Почти все мы помним, как нас учили вычислять среднее значение некоторого набора чисел: нужно сложить их все и разделить на общее количество чисел. Строго говоря, так определяется среднее арифметическое – чаще всего встречающаяся форма усреднения, которую нередко называют просто средним значением. Правда математики и статистики пользуются полным названием, чтобы не возникло путаницы с другими формами усреднения – медианным значением и модой. Но если большинству людей вполне хватает среднего арифметического, зачем детям учить про моду и медиану?

Медиана некоторого ряда данных – это просто середина: половина значений в нем больше медианного значения, половина – меньше. Предположим, вы бросаете два кубика пять раз подряд, складываете значения на кубиках и получаете следующий набор:

7, 11, 11, 11, 5

(Кстати говоря, мы действительно бросали кубики – подобные необычные последовательности возникают чаще, чем кажется.)

Упорядочим полученные значения:

5, 7, 11, 11, 11

Среднее арифметическое этого набора равно девяти (5 + 7 + 11 + 11 + 11 = 45, 45: 5 = 9).

Медиана же здесь равна 11 – значению, которое стоит в середине упорядоченного списка. Его легко найти, если в наборе нечетное количество значений. Если бы мы бросили кубики шесть раз, то следовало бы взять два центральных числа – третье и четвертое в данном случае – и найти среднее арифметическое между ними.

Наконец мода. Это значение, которое чаще всего встречается в наборе данных. В случае с нашими бросками кубика мода равна 11, поскольку именно этого числа в наборе больше всего.

Какое среднее лучше всего?

Предположим, что вы работаете в магазине мужской обуви и продали за утро десять пар туфель. Вот их размеры (в Великобритании): 8, 7, 9, 6, 9, 8, 10, 8, 10, 6.

Упорядочив данные, получим: 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10.

Среднее арифметическое этого набора равно 8,1; медианное равно восьми, мода тоже равна восьми. Если вам необходимо решить, какого размера туфли заказывать в большем количестве, то по всем значениям среднего ясно, что нужны туфли восьмого размера.

Но предположим, что вы продали обувь следующих размеров: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8.

Среднее арифметическое – 6,5; медиана – 6,5; мода равна восьми. Какой размер туфель вам заказывать? Если представить подобный набор данных во времени, то ясно, что в этом отношении полезнее всего использовать моду (и действительно, своим названием оно указывает на другую «моду» – это самое модное, самое популярное значение в серии).

Таким образом, разные значения среднего позволяют по-разному взглянуть на данные, а какое из них выбрать, зависит от цели поиска «типичного».

Еще одно понятие, с которым полезно познакомиться, – диапазон: наибольшее и наименьшее значения набора данных. Это понятие также может быть полезно при принятии решений. Предположим, что в нашем магазине мужской обуви за шесть месяцев в диапазон продаваемой обуви попали размеры с 4-го по 12-й. Вряд ли имеет смысл заказывать на фабрике мужские туфли 3-го или 13-го размера, правда?

Проверьте себя

44. Играем в кости

Чему равны среднее арифметическое, медиана, мода и диапазон следующего набора очков: 4, 11, 8, 6, 5, 6, 9, 11, 7, 2?

Язык вероятностей

Рассказывают (скорее всего, это вымышленная история), что однажды в США ведущий новостной программы сказал, озвучивая прогноз погоды: «Вероятность дождя в субботу составляет 75 %, в воскресенье – 25 %. Я полагаю, это означает, что в какой-то момент в выходные дождь пойдет со 100 %-ной вероятностью».

Жизнь наша оказалась бы намного проще, будь все вокруг определенным и предсказуемым. Если бы только мы могли точно знать, что завтра нас ждет хорошая погода, что всегда сможем производить выплаты по ипотечному кредиту, что успеем подготовить своих детей к школе, а машина обязательно заведется с первого раза! С другой стороны, тогда жизнь сделалась бы довольно скучной штукой…

Реальность, как вы прекрасно знаете, состоит в том, что нас со всех сторон окружает неопределенность, а способность справляться с не до конца предсказуемыми событиями – одно из ключевых умений. И это одна из главнейших причин, по которым изучение шансов – или, если говорить более формально, вероятностей – стало важной частью школьной программы.

Считается, что в начальной школе дети овладевают лишь общими принципами теории вероятностей. Они должны понять, что отнюдь не любой прогноз непременно сбудется (к примеру, завтра не обязательно пойдет дождь) и что одни итоги могут быть более вероятными, чем другие. Вы можете облегчить ребенку восприятие этих идей, если дома в обычных бытовых ситуациях начнете использовать язык вероятностей для описания различных вариантов:

• Завтра наверняка взойдет солнце.

• Очень вероятно, что «Манчестер Юнайтед» хорошо сыграет в следующем сезоне.

• Монета может упасть решкой или орлом кверху с примерно равной вероятностью (50 на 50).

• Очень маловероятно, что в июне пойдет снег.

• Внутри куриного яйца безусловно не окажется золотой монеты.

Игра: лото с кубиками

Игра в лото с применением игральных кубиков может стать неплохим развлечением для всей семьи. «Играющее» число в ней определяется сложением очков, выпавших при бросании двух кубиков. Для начала следует нарисовать карточки – по одной на игрока – с восемью квадратиками на каждой. Игрок может сам выбрать, какие числа указать на своей карточке (от 2 до 12, поскольку именно в этом диапазоне всегда располагается сумма очков на двух кубиках). Когда выпадает одно из имеющихся на карточке чисел, его вычеркивают, а тот, кто первым вычеркнет все числа на своей карточке, становится победителем. В отличие от обычного лото, номера на карточке могут повторяться. Если захотите, вы можете заполнить свою карточку исключительно числами 12, вписав их в каждую клетку! Но если при броске кубиков действительно выпадет 12, то вычеркнуть вы сможете только одно из этих чисел. Карточка для такого лото может выглядеть, к примеру, так:

В этой игре важны и удача, и мастерство. Во-первых, никто не знает, какие числа выпадут на кубиках, а во-вторых, тщательно выбрав числа на карточке, можно многократно увеличить свои шансы.

На диаграмме показано, сколькими способами можно получить каждую сумму от 2 до 12 при бросании двух кубиков. К примеру, 2 можно получить только одним способом (выбросив две единицы); 12 – тоже одним (выбросив две шестерки). 3 можно получить уже двумя способами (1 и 2 или 2 и 1). С другой стороны, существует целых шесть способов выбросить 7: 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4, 4 и 3, 5 и 2, 6 и 1. Таким образом, шансы выбросить семь в шесть раз больше, чем шансы выбросить всего два.

Так что идея заполнить карточку исключительно двойками не слишком разумна: ваши шансы на то, что 2 выпадет часто за короткое время, минимальны. Но стоит ли заполнять карточку одними семерками? Этот вариант тоже может оказаться не самым разумным. То, что 7 выпадает с максимальной вероятностью, не означает, что это число будет выпадать каждый раз. Лучше всего, наверное, выбрать какое-то сочетание шестерок, семерок и восьмерок (и, может быть, включить туда же пятерку, девятку или и то и другое).