломанного» калькулятора вычислить, к примеру, сколько будет 11 отнять 6? (Конечно, способов масса, включая, например, 12 минус 7).
Вы можете сделать задания по-настоящему сложными. Сколько будет 676 разделить на 16? Какое бы решение ребенок ни нашел, для этого ему наверняка придется немало посчитать в уме. В данном случае 676 разделить на 16 – то же самое, что, скажем, 338 разделить на 8 (оба числа были уменьшены в 2 раза).
Считается, что учащимся начальной школы рано знакомиться с кнопкой квадратного корня на калькуляторе, но на самом деле совсем не вредно возбудить любопытство ребенка, показав ему, какие странные вещи способна проделывать с числом эта загадочная кнопка.
Первое, что ребенок может обнаружить: если ввести большое число и нажать на «√», число изменится – а ведь кнопку «равно» никто не нажимал. Наберите 100 √ – и калькулятор покажет 10. Можно также обратить внимание ребенка на то, что, если начать с числа большего единицы, оно уменьшится после нажатия кнопки «√», хотя в случае большинства случайно выбранных чисел результат будет иметь множество знаков после запятой.
Для квадратов чисел, таких как 9, 25 или 144, нажатие кнопки квадратного корня дает приятное целое число, и дети быстро соображают, что кнопка квадратного корня производит операцию, обратную возведению в квадрат: √ 9 равен 3, а 3 × 3 = 9.
Прежде чем знакомить ребенка с кнопкой квадратного корня на калькуляторе, интересно исследовать вместе с ним квадратные корни при помощи приближений. Втайне от ребенка наберите на калькуляторе произвольное число – скажем, 15 – и умножьте его на само себя. Покажите калькулятор с результатом на экране сыну или дочери – сможет ли ребенок определить, каким было первоначальное число? Он будет делать это методом проб и ошибок: возьмет число, возведет его в квадрат, а затем, в зависимости от того, слишком много при этом получилось или слишком мало, попробует другое. Посмотрите таким образом, какое число при возведении в квадрат дает в ответе 10, – и вашему ребенку волей-неволей придется знакомиться с числами, в которых много десятичных знаков после запятой.
Аналогичное упражнение можно сделать, если перемножить втайне от ребенка два последовательных числа, скажем, 36 и 37, и попросить его найти эти числа, показав ему результат перемножения – в данном случае 1332. Справится ваш сын или дочка с такой задачей?
Проверьте себя
46. Последовательные числа
Какие два последовательных числа при перемножении дают 4692?
Игра: квадратные корни и свечи
• Наберите на калькуляторе число 390625. Чтобы заинтересовать сына или дочь, можно рассказать какую-нибудь связанную с этим числом историю. Для начала скажите, например, что у вас есть десять невидимых ящиков, обозначенных номерами от нуля до девяти, и что во всех этих ящиках находятся разные цветные свечи. Попросите ребенка выбрать цвет. «Розовый». «Ага, это в третьем ящике», – говорите вы. Вообще-то вы говорите «В третьем» в ответ на любой названный ребенком цвет. (Введите цифру 3 на калькуляторе). «Еще какой-нибудь цвет?» «Синий». «Это в девятом, так и запишем». (Вводим 9). По мере того как ваш ребенок называет следующие цветные свечи, они, понятно, оказываются в ящиках 3, 9, 0, 6, 2 и 5 – именно в таком порядке.
• А теперь, втайне приготовившись нажать на «квадратный корень», попросите ребенка задуть свечи. При первой попытке потихоньку нажмите кнопку – 3, 9 и 0 исчезнут с экрана, оставив 625. Попросите дунуть еще раз. На этот раз исчезнет шесть. Еще раз – пропадет 2. Попросите дунуть еще один, последний, раз – особенно сильно – и незаметно перенесите палец на кнопку выключения калькулятора. Экран очистится. (Иногда у калькуляторов на солнечных батареях нет кнопки выключения. В этом случае единственный способ убрать все с экрана – полностью затемнить комнату!)
Объяснение этого фокуса заключается в необычном свойстве чисел 5, 25 и 625: когда их возводишь в квадрат, они появляются в конце получившегося числа.
Игра: «Шесть-один-шесть»
В эту игру можно играть и без калькулятора, но на последующих этапах в ней можно использовать более сложный калькулятор.
Подготовьте три карточки с числами 1, 6 и 6 (единица должна выглядеть как простая вертикальная черта). Попросите ребенка составить из этих карточек самое большое число, какое только можно. Затем, когда это будет сделано, предложите составить самое маленькое возможное число.
Вполне может быть, что ребенок предложит в качестве наибольшего числа 661, а наименьшего – 166. Бесспорно, это хорошие ответы. Но на самом деле здесь есть большой простор для творчества. Что, если перевернуть 6 вверх ногами? Она превратится в 9, и можно будет предложить в качестве наибольшего числа 991.
Этого мало. Что, если положить 1 на бок? Теперь можно наименьшим объявить число что равно 1. Или, если рассматривать 1 как минус, можно получить 9 – 9 = 0. И даже что-нибудь меньше нуля (если считать, что отрицательные числа меньше нуля), к примеру, – 99. А если вы действительно хотите стимулировать мышление ребенка и считаете, что он для этого готов, вы можете даже подкинуть ему идею степеней. 92 означает 9 × 9, точно так же 96 означает 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9. Следовательно, если вы хотите получить по-настоящему большое число, вы можете написать 991; это число настолько большое, что оно больше количества атомов во Вселенной. При этом минимум, который вы можете получить, равен –99, что соответствует –387 млн. Такое число заставит поволноваться любой банк.
Подробнее о степенях мы поговорим в следующей главе.